1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1 Р(.) ' 30.16. Найти предел при л -+ зо характеристической функции Ег (и) случайной'величины л и ~а (Х вЂ” х!) г=! Уя ч "У', 0 (Х!) ю=! если случайные величины Хп Х, ..., Х„, ... независимы, имеют одинаковые законы расйределения, математические ожилания и дисперсии, а моменты более высокого порядка ограничены. ГЛАВА Ч~ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ й ЗЕ Общие свойства корреляционных функций и законов распределения случайных функций Основные формулы Случайной функцией вещественного аргумента г' называется функция Х(Г), значения которой являются случайными величинами.
Если аргумент Г может принимать любые значения нз некоторого (конечного или бесконечного) интервала, то случайную функцию называют случайным процессом; если аргумент Г может принимать только дискретные значения.. то Х(г) называют случайной последовательностью. Неслучайная функция х(г), равная прн каждом й математическому ожиданию М [Х(г)[ случайной величины Х(().
называется магематическим ожиданием случайной функции Х(г). Корреляционная (автокорреляционная) функция Кл (гн ~а) случайной функции Х(~) определяется формулой К (г, га)=МЯХ'((,) — х'(с,)3[Х(г,) — лИа)И=К'(гм гг), где знаком ' отмечены комплексно сопряженные величины'). Для стационарных случайных функций имеем К, Рн т,) = К„((а — (1), л (Г) = сопя[ дисперсия ординаты случайной функции связана с К„(Фп 1а) формулой [) [Х (г)[ = оа „= К (Е О. Нормированная ! ) в -*,,ч, .
хе «« ° ° и. корреляционная функция определяется формулой „,) Кл(Г~ Г.) елнаол ни Полной характеристикой случайной функции является совокупность законов распределения у(х~~г)) у(х~ «а1гт га) у(х~ ха хз1г! га гз) где у(хп ..., х„/Гп ..., г„) есть плотность совместного распределения ординат случайной функции в моменты времени Г„Гм Га, ..., Г„. Математическое ожидание х(Г) и корреляционная функция К„(йн Гт) определяются функциями у(х,~Г,) и у(хп ха~Го Га) по формулам (для непрерывных случайных функций) ') х (г) = / ху (х ( г) гГх, К„(гн ге) = ~ ) х,х,У'(хн х,! гп ге) йх, Фхт — х (Г,) х Я.
Для нормального случайного процесса совместное распре- деление в а моментов времени полностью определяется функ- циями х (Г) и К (Г,, Са) по формулам для закона распределения системы нормальнык случайных величин, математические ожидания которых х (Г,). х (г,), х (га). .... х (г„), а элементы корреляционной матрицы йд — К„(г„г,), 1. /= 1, 2, ..., и. Корреляционная функция связи (взаимная корреляционная фУнкциЯ) Й (Гп Ф,) двУх слУчайных фУнкций Х(Г) и У(Г) определяется формулой К«т (г~ га) = М ЦХ*(г1) х*(г~)1 [~ '((т) у(гт)Ц Иул(гт С4 Для стационарных процессов )~лу (Гн ~т) 1~ха (Гт М' ') Считаем Х(а) вегцественвой. Понятие корреляционной функции обобщается и на случайные функции нескольких переменных (случайные поля).
Если, например, случайная функция Х (В, т[) является функцией двух неслучайных аргументов, то К (".! й' т[ ° т[!)= = М [[Х (ьь! т[!) — л .(ье!, т[!)] [Х (ььа т[а) — л (ьеа т]а)]] ° Решение типовых. примеров Задачи данного параграфа принадлежат к двум основным типам. В задачах первого типа требуется определить корреляционную функцию случайной функции, использовав своИ- ства ее ординат, или установить общие свойства корреляционной функции. При решении этих задач нужно непосредственно исходить из оцределеиия корреляционной функции. В задачах второго типа требуется найти вероятность того, что ордннаты случайной функции примут определенные значения.
Лля решения этих задач необходимо воспользоваться соответствующим нормальным законом распределения, определяемым математическим ожиданием и корреляционной функцией. П ри м е р 31.1. Определить корреляционную функцию К (Г!, 1а), если Х (1) = ~. [ А~ сов гв 1+ В~ а[ п ю Ц, у=! где ю — заданные числа, а вещественные случайные величины А и Ву взаимно не коррелированы, ииеют нулевые математические ожидания и дисперсии, определяемые равенствами [) [А ] = () [В,] =о, У= 1, а "., И). Решение. Так как х(Е)= ~ (а1соаю,1+б~з1пю~1)=0. !=! то по определению корреляционной функции Ка(1п 8а)= ]4 ' =М [ ~ [А1совю11г+В1а1пю11г][А!созга 1т+Вга!пю!/а] =!г=! Раскрывая скобки н применяя теорему о математическом ожидании, замечаем, что зсе слагаемые, содержащие мно- жители вида М [А А,], М [В В,] прн С Ф С и М [А В,] при любых / н С, равны нулю, а М ~А;~ = М [В';] =ос~.
Поэтому К, (Сн Сз) = ~ч~~ о соз ы, (С, — С~). /=! Аналогично решаются задачи 31.3 — 31.6 н 31.10. Пример 31.2. Пусть Х (С) — нормальная стационарная случайная функция, математическое ожидание которой равно нулю. С(оказать, что если ! Г Х(С) Х(С+ т) 2 [ ~ тхнта1 )~]' Со — 1 г(С)= — агссоз[ — Сг (т)[, где Сг„(т) — нормированная корреляционная функция Х (С). Решение. Пользуясь тем, что Х(С) нормальна. закон распределения второго порядка можем представить в виде ~(хп х,]С, С+т) = 1 х~ + хя — 2», (т) хатха ехр [— 2по~ ]~ ! — а~~(т) [ 2а;. [! — «~ (т)~ Искомое математическое ожидание может быть предста- влено в виде х(С) = / С 2 [1+ 1 ' ' ]с (хп ха[С.
