1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 28
Текст из файла (страница 28)
26.19, Радиус шара можно считать нормальной случайной величиной с матемзтическим ожиданием г и дисперсией оз Г (г)) о,). Определить математическое ожидание и диснерсню объема шара по точным формулам. Сравнить полученные Результаты с результатами, получаемыми методом линеаривацни. 25.20. Йля определения объема конуса измерены: а) диаметр основания и высота; б) диаметр оскозания и длина образующей. В каном из чтих двух случаев дисперсия ошибки определения объема конуса меньше, если математическое ожидание высоты конуса л = 8 длг, диаметра основания а'== 12 д.к, длины образующей 1=10 дм, а оа — — Ое=ог=— = О,! дж? 28.21.
При взвешивании вместо гирь использована дробь. диаметр которой в среднем равен 2 мм. Какова срединная 202 ФУНКЦИИ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН )гл. п ошибка взвешивания, если срединное отклонение диаметра ,лроби 0,04 лгм, удельный вес металла, из которого изготовлена дробь, равен 11,2 г/смз"г При взвешивании использовано 50 дробинок, 26.22. Ускорение силы тяжести дг вычисляется по фор- 4нЧ.
муле д = —,, где Ь вЂ” длина физического маятника. а Т— его период. Опрелелить срединную ошибку в д, если измерение длины маятника, йроизведенное со срединной ошибкой Ес — — 5 льм, лало 1=5 м, а измеренный период колебаний маятника оказался равным 4,5 сек. Период колебаний маятника найден по длптельностн времени и = 10 по.чных размахов, которое измеряется со срединной ошибкой Е,=0,1 сек., а срединная ошибка определения момента грохождения маятника через положение равновесия Е, = = 0 50/Т 26.23. Используя метод линеаризации, определить приближенное значение дисперсии случайной величины Е= = ')l ВХя-+ Уя, если Х = з!п )г, У = сов У, случайная величина )Г равномерно распределена в интервале ~0.
2)' а й — известная постоянная. Й 26. Композиция двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векторипльиых отклонений Основные формулы Всякий двумерный (трехмерный) нормальный закон распрелеления может рассматриваться как композиция двух (трех) вырожденных нормальных законов распределенпя, характеризующих законы распределения независимых косоугольных координат случайной точки на плоскости (в иространстве), если за оси координат выбраны сопряженные направления единичного эллипса (эллипсоида) распределения ').
') Если в качестве сопряженных направлений выбрана главные диаметры эллипса (зллипсоида), то вырожденные законы распределения характеризуют законы распределения независимых прямоугольных координат случайной точки. а зи испОльзОВАние Вектоэилльных ОтклОнении 203 Вырожденный нормальный закон распределения однозначно характеризуется вектором, проведенным из центра распределения этого закона по направлению одного нз сопряженных диаметров единичного эллипса н равным величине этого полу- диаметра. Определенный так!и образом вектор называется векториальным отклонением.
Композиция нормальных законов распределения на плоскости (в пространстве) эквивалентна композиции векторнальных отклонений. Композиция нормальных законов распределения, лежащих в одной плоскости и заданных векториальНымн отклонениями аг (1=1:, 2, ..., л), осуществляется по следующим правилам: !) координаты х, у центра суммарного закона распреде; леннв определяются по формулам: где хн у, — координаты начала векторнального отклонения а1', 2) элементы Й11 корреляционной матрицы суммарного закона распределении определяются формуламн: = — ~ а 1 Ъз .
А, йц= —, » а,„=2-!— ', А 1 ~т В' й я= —,»» а,,а„,= —,, Р ч-ь Гяее а!» в а, — прпскции вектнрнн!!э!ого отклонения а, на осн пРоизвольно выбранной единой Врямоу!Иеьной системы координат; 3) главные направления Я, т)) суммарного закона распределения. соответствующие нм дисперсии (оз. Оз) и ~ 1' ч» угол а, составленный осью О! с осью Ох. определяются 204 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН !гл. гу формулами: о' = й;; созе а+ й„з1п2а+ й,з!и'а= 4р~ = — 1А+ С+ У' (А — С)а+ 4Вз ~ = ! 4р2 = — (А+С+(А — С) зес 2а), оз =йиз1п'и+ и, з!В2а+й соз'а= ! =~!А.~-е — Утг — ет.)-4В 1= арг = —, [А+С вЂ” (А — С) зес 2п].
1 где а — любой иа корней уравнения 2В !й2п=.2=С Главные полудиаметры единичного вллипса равны а=ар р'2. Ь=о„р)/2. Если' и и Ь вЂ” главные полуднаметры единичного эллипса, ги и п — сопряженные полудиаметры того же эллипса, а и Рнс. 3! Р— углы. образуемые полудиаметрами и и гм с полудиаметром а, !)+а — угол между сопряженными полуднаметрами, то согласно теореме Лполлония (рис. 3!) лгз+пз= а'+Ьз, гпа з!и (и;-" р) = аЬ. гле Ьз !яп !Иб= —,, дту пав Ье+(д' — б') з!пап ь ай использование вектОРилльных ОтклОнении 205 Таблица 9 а'а ау аз„ 1О, 21"- зх+ зуазх а-а +а зу Ы ау 2 а1 2 а ° а;х 2 зуу азхаух 1хазу А,+А,+ +А,-';2 Х Х(л,-зВ,-зл,1 Аз Вз в Вз- А1 Элементы ~ корреляционной матрицы йп1 (( суммарного закона распределения определяются. формулами: й =из = —, 12 =Оз = —, А, Аз 11 х 2рз ' Ф у 2р~ ' йю=п.= Ф А, в '~21 = 2рз Вз ~22= з Ф ' 3 В й12 —— —.
