1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Доказать справедливость неравенства' Р (О ( Х ( 2 (ги+ 1) ) ) —, 29.6. Вероятность появления события А в одном опыте равна 1/2. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать. что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600? 29.6. Определить, имеет ли место ззкон больших чисел для среднего арифметического из и попарно независимых случайных величин Ха, заданных ридом распределения (табл. 21). ЗАКОН .ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 29.9, Установить, будут ли выполнены достаточные условия применимости закона больших чисел для последова.
тельности взаимно независимых случайных величин Х» с распределениями, залаваемыми формулами: 1 а) Р(Л» — — й2) — 2 ' б) Р(Х» — — 2)=2 +'~, Р(Х»=0) — 1 — 2 ~, в) Р(Х»= ~й)= —, Р(Х» 0)=1 — —. 1 1. 21'» )/» ' 29.10. СлУчайные величины Хн Ха...'.. Х„, ... имеют одинаковые математические ожидания и ограниченные дисперсии. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел, если все корреляционные моменты (г;.=М((Х; — х) Я. ~( (Х; — х)) отрицательны? 29.11.
Доказать, что к последовательности случайных величин, в которой каждая случайная величина может зависеть только от случайных величин со смежными номерами, применим закон больших чисел, если только все случайные величины последовательности имеют конечные дисперсии и математические ожидания. 29.12. Последовательность независимых и одинаково распРеделенных слУчайных величин Хн Ха, ..., Хн ... Задана рядом распределения Р(Х;=д)=.
»н 3 (»=1 ° 2. 3 ° ..) 1 »нь (3) чч 1 где ь(З) = ~ —, = 1,20236 — ' значение функции Римана при й=! аргументе 3. Проверить, применим ли к этой последовательности закон больших чисел. 29.13. Дана последовательность случайных величин ХО Х„, ..., для которых С)(Х„) (с и г;; — э.О при г( — У! — н са (гы — коэффициент корреляции между Х, и Х)). Доказать, что к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема Бернштейна). 29.14. Последовательность независимых и олииаково рас'пРеделенных слУчайных величин Х,, Хж .... Х,, ... задана 1б В. Г. Воноднн н ЛВ. 242 пведильные теовиьтгя 1гл.
тг рядом распределения )ь-ь ~ 6 Проверить, применим ли к этой последовательности случайных величин закон больших чисел. $ ЗО. Теоремы Муавра — Лапласа н Ляпунова Основные фориулы Для серии л независимых опытов, 1..аидом из которых событие А появляется с одной й той же вероятностью р (О ( р ( 1), согласно теореме Муавра — Лапласа справедливо предельное равенство и 1!ш Р ~а,ч, » ~р < Ь~= — ~ е з Ю= — (Ф(Ь) — Ф(а)1, где ль1 — число появлений. события А в результате н опытов, н Ф(х)== / е а лч — функция Лапласа (интеграл вероят3Г2л ности)„значения которой даны в таблице [8Т1. Для последовательности взаимно независимых случайных величин Х,, Х,, ..., Х„, ..., удовлетворяющей при некотором Ь > О условию 11ш — „ь ~~)~~~:М'(~Х» — а ~ ~ ) =О, В~а "ь „ согласно теореме Ляпунова выполняется.
равенство. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ !ГЛ. ш ность появления которого при одном опыте равна Р !А)=0,06 наблюдалось бы не менее 5 разу Решение. На основании теоремы Муавра — Лапласа Уже при л=! Ф(4,36 у'и)ж 1; поэтому, заменив по условию Р !ш ) б) = 0,8, получим — ~1 — Ф( ' )~ ж0,8 нли По таблице [8Т) находим аргумент х = — 0,8416, соответствующий значению функции Ф!х) = — 0,6.
Решая уравнение = — 0,8416, 3'"О,О473н находим единственный корень и=!44. Итак, для появления события А не менее пяти раз с вероятностью 0,8 необходимо произвести 144 испытания, Аналогично решаются задачи 30.6 — 30.7. П р н м е р 30.3. Сколько опытов надо' произвести при вычислении интеграла у = ~ соз х и'х о методом Монте-Карло для того", чтобы с вероятностью 0,9 можно было считать относительную погрешность в вычисленном значении интеграла менее 5% 7 н 2 2 2'г Р е ш е н и е.
