1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Решение типовых примеров Пример 19.1. Дана корреляционная матрица системы четырех нормальных случайных величин !йь Хв Хв Х4) 3 1 0 !6 6 — 2 6 4 ! — з 13 3 1 О Иц!1 = Определить плотность вероятностидхь хв хр хк), если х! =10 Х2 =0 хб= 10 х4=1. » Решение. Вычисляем алгебраические дополнения определителя Л = Ц~: 3 б — 2 А„-- ! 4 О.
1 3 16 6 2 6 4.: 1 26; А>,— -2 1. З й» 3 16 6 йн 1 '6 4 Π— 2 ! 162; -2311 .!3 З ! А» = — 3 16 6 — 465', Π— 2 1 й>> 3 16 — 2 6 О-2 З 13 1 О 1' 4. 1 О ! 3 13 З 1 6 4 о -г 13 З О ,! 6 1 о-3 з 15 3 О 3 16 -2 О .-2 3 13 3 1 З 16 6 1 6 4 Находим величину определителя; 3 1 0 16 6 — 2 6 4 1 — 2. 1 3 15 ' 3 Ь= 1 о = 1$Ап+ ЗАм+ Ам — — 397. У (х,, х~, х~, х ) = ехр1 — — (28 (х~ — 1О)4— ( 1 4я' )~397 ( 794 -26 (х~-1О) х~+32 (х,— 10) (хь+10) — 28(х~ — 10) (х -1) + + 162хз — 682х (х + 10)+410х (х — 1)+633(х +10)~— — 810(.
+10)(х„— 1)+404(х — Ц)~. Пример 19.2. Случайная точка в пространстве задана тремя прямоугольными координатами, составляющими систему нормальных случайяых величин с плотностью вероятности $~ 3 т1ЙФ+4у» 7УО+и+1л+БЯ1 1 (х. у, г)= — а ' в„зх Требуется: а) составить корреляционную матрицу; б) определить геометрическое место точек, в которых плотность вероятности равна 0,01.
Решение. а) Таккак Пх. р х)=Л(х)Л(у х) где Ф 1 Г„, Ь1к+Ю М+бР! ~д (х)=с,е '. ~~(р, х)=е~г то А„„=й =О. При составлении формулы плотности вероятности учитываем, что при 1 ~ у в показателе степени содержатся равные слагаемые -и <-» 8$7 (хг — х;) (хз — х7) = ал (х7 — ху) (хю — х~). Плотность вероятности Отсюда следует, что 4 О [я[ аа 1-г" 4 Ф 31 а,аа [1 — г~) 4 2 о о ф 4 з з 4 16, о- 1М= а внутренняя поверхность — плоскостями я=ай, х=Ьду=с~, у=Ыъ я=та я=п1 Рассеивание точек 1Х У, 2) подчинено нормальному закону с главными осями, параллельными координатным осям, центром рассеивания в точке х* у я и срединными отклонениями Е Еу Ег. Решение. Так как главные оси рассеивания параллельны координатным осям, то событие, состоящее в том, что одна из координат, например х, примет значение в пределах от а до Ь, не зависит от того, какие значения примуг остальные координаты.
Поэтому Р~а<х<Ь с<у<от <я<в)= Р(а < х < Ь) Р (с < у < ф Р(т < я < и). Пример 19.3. Определить вероятность попадания точки (л., У; 71 в область, представляюшую собой полый параллелепипед, внешняя поверхность которого задана плоскостями х=а1, х=Ь1, у=с1, у=А, г=т1, я=п1 где Р1а <х <а)= —,~Е( — ') — Ф( —.)~. Аналогично определяются вероятности других неравенств.
Искомая вероятность попадания в полый параллелепипед определится как разность вероятностей попадания в параллелепипеды, ограниченные внешней и внутренней поверхностями, т. е. Задачи 19Л. Известно, что Хи У вЂ” независимые нормальные случайные величины с математическими ожиданиями х и у, срединными отклонениями Е„и Е, соответственно. Выразить функцию распределения системы 1Х, у) через приведенные функции Лапласа.