2рз ' Последние два столбца таблицы 9 служат для контроля правильности вычислений: должно выполняться равенство ~2;~ и' А +Аз+Аз+2(В1+В2+Вз). Дисперсии а, ц, ь по главным направлениям стан"-ч 1 эллипсонла' - поеделянаа Г 2 Мзуз1аии1 аз с' / оз= — о =2пз' С 2рз' Ф 2вз ' ч 2Р лудиаметры единичного аллипсонда где а, б, с — главные полу рнями суммарного закона распределени— ия — связаны с ко Композиция векториальных отклонений в пространстве осуществляется по аналогичным правилам. Необходимые вычисления удобно вести, пользуясь следующей схемой расчета (табл. 9): 206 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл.
!ч (ин ию из) уравнения из+ри+и=О соотношениями[ [ аз=и,+ о, "'=" +3 ! г с2=и + —, 3 1 2 ! р= — — [2+и, р= — — В+-[я+и. 3 ' 27 3 ! = А» + Аз+ Аз т = А»А2.+ А2Аз+ АзА» — В» — Вз — Вз 2 2 2 2 2 2 и = А»В, + А2В2+ АЕВз — А»А2Аз — 2В»В2Вз Корни кубического уравнения могут быть найдены или по специальным таблицам, илн по формулам: Ф вЂ” 2я и, = 2 ~ — — р соз ~, и = 2 12» — — рсоа ~ из=2 ~à — — рсоа / ! и+2Я 3 3 где — 9д соз»р=— 22» — Зр ' Направляющие косинусы осей $, т!. ь в координатной системе Охуя,определяются как решения трех систем урав- нений ([ = 1, 2, 3): (А, — Л,) ап+ Вза»2-+- Вза»з = О Взап+(Аз — Л,)ага+В,а»2=0, ~ а'„+ а'„-+ а'„= 1, 1 где Л =и'.
Л =32, Л =с', 1 ' 2 ' 3 а а,, обозначает косинус угла между [-й осью координатной .йвтемы г'Ф йьк»-и осью стены Охуг, Решение типовых примеров Прим е р 26.!. Положение точки А определяется с наблюдательного пункта О по дальности ОА = О н угловому ' , отклонению от ориентира В. в Я испОльзОВАние еектОРНАЕБных Отклонений 207 Срединная ошибка в определении дальности составляет 1001 оо от дальности; срединная ошибка в определении углового отклонения составляет е радиан.
Ошибка нанесения точки А на карту подчинена нормальному круговому закону со срединным отклонением г; ошибка определенна положения точки О также подчинена нормзльному круговому закону со срединным отклонением й. Определить суммарный закон распределения, характеризующий ошибку положения точки А, нанесенной на карту. Как изменится вероятность попадания точки А в квадрат 100 )( 100 мт при уменьшении О с 20 до 1О кл 1г = 20 лг, Я =40 л, в= 0,003, к =0,005)? Решение.
По направлению оси ОА действуют независимые векториальные отклонения ГгЮ г и г?, а в перпендикулярном направлении — независимые векториальные отклонения ЕО, г и г?'). Закон распределения ошибок положения точки А, нанесеннои на кэрту, определяется единичным эллипсом с полудиаметрами г'РО Ч- '.РО' г'ГО='-ЬО+Р, поэтому Р=Ф )Ф1 1/ Лоогт+ го+ ??') т Гге'1?о -1- г'-1- ??о ) ' =( При.дальности ОА =20000 м 1= Г1095) (748) = При уменьшении дальности до 10000 м Пример 26.2о Положение точки К на плоскости определяется путем измерения дальности до нее нз точек М 5Г. Координаты точки подчиняются нормальному закону распределения, заданному главными полудиаметрами а = 50 лг и 5 = 40 лг и углом Оч = 4Т' 52' между полудиаметром а и направлением МК.
1в ..„....,...*. У- ° 6----1" заменять отклонением по касательной на величину е0 и считатЬ вто отклонение перпендикулярным радиусу то Функции случлиных Величии 210 [гл. гв Составляем систему уравнений — 1167ац+ 138ад+ 1512ад — — О. 138ац — 2032ад+ 270а,з — — О. а11+ ад+ а|а= ' Из первых двух уравнений находим ад — — О, 1684ац, ад — — 0,7563ац1 из третьего уравнения ац н=+ 0,,7905. Таким образом, сов (а, х) = ац = ~ О 7905; сов Та, у) =ад — + 0,1331; соз(а я)= а1з=+ 0 5978 Аналогично решается задача 26.9. 30'37' 5 59'36' 8 92'12' 7 127'17' ( 8 158'48' 189' 3' 273'18' 319'5Ф 0,4 0,5 0,2 9,3 0,9 0,5 0,7 26.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