Интеграл — "у = — ~ соз х дх можно расо сматривать как математическое ожидание функции созх от случайной величины Х, равномерно распределенной в интер- ТЕОРЕМЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА 245 (О, — "1. 'Тогда приближенное значение 'интеграла 2/' л и кч =.—,7 сов Х, '2 .Лл где Ха — случайные числа из интервала (О, — ). Составим случайную величину ул у Тл = —" — 1 ор.1 имеющую своим предельным законом распределения, согласно теореме Ляпунова, функцию Р 1 у (г) =- = е Ф 2я так как величины соз Ха независимы, одинаково рзспределены и имеют конечную. отличную от нуля дисперсию. а l= М 1зл).
Имеем 0 (лл1 4 0 1соз Х1= = н' нл — 8 4л 8л Применяя теорему Ляпунова, при Ь = — а = е получим Р'( $~ л, 8 1./л —,7) <е) жФ(е)=0,9; отсюда е = 1,645 Для того чтобы относительная погрешность —" была у меньше 0,05, учитывая, что 1= 1. необходимо произвести такое число опытов и, чтобы — ° 0,05 > 1.645, откуда получаем л > 252. Аналогично решаются задачи 30.10 — 30.12. пвсдельные теОРемы' Задачи [гл. тч где — — частота появления события, вероятность появления л которого в одном опыте р. в 30.6. Вероятность некоторого события определяется методом Монте-Карло.
Определить число независимых опытов, обеспечивающих с вероятностью не менее 0,99 получение искомой вероятности с ошибкой. не превосходящей 0,01. Оценку произвести по теореме Чебышева и по теореме Лапласа. 30.6. Вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,1. Партия изделий не принимается при обнаружении не менее 10 бракованных изделий. Сколько надо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,6 можно было утверждать, что партия, имеющая 10% брака, не будет принята? и 30.7. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероят. постыл 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятностп появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1? 30,1. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3.
С какой вероятностью Можно утверждать, что частота этого собьггня при 100 опытах будет лежать в пре делах от 0,2 до 0,4? 30.2. Имеются 100 станков одинаковой мощности, рабо тающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, прн котором нх привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени.
Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков? м 30.3. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т нз 100 конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов. в 30.4. Пользуясь теоремой Муавра — Лапласа, показать, что прн достаточно большом числе опытов твогвмы мзлввл — ллпллсл и ляпзновл ' 247 4 зз! ° 30.3, Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность того, что зто событие появится в большинстве из 60 опытовг 1 30.9, Вероятность некоторого события А равна †.
Произ- 3' водится 45 000 независимых опытов. Каково срединное отклоне,ше Е числа появлений события А от математического ожидания етого числят 1 е 30.10. Вычисление интеграла з = ) хз агх произведено о методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов. Вычислить вероятность того, что абсолютная погрешность в определении величины У не превзойдет 0,01. ° 30.1!. Сколько опытов надо произвести при вычислении интеграла л'= ~ з1пл г(» а методом Монте-Карло для того, чтобы с вероятностью Р)~0,99 можно было считать абсолютную погрешность вычисленного значения интеграла не превосходящей 0,1',; от Л 30,12.
Вероятность Р(С)=Р(А+В), где Р(В)А) дана, определяется методом Монте-Карла двумя способами: а) приближенное вначение Р(С) определяется как частота появления события С в ряде из и независимых опытов; б) определяется частота — появления события А в ряде из а независимых опытов, а приближенное значение Р (С) определяется по фоРмуле Р(С) ж)з„(С)= — +(! — — ) Р(В~А). 1 Доказать, что оба способа ведут к правильномУ результату.
2 Определить необходимое число опытов в обоих случаях для получения ошибки в оценке Р (С), не превосходяшей 0 01, с вероятностью не меньшей 0 93, если Р(В! А) =0 3. а значение Р(А) имеет порядок 0,4. 248 ппядкльнык тиоввмы 30.13. Имеется 100 урн, в каждой из которых надо дится по 5 красных и 95 черных шаров.
Опыты органнго. ваны так, что после каждого извлечения из урны шара он вновь возвращается в ту же урну, а результаты опыта наблю дателю не сообщаются. Сколько потребуется опытов, чтобы 1) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар из каждой урны; 2) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар не менее чем из 50 урнг 30.14. Вычислить характеристическую функцию Ег (л) случайной величины л ,'г,' (Х! — х!) и найти ее предел при и -э х>, если случайные величины Хн Ха...., Х„, ... независимы и имеют одинаковые плотности вероятностей или ряды распределения вида: — при 1хг~ ( й, 1 а) у'(х,) = 0 при 1х!) ) й; ляг б) Р(Х =ш)= — е-; л!1 0 при х ~0. в) у'(х!) = рч — х! е ! при х, )~0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
