1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пуля с вероятностью р может попасть только в мишень, в которую прицелился стрелок. Мишень считается пораженной, если хотя бы одна пуля попала в нее. Вторая серия выстрелов производится после наблюдения результатов первой серии и в тех же условиях, но по пораженным в первой серии миптеням стрельба уже не ведется. Определить математическое ожидание числа пораженных мишеней в двух сериях для случаев и = т = 8 и и /2ж 21.20. Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах прямоугольника со сторонами а и Ь.
Найти математическое ожидание расстояния между этими точками. 21.21. Найти математическое ожидание расстояния между точками, выбранными наудачу на противоположных сторонах прямоугольника со сторонами а, Ь. 21.22. Получить формулы для математического ожидания и дисперсии числа появлений события при п независимых опытах, если вероятность его появления от опыта к опыту изменяется и в Ьм опыте равна рт(1 =1, 2, ..., и). 21.23. При взвешивании на чашку весов положено 10 разновесов. Точность изготовления каждого из разновесов характеризуется срединной ошибкой в 0,1 г.
Точность процесса . взвешивания характеризуется срединной ошибкой в 0,02 г. Найти срединную ошибку в определении веса взвешиваемого тела. 21.24. На отрезке длиной / наудачу выбраны две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними. 21.25. Плотность вероятности для системы случайных величин (л., )/ задана формулой 1 см Й' уми у 3 У( ° у) = Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = аХ+ЬК 21.26. Случайная величина Х подчиняется нормальному закону Распределения х~ -Ф— с г(х) = — я с, г 1"я Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У =Д. 21.27.
Случайная величина Х подчиняется закону Пуассона. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = сохоХ 21.28. Дальность до маяка определяется как среднее арифметическое из трех измерений. Связь между ошибками измерения зависит от темпа измерений и характеризуется следующими значениями коэффициентов корреляции; а) при темпе 3 сек. гы = грз = 0.9, гм = 0.7; б) при темпе 5 сек. гы = грз = 0.7, гы = 0.4; в) при темпе измерения 12 сек. г; = О, )' ~ 1 Определить значения дисперсии для среднего арифметического результата при измерениях с различным темпом, если ошибки отдельного измерения характеризуются дисперсией, равной 30 21.29.
Случайная величина Х подчиняется закону распределения, плотность вероятности для которого х1 хр Г2 — у — е '"' при х) О. а'У л 0 при х «(О. ~(х) = р>рй 2рР -л;уе ~" при у)~0, 0 при у л„О. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У, =Х- У, если случайные величины Хи Уне- зависимы. 21ЗО. Дана случайная точка на плоскости с координатами (А; 1у, причем х =10, у = - 10, пх = 100, пр = 20 'р = 0 Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния 7 от начала координат до проекции точки на ось ОУ, образующую с осью ОХугол а = 30'. 21З1. Определить коэффициент корреляции для случайных величин Хи Г, если Х вЂ” центрированная нормальная случайная величина, а Г = А", где и — целое положительное число.
Плотность вероятности случайной величины У задана формулой 21.32. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = Х (У - У), если плотность вероятности системы (А; ) ) задана формулой 21.33. Колесу придается вращение, которое затухает вследствие трения; фиксированный радиус а, останавливаясь, образует с горизонтом случайный угол о, который равномерно распределен в пределах от 0 до 360'. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния конца радиуса а от горизонтального диаметра.
21.34. Материальная точка под действием центральной силы описывает эллиптическую траекторию. Известны большая полуось а эллипса и его эксцентриситет е. Предполагая, что с одинаковой вероятностью возможно наблюдение за движущейся точкой в любой момент времени, определить математическое ожидание и дисперсию дальности в момент наблюдения, если наблюдатель находится в притягивающем центре, расположенном в одном из фокусов эллипса, а й= а(1 „т) дальность Я до точки определяется формулой 1 — ~оь я, где и — угол, составленный радиусом-вектором Я с большой осью эллипса а.
(При движении в центральном поле секторная й~ — = аопм скорость сй ~~ "вь) й 22. Законы распределения функций случайных величин Основные формулы Плотность вероятностиЯу) случайной величины У, где У= иЯ вЂ” монотонная функция (т. е. обратная функция Х = у,Я однозначная), определяется формулой У~(у) =У и(у)) М'(у)1. Если обратная функция Х =)(®~ неоднозначна, т.