С+т)ССх!с[хм Так как — ] [+~ — — э! тождественно равна нулю в том 1Г х~х~ ! 2 ]. [х~х,1] случае, когда знаки у ординат х! н ха различны, н равна единице в противоположном случае, то е е х(С)= ~ ~ /(хп ха[С, С+т)г[х,дха+ (Ю -О> + ~ ] у(х!. х,[С, С+т)Фх, Фха= е а О ~Ю =2 ~ ~У(хг, ха[С, С+т)Ихгдха, е е что после выполнения интегрирования дает результат; указанный в условии задачи, (При интегрировании удобно ввести новые переменные г, ~, положив х,=г созйи ха= гюпф.) Задачи 31.!.
Доказать, что: а) !Кл(г~ Гзй-Фъх«Ялр~' б) 3КЖ гт)$~~ 2 опт«п+п~«Д' 31.2. Доказать, что (гггг(Гь г,)! <а.,««ог«, 31.3. Доказать, что корреляционная функция не изменяется от добавления к случайной функции любой неслучайной функции. 31.4.
Найти дисперсию случайной функции Х(Г), ординаты которой изменяются скачками на величины ЛГ в случайные моменты времени. Число скачков, происходящих в течение отрезка времени т, подчиняется закону Пуассона с постоянной Лт, а величины скачков Лг взаимно независимы, имеют одинаковые дисперсии о' и нулевые математические ожидания. а Х (0) — неслучайная величина. 31.6. Найти корреляционную функцию случайной функции Х(Г), которая может принимать два значения: +1 и — 11 число перемен знака функции подчиняется закону Пуассона с постоянной временнбй плотностью Л, а х(Г) можно считать равным нулю.
31.6. Случайная функция Х (Г) состоит из отрезков горизонтальных прямых единичной длины, ординаты которых взаимно независимы, могут с одинаковой вероятностью иметь любой знак, а их абсолютные величины подчиняются закону распределения 1х 1~ у(!х!)= ! ! е 1 ! (гамма-распределение). Г (Л+ 1) Определить К (т). 31.7. Корреляционная функция угла крена корабля 9(Г) имеет вид К (т) = ае-в1т1сов()т. Определить вероятность того, что в момент времени гт=г~+я.угол крена ег(Г ) будет больше 1Р, если ет(г)-нор- мальная случайная функция, 0=0.
6(г,)=5', г=2 сек., а= 30 града, и=0,02 сек. ', 5=0,75 сек. 31.3. Использование эхолота с корабля, испытывающего бортовую качку, возможно, если угол крена [6(г)[ (0з. Момент первого измерения выбирается так, чтобы это условие выполнялось. Определить вероятность того, что второе измерение может быть произведено через время те сек., если 6(г) — норма.чьная функция, 0 = О, а дисперсия () [6(г)[ =оэг Ка (т) и нормированная корреляционная функция а(т) = —, даны. ое 31.9. Корреляционная функция угла крена корабля 6(г) Ка(т) = ае-" г ы!сов рт+ — з!п 5[т[). где а = 35 град', п=0,25 сек. ', 5=1,57 сек.
' В момент времени г угол крена равен 2', 6(г) )~ О. Найти вероятность того, что в момент времени (г+2) сек. угол крена по величине будет меньше 10', если 6 (г) — нормальная случайная функция. 0(() =0. 31.10. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной функции У(() = а(Г) Х (г) + д (г), где а (г) и Ь(Г) — числовые (не слУчайные) фУнкцин, а К„(гп Гг) и х(г) известны, 31,11. Найти закон распределения первого порядка для ординат случайной функции Х (Г) = А (Г) сов [ег+ 6 (Г) [, если законы распределения первого порядка для случайных функций А(г) и 0(г) имеют вид Ф 7е(а[г)= —,е г" (а)~0), га(0[Г)= — „(0~(0 <2и).
ю — постоянная. а для одного .н того же момента времени А(Г) и 6(г) взаимно независимы. 31.12. Случайные точки распределяются на числовой оси таким образом, что вероятность Р„появления в заданном интервале т на оси и точек определяется законом Пуассона Р = — е- , где Л вЂ” положительная постоянная. Опре(Лт)" л[ делить закон распределения первого порядка для случайной где Ь" — оператор Ь, в котором все коэффициенты заменены на комплексно сопРЯженные; индексы Г, и ~я в обозначении оператора Ьа показывают, что в первом случае оператор действует по переменной 1,, а во втором случае — по пере-. менной 1м (Возможность применения оператора к данной слу.
чайной функции должнг быть проверена в каждом конкретном случае.) Если Ь вЂ” неоднородный оператор, соответствующий одно. родному оператору Ьа и функции г'(1), и л,(г)=ЬХ(1), то яИ) =[.м И) = Ьах И)+ РИ), К~(6. 6) = [ ап[ опКхйь Ся) т. е. корреляционная функция не зависит ог функции гч(1), порождающей неоднородность оператора [.. Случайная фуннция дифференцируема (один раз), если ее корреляционная функция имеет вторую смешанную частную производную при равных значениях ее аргументов, что для стационарных функций эквивалентно существованию второй производной от К (т) прн т = О.
Нахождение математического ожидания и корреляционной функции результата применения нелинейного оператора к случайной функции, вероятностные свойства которой известны, значительно более сложно. Исключением является только иормалькый случайный процесс для некоторых типов нелинейных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
