1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е Аналогично решаются задачи 14.1 — 14.7. Пример 14.2. При разрыве баллона в процессе испытания напрочность образовалось 100 осколков, распределившихся в конусе разлета, ограниченном углами 30' и 60'(рис. 13), равномерно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа осколков, приходящихся на 1 м части поверхности сферы, находящейся внутри конуса разлета, если радиус сферы 50 м, а центр ее совпадает с точкой разрыва. Решение. Пересечем конус разлета осколков сферой радиуса 50 м и определим математическое ожидание числа осколков, приходящихся на единицу площади поверхности шарового пояса, образовавшегося в результате пересечения конуса разлета со сферой. Обозначим через о площадь поверхности шарового пояса: аи а/3 8=50' з!о Ф~Юйр=5000л(соз-~ — соз — ~! = э! =2500л(!/3 — !) ж5725 .аз.
Так как общее число осколков М = 100, то математическое ожидание числа их а. приходящегося на единицу площади поверхности шарового пояса, будет у !со а= —,= —,=0,0!745 осколка, 5 5725 Вероятность попадания данного осколка в данную площадку Бр = 1М мала(она равна Яа/5= 1,75 — 10 ) поэтому можно считать, что случайное число осколковХ Рис. 13. приходящееся на 1 м поверхности сферы, распределено по закону Пуассона и, следовательно, имеет место равенство Р1'11 = МЩ = а = 0,01745.
Аналогично решаются задачи 14.10 и 14.12. Задачи 14.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы. 14.2. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента? 14.3.
Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов? 14.4. В течение часа коммутатор получает в среднем б0 вызовов.
Какова вероятность того, что за время 30 сек., в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова? 14.5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов. 14.б. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8.
Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4? 14.7. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1 '4~. 14.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меныпе трех опечаток. 14З. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек. испускало в среднем 3,87 а -частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек.
это вещество испустит хотя бы одну а - частицу. 14.10. Определить коэффициент асимметрии случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Коэффициентом асимметрии называется отношение Бь = пз/о .) 3 14.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета с вероятностью Р(г, Х1= — я" л' г! попадает г элементарных частиц.
Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок: а) ровно гс частиц; б) хотя бы одной частицы. 14.12'). Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М период полураспада Т„, атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме Жо. 14.13'). Определить вероятность того, что в экран площадью 5 = 0,12 см2, поставленный на расстоянии г = 5 см перпендикулярно потоку от а - радиоактивного вещества, попадает в течение секунды: а) ровно десять а - частиц; б) не менее двух а - частиц, если период полураспада вещества Т„= 4,4 ° 10 лет, масса вещества М= 0,1 г, атомный вес вещества А = 238.
14.14. Доказать, что полиномиальное распределение глл(Ьи лъ ° °" ь улм+д = и 3' '' мул 1 т т ут яр ш+т и 1 т ''' м лт+Г где Р1+Р + " +к.+уг 1=1. Вг+ лт+ ° ° ° + Лм-1- Р„ет л. можно аппроксимировать многомерным законом Пуассона а-(л,члл+ ... +л„,) ! 'е Л*!т т лм ~! 1 т1 ° ам1 где 21 = прг.
если все вероятности рг за исключением р . 1 малы, а п. велико. ') 1. Рассеиваиием и поглощеинем частиц пренебречь 2. Число Авогадро ду,=6,02 10тт — число атомов в грамм- атоме, т. е. в количестве веществе, вес которого в граммах ревем атомиому весу. 3. Перкодом полураспада вещества Т„ иалмваетсе време в течелие которого масса радиоактивиого вещества умеиьшаетси в средмем вдвое, й 15. Закон нормального распределения Основные формулы Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид с»-.»т» 1 ж* У(х)- е г'Гл или (к-х~ -Р» у(х) == е и 1»' »» где о - среднее квадратическое отклонение, Е = р т' 2 и срединное отклонение (иногда называемое и ивероятным отклонением»), р =0,47693 б ...
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Хв интервал (х.», х») вычисляется по одной из следуюпшх формул: Ц Р(х <Х<х)= 2 ~Ф( — "' ) — Ф1 — "',")) в и 2 г гяе Ф(х)= — / е а <»с — функция Лапласа (интеграл е вероятности)„. 2) Р(хт < Х < ха) .= —, ~Ф ~ — ') — Ф ( — 'х )~, тле Ф(х)= --~- ~ е-Ип»тг — приведенная функция Лапласа. Значения функций Ф(х) " <и(х) даны в таблицах (8Т) и [11Т1. Решение типовых примеров Пример 15.1. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности.
Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением о = 100.м. Найти: 1) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м; 2) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной. Решение. Обозначим через Хсуммарную ошибку измерения дальности. Ее систематическая составляющая к = - 50 м. Следовательно, плотность вероятности суммарных ошибок имеет вид и+50)1 1 «(х) = — е 1ОО1 2 — 1 1. Согласно общей формуле имеем РЩ < 150) = Р( - 150< Х < 150) 2 ~ ~ М~~ ) ~ 100 Я 'е Интеграл вероятности является функцией нечетной, поэтому Ф(-1) = - Ф(1).
Отсюда Р()Х) < 150) = 1/2[Ф(2) + Ф(1)1 Из таблицы 1ВТ1 находим Ф(2) = 0,9545, Ф(1) = 0.6827; окончательно РЩ < 150) =0,8186. 2. Вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной, Р (-: < Х с О) = 1/2 (Ф(0,5) + Ф (;)).
Так как Ф(:) = 1пп Ф(х) = 1, а из таблицы 18Т1 находим Ф (0,5) = 0,3829, то Р(; с Х< О) = 0,6914. Аналогично решаются задачи 15.1 — 15.4 и 15.10 — 1 5. 14. Пример 15.2. Определить срединную ошибку прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ~20 м. Решение. Из условия задачи следует, что Р()Х) < 20) = 0,8. Так как плотность вероятности случайных ошибок нормальная, а я = 0 (систематические ошибки отсутствуют), то, Неизвестное значение срединной ошибки находим как решение трансцендентного уравнения Ф~ф) =0,8. С помощью таблицы [11 Т1 получим. Ф(20%) = 0,8. Откуда Е= 20/1.90 = 10.5 м Аналогично решаются задачи 15.8 и 15.18.
Задачи 15.1. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и срединную ошибку 50 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 М? 15.2. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом + 20 м, а случайная ошибка характеризуется срединным отклонением, равным 50 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100 м. Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже, внутри и выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора? 15З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
