1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Определить математическое ожидание числа белых шаров в первом ящике по окончании указанных 1 опытов. Рассмотреть случай Й 5>:. 12.30. Связь с дрейфующей станцией могут поддерживать п радиостанций. Вступает в двустороннюю связь та, которая первой примет позывные дрейфующей станции, причем зто событие равновероятно для всех л, радиостанций ('р = 1/л) Дрейфующая станция будет устанавливать связь и раз. Определить вероятность того, что радиостанция № 1 вступит в двустороннюю связь краз. Найти для нее же математическое ожидание и дисперсию числа вступлений в двустороннюю связь.
12З1. Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока она не даст отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний. 12.32. Двое поочередно бросают монету до тех пор, пока у обоих не выпадает одинаковое число гербов. Вероятность того, что после 2п бросаний у обоих будет одинаковое количество гербов„равна (2п — 2)! )' а 2~" 'М (л — 1)! Определить математическое ожидание числа бросаний.
й 13. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Основные формулы Математическое ожидание " = М! Л1 и дисперсия О Щ случайной величины Х имеющей плотность вероятности~(к), вычисляются по формулам х=М(Ъ'1= ~ х~(х) Их, Р 1Х1 = ~ (х — Ц'У(х) ( . В первом случае предполагается, что интеграл сходится абсолютно. Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение и определяется формулой Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия Начальный момент Й- го порядка тв и центральный момемт к - го порядка 11в вычисляются но формулам же= ) хв/(х)Фх, ~ СО р = ) (х-х)"Х(х)ах.
Решение типовых примеров Пример 13.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рзлея) Х' У(х) х в 2а' (х) (1) Определить: а) математическое ожидание М Щ; б) дисперсию 2)Щ и среднее квадратическое отклонение о; в) центральные моменты третьего и четвертого порядков )13 и 1л4 Решение.
Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида у„=~В'в ' М (я>0 целое). а которые равны при п четном ,/и= — Г ~а+ — ) = )~я, Р (2л — Вн 2 ( 2! 2"+' где (2А - 1) !! = (2к - 1) (2А. - 3) (2к - 5)...7 ° 5 ° 3 ° 1, и при л нечетном 1 м 2Г(А+1)2 а) Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно СО (б х = М [Х1 = ! х~ (х) Фх = —, ! х'в ~' Фх.
л' л Ф а х Произведя замену переменных в 1' 2, получим М[Л'1=2 у'2а ~ з е зП=2 1'2М= =2)~2 — а=а [г — ° Итак, б) Так как аз — ~) [Х[ = М [Хз[ — (х)з= 4аз1з — -~ аз= аз(2 — -Д то а — аз 2 —— в) )зз = М [(Х вЂ” х)з[ езз Зхезз+ 2 (х)з где ез = 4 )/2аЩ = ааз ~/- Следовательно, [з = (~ — а) з/-' з К 2 [з = [)4 [(Х вЂ” х)з] = ез — 4хезз+ бхзезз — Зхз.
з где «з4=~~~1з=аа~. Следовательно, "з а 1 4 ~) Аналогично решаются задачи 13.1 — 13.13 и 13.22— 13.23. Пример 13.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа.) ,г (х) = — е- ! "~'. 1 2 Решение. Так как плотность, вероятности симметрична относительно нуля, то х = О. Срединное отклонение Е вычисляется по формуле а — =Р([Х-х[<Е) = ~ — е-~п 4х=у е-"ах=1-е-а. а) —,/ 2 Отсюда Е = 1п2 = О,б931.
Аналогично решаются задачи 13.1 и 13.4. Задачи 13.1. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид — при 1х — а~-~1, 1 ~(х) = О при 1х — «)~1 Определить: а) М 1Х); б) О Щ в) найти связь между средним квадратическим и срединным отклонениями случайной величины Х 13.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид О при х~ — 1, э Р(х) = а+Реки1пх при — 1 ~хе~1, ! при 1 «~х. Определить постоянные а и Ь. Найти М 1Х) и 1) [Х).