19.2. Даны математические ожидания двух нормальных случайных величин МЩ=26, М Щ = -12 и их корреляционная матрица Определить плотность вероятности системы 1А; Х~. 19З. Дана плотность вероятности координат случайной точки на плоскости у(х. у) =ее-н( -ее+е~ -он~-а+ео-зи, Требуется: а) определить с; б) определить корреляционную матрицу; в) вычислить площадь Я„единичного эллипса. 19.4.
Определить в точке хр=2, хе=2 плотность вероятности системы двух нормальных случайных величин, для которых 19.б. Дана корреляционная матрица системы трех нормальных случайных величин (Х; У, У): Математические ожидания т = з' = я = О. Найти плотность вероятности((х,у,я) и ее максимальное значение. 19.6. Система и нормальных случайных величин имеет корреляционную матрицу 1 1 1 ...
1 1 1 1 2 2... 2 2 2 1 2 3... 3 3 3 1 2 З...я — 2 я —.2 а — 2 1 2 З...в — 2 а.— 1 и — 1 ! 2 З...в — 2 а — 1 а а) Вычислить обратную матрицу, б) Найти плотность ве- роятности((хна ...,х„),если ~~=~~= . =" =0 19.7. Координаты (Хь У'у) и (Хв У~) случайных точек на плоскости подчинены нормальному закону распределения, причем математические ожидания всех координат равны нулю, дисперсии всех координат одинаковы и равны 10; корреляционные моменты между одноименными координатами М !Х~ Х~) = М! У! У~)остальные пары координат не коррелированы.
Найти плотность вероятности((хь уь хь у~). 19.8. Координаты Д; У) случайной точки А на плоскости подчинены нормальному закону 1 ~.с~ ~(х, у)= — е у~"' 2паЬ Определить вероятность того, что точка А окажется внутри эллипса с главными полудиаметрами Йг и кЬ, совпадающими с координатными осями Ох и Оу. 19.9. Координаты случайной точки А в пространстве (Х; У, У) подчинены нормальному закону дЗ,Р -Р' — + — + Р ~в2 з ~с) ~(я у, я) я я ~ "1 2 эу .~эяяящ Определить вероятность того, что точка А окажется внутри эллипсоида с главными полудиаметрами ЙЕь ЙЕд и Ыз совпадающими с координатными осями О„О, О,.
19.10. Определение координат точки на плоскости сопровождается систематической ошибкой И в одной из ее прямоугольных координат и случайной огпибкой, подчиненной нормальному круговому закону распределения со срединным отклонением Е. Определить вероятность того, что отклонение точки от ее найденного положения не превзойдет величины Я. 19Л1. Система случайных величин (Х У) подчинена нормальному закону с числовыми характеристиками М Щ = МЩ=О, Е,=Е = 10, к, =О. Определить вероятность того, что а) Х< У; б)Х>0, У'<О. 19.12. Вычислить вероятность попадания случайной точки А, координаты Х У которой подчинены нормальному закону, в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, если координаты вершин прямоугольника будут (а, Ь), (а, и), (с, Ь), (е, фирна=-5,6=10,с=5.
0=20, х =О, У =10,Е,=20,Еу=10. 19ЛЗ. Случайная точка распределена по нормальному круговому закону со срединным отклонением Е = 10 м. Сравнить ''~п"" ' ' х вероятность попадания в фитуру, ' Рис. 17. площадь которой 314 м', если она имеет форму: а) круга; б) ;;~~ квадрата; в) прямоугольника с '.в "' отношением сторон 10:1. Центр рассеивания совпадает с л ~ геометрическим центром фигуры.
19.14. Найти вероятность попадания случайной точки в заштрихованную (на рис. 17) фигуру, ограниченную тремя концентрическими окружностями и лучами, выходящими из не менее 7 баллов, и оценивается на отлично, если получено более 12 баллов. Какова вероятность выполнить задание при круговом рассеивании со срединным отклонением 20 см. Какова вероятность получить при этом отличную оценку? Центр рассеивания совпадает с центром мишени.