е. одному значению У соответствует несколько значений Хг)(1(у). Х2(У) ХЗ(у)." Хь (у) (рис 21)„то плотность вероятности случайной величины у' определяется формулой ,(„(у) = 'у) .( Ну(у)) И'(у)! Для функции нескольких случайных аргументов удобнее исходить из формулы для функции распределения Г„(у). У х Ф ф, ~У) ~'м9I В Рис. 21. Пусть, например, у = о(Хь Х~) и задана плотность вероятности );(хь х~) системы случайных величин (Х~, Х~). Если й, - область на плоскости Х~ОХУ для которой у<у, то функция распределения (л„(у) — ~ ~ у'л(хп хр)ях1«хя О уч Щ, Хь ...,Х„) к случайным величинам (Уь Уь ..., у'л) дх, дул дк, ду, дх~ ду~ дхл ду1 дх, дул дх, ду, д (хл хь ..., х„) дхл длл «хл ду~ дул дул и если это преобразование взаимно однозначно, то У„(у,, у,, ..., у„) = Щ ( (х,, х, ....
хл), величины хь ...,х„выражены через уь ...,у„. а плотность вероятности случайной величины у )'(у) = л' У вЂ” Р (у). В общем случае, если известен определитель Остроградского — Якоби преобразования от сл айных величин Решение типовых примеров Пример 22.1. Через точку (О, 1) наугад проведена прямая (рис. 22).
Найти плотность вероятности случайной величины и = 1соя о. Решение. Угол о является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале (О, к) (рис 22). рис 22 Так как при этом обратная функция у(п) однозначна (с изменением угла а от О до хфункция монотонно убывает), то для определения плотности вероятности случайной величины н применима формула у„(Ч) =Л,1Р(Ч)1!Ч'(Ч)~ где Ф(Ч) = асссоа —, Ч 1 — при .0 (<р ~п )/ ~Т, в 'р)= 0 во всех осталвинк случаях. окончательно имеем при 1Ч) ~(1 1 У (Ч)= У~'-~ 0 при ~Ч~ )!.
Аналогично решаются задачи 22.2, 22.5 — 22.7, 22.9 — 22.13, 22.19. Пример 22,2. Случайная величина У задана формулой +)'Х при Х)~0, у= +ф~ — Х при Х<0. Определить плотность вероятности случайной величины у, если Х вЂ” - нормальная случайная величина с параметрами х = О, ЩХ) = 1. Решение. В рассматриваемом примере обратная функция двузначна 1рис. 23); так как одному и тому же значению г соответствует два значения Х. Л1= — 1 е 1'е1 Л х = 1"~= — ~р 1у), то по общей формуле имеем У„Ы=У.1 — Я ~ — — "„", ~+У.Ю~~ — "„', ~= е4 еу — е е при О (у(со, е' 2й О при у(0 Аналогично решаются задачи 22.3, 22.4, 22.8. равновероятно внутри квадрата, сторона Фг~уу Рис.
23. ф,гу! которого 1, а центр совпадает с началом координат. Определить плотность вероятности случайной величины У =.ХХ Решение. Рассмотрим отдельно два случая: а) О < и < < 1/4 и б) — 1/4 < 2 < О. Ддя этих двух случаев построим на плоскости гиперболы, уравнения которых 2 = ху. Пример 22.3. Положение случайной точки с координатами 1Л; 1у На рис. 24, а, Ь запприхована область, внутри которой выполняется условие У, < я. У / 4 Функция распределения случайной величины Х определяется при О < л < 1~4 Р,(г) =Р(Е(х) =1 — Р(Я > г)=1 — 28 ° = и, па пт 1 =1-2( ау~ кх= — +2л — 2л)п4», 2 тФ Фф тли 8п — площлль.
области В" при — 1~4 < х < О Р,(х)=23п = 2 ~ Иу ~ ях=-~+2х — 2х!п( — 4х). 1 Дифференцируя эти выражения по и, получим плотность вероятности: приО<х<1~4 ~ (х)= — Р (х)= — 2!и 4х; и при — 1/4 < х <О У,(х) = — „~ Р (х)= — 21п( — 4х). И Окончательно плотность вероятности для случайной величины У = ХУ может быть записана в таком виде: — 21п4~х! при 1х~< 4, У.(х) = 1 1 О при ~х! Аналогично реп1аются задачи 22.1б — 22.19, 22.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