13.3. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х если плотность вероятности ~р -.ф У(х)= Г~ й =е е' пры х.~ О, 0 при х <О. 13.4. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса) ~ (х) = ( — а К, 'х ~ а) 1 Определить дисперсию и срединное отклонение. 13.6. Плотность вероятности случайных амплитуд А боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея) а' у.(а)=-ре Зет, о где а~ - дисперсия угла крена. Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньпгие и большие средней? 13.6. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла) ~(э) дАе'е-"' (е)~0) хр з 1 — —;- пРи х .~ хе, х 0 при ха~хе (х, > О).
Р(х) = Найти М 1Х) и 1) 1Х). Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину А при заданном Ь. 13.7. Плотность вероятности случайной величины Х задана в виде О при х<0, е" при х>0. Определить М Щ и О 1Х).
13.8. Функция распределения случайной величины Х имеет вид 13.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид ~ (х) = — е-'"! (распрааааениа Лапласа). 1 2 13.10. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (гамма-распределение) х а ~(х) = Ахае а при х". 0 (а — 1; 9„~0). 0 прп хс.0. Определить параметр А, математическое ожидание и дис- персию случайной величины Х 13.11. Случайная величина Химеет плотность вероятности (бета-распределение) Ах"-~(1 — х)а-~ при 0<х(1 (а > О', Ь ~ 0), 0 прн хсОнх' 1, Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х 13.12.
Случайная величина Х имеет плотность вероятности и+! ( х ) А ( 1 + х 9 где в > 1 — целое положительное число. Определить постоянную А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х 13.13. Плотность вероятности неотрицательной случайной величины Химеет вид ~(х) =Ах" ~е Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х 13.14.
Доказать, что при выполнении условий Иш (хР(х))=0 я Нл (х(1 — Р(х)Ц =0 к+-со х-э со для математического ожидания случайной величины справедливо равенство СО о М(Х)= ~ () — Г(х)) Ь вЂ” ~ Г(х)4х. 0 ОЭ 13.15. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска ( задается формулой ,~ (~) = 1 — в-т' (у ~ О), Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна. 13.16. Определить математическое ожидание т® массы радиоактивного вещества спустя время Г, если в начальный момент масса вещества была т0, а вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р.
13.17. Определить время полураспада радиоактивного вещества, если вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Время полураспада Т„определяется моментом, когда масса радиоактивного вещества в среднем уменьшается вдвое.) 13.18. Обработка результатов одной переписи показала, что дифференциальный закон распределения возраста лиц, занимающихся научной работой, может быть представлен формулой / (~) = А (~ — 22,5) (97 б — ~)~ ((- время в годах, 22,5 < 1 < 97,5). Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего превышает число научных работников в возрасте выше среднего. 13.19.
Найти для распределения Стьюдента, задаваемого плотностью вероятности (-:) начальные моменты т~ при й ( л. 13.20. Случайная величина Хподчиняется бета- распределению, т. е. имеет плотность вероятности ,~(я) = яя-3 (( — х)д-$ г(р+я) г(р) М (о< я < 1; р>0; д>О). Найти начальный момент А=го порядка.
13.21. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей в интервале (-х/2; х/2) плотность вероятности 2/хсоз~х. 13.22. Выразить центральный момент р~ через начальные моменты. 13.23. Выразить начальный момент т~ через центральные моменты и математическое ожидание я . й 14. Закон Пуассона Основные формулы Законом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины Хвида где Законом Пуассона может быть приближенно заменено биномиальное распределение, когда вероятность р появления события А в каждом отдельном опыте мала, а число и производимых опытов велико.
В этом случае имеет место приближенное равенство д- ~д а~ Сии га (! )и-е Я,И Где а = лр. Решение типовых примеров Пример 14.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов загод? Решение. Считая случайное числоХотказавших элементов подчиняющимся закону Пуассона Р (Х= т) = Р еФ — е-а = ~л1 ' где а = лР = 1000 0,001 = 1,получим: 1) вероятность отказа ровно двух элементов а~ ! Р (Х = 2) = Р = — е-е О 184. — а — 2~ 2) вероятность отказа не менее двух элементов )з(Л )» 2) = )' Р,е — ! — Ре — Р1= 1 е ~(!+а) = ~й~е 2 = ! — — ж0,2бб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