19.19. Определить вероятность попадания в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и А С = Ь, параллельными главным осям рассеивания (АСЙОу, ВСЙОк), если центр рассеивания совпадает с точкой А, а а ь — = — = й. лх лу 19.20. Чему равна вероятность попадания точки с координатами Х У, У в область, представляющую собой шар радиуса Я, из которого вырезан куб с ребром а (диагональ куба меньше диаметра шара)? Центр рассеивания совпадает с общим центром шара и куба.
Рассеивание нормальное шаровое со срединным отклонением Е 19.21. Рассчитать вероятность попадания точки А~1; У, У) в прямой круговой цилиндр с радиусом основания Я и высотой Ь, если рассеивание в плоскости ХУ, параллельной основанию, подчинено нормальному круговому закону со срединным отклонением Е, а рассеивание по образующей независимо от Х У и подчинено: а) нормальному закону со срединным отклонением В (центр рассеивания находится на оси цилиндра и делит ее в отношении ул: и); б) равномерному закону распределения в интервале (- Н, Н) при Н> Ь. 19.22.
Определить вероятность попадания случайной точки А (А; У, У) в прямой круговой конус, вершина которого совпадает с центром рассеивания; высота конуса Ь, радиус основания Л; рассеивание в плоскости ХУ, параллельной основанию, подчинено нормальному круговому закону со срединным отклонением Е, а рассеивание по высоте независимо от Х Уи подчинено нормальному закону со срединным отклонением а. 19.23. Нормальный закон распределения на плоскости задан математическими ожиданиями случайных величин "1 = ху = 10 и корреляционной матрицей Определить геометрическое место точек, в, которых плотность вероятности равна 10 5 19.24. Нормальный закон распределения в пространстве задан математическими ожиданиями случайных величин х~ = 2, «з = О, хз = -2 и корреляционной матрицей Определить геометрическое место т,очек, в которых плотность вероятности равна 10 5.
19.25. Для многомерного нормального распределения, приведенного в задаче 19.6, определить геометрическое место точек, в которых плотность вероятности равна 10 5. При каких п задача не имеет решений? й 26. Законы распределении подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределении Основные формулы Если Р(х, у) — функция распределения системы двух случайных величин, то функция распределения случайной величины Х, к оз Р,(х) Р(х, со) = ~ ~ у'(х, у) Иу Фх.
Аналогично для функции распределения У СО Р„(у) = Р(оо, у) = ~ ~ г (х, у) Нх Иу. О Ю Плотности вероятности случайных величин, входящих в систему, равны У() Р( у) у /„(у) = ~ /(х. У)Ы« Если Г(хьхь ...,х„)- функция распределения системы л случайных величин, то функция распределения части этих случайных величин (подсистемы случайных величин), например Хь Хв ..., Хь равна ~ьг,...,х(хьхь ...хд = г(хьхь",хь ',.", '). а соответствующая плотность вероятности ~1,2,...,х (ХьХ2, ...,ХД= СО сю — ~ /(х,, хе ..., х„) Лхх+1 ..'. Нх„ Плотности вероятности одной из двух случайных величин, входящих в систему, вычисленные при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (условные плотности вероятности), равны „~(х~у)= '~ ( ) У(У1 ) у'(х) у(х, у) Плотность вероятности подсистемы случайных величин (Хь Хь ..., Хь), вычисленная при условии, что остальные случайные величины Х~~ь Хх,в ..., Х„, приняли определенное значение, равна У(х1 хю ° ° ° хх(хх+1 хх~а " хх)= у(х„х,, ..., х„) у~+~ „(хх+в ..., х„) Плотность вероятности системы выражается через условные плотности вероятности по формуле ~(х,, х2; х~, ..., х )= = у1(х1)~2(х2~ х1) ух(ха~ хо ХД ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
