1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Корреляционный момент между числом изделий первого и второго сорта равен о о-» В ил ~~) ~ дз л р» олрл» з «!з!(л — » — з)! ! о з » о»=о д д — Рз др Ро д ((р,+рз+рз) ) — и'р,р, д др лрз (Рз+ Рз+ Рз) ! л Р1рз др, 1 = л (в — 1) Р1рз — пор1ро — — — л роро. Пример 18.2. Дана плотность вероятности системы случайных величин (Х; )/: „Г(х, у) = 0,5 ап (х+ у) (О < х < л/2, О <у < л/2). Определить; а) функцию распределения системы; б) математические ожидания Хи У; в) корреляционную матрицу. Решение.
Находим функцию распределения (при О < х < к/2, О < у < к/2): Р(х. у) = Р(Х (х, 1' " у) = О 0,5з!п(х-(-у)з(хду= о о = 0.5 1»!и х+ »1п у — »1п (х+ у)1. Математическое ожидание случайной величины Х лД л/2 М 1Х1 = О, 5 / ~ х в! и (х+ у) Юх Фу = Ь а 0,5 ~ х1 — сов ~х+ — 1+ совх1 Фх= — =0,785, 8 Дисперсия случайной величины Х лф ло ав 01Х1 =0.5 / / хев!о(х+У)ФхИУ вЂ” та.е:~ .е е 16 =0,5 ~ хе1 — сов(х+Д+совх1Фх — ~' = в' х = — + — — 2=0,!88. 16 Из симметрии плотности вероятности относительно Хи У следует, что Корреляционный момент кв й„в — — 0.5 /~ хув1о(х+у)ФхФу — 16 = е е ~ !" (.+Ю- "-Ф -1"+4)1"-$- а 3С1 = — — 1 — — = — 0,046. 2 16 Таким образом, корреляционная матрица имеет вид О, 188 — 0,046 0,046 0,188 Аналогично решаются задачи 18.18 и 18.19. Пример 18.3.
Иглу длиной / бросают на плоскость, на которой на расстоянии Л друг от друга проведены параллельные линии. Определить вероятность пересечения иглой одной из линий, если / < Л (задача Бюффона). Решение. Введем систему случайных величин ~А; Ф), где Х вЂ” расстояние от середины иглы до ближайшей линии, а Ф вЂ” острый угол между иглой и линией (рис. 15). Очевидно, что Х может с равной вероятностью принимать значения от 0 до ь/2, а Ф вЂ” также с равной вероятностью значения от 0 до х/2.
ПоэтомуЯх, о), (р) = (2/1)(2/х) = 4/хХ, при 0 < х < П2 , 0 < ш < х/2; Рве. 1я. Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном в, если 0 < х < Ыпо/2. Отсюда Га!и я в,г Р= — / д~Р 1 сЬ.= Аналогично решаются задачи 18.20 и 18.21. Задачи 18.1. Координаты Х У случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсциссами х = а. х =Ь и ардинатами у = с, у = И 1'Ь > а, Ы > с). Найти плотность вероятности и функцию распределения системы величин Х У. 18.2.
Система случайных величин 1л; 3~~ имеет плотность вероятности Требуется: а) определить величину А; б) найти функцию распределения Е1х, у). 18.3. Определить плотность вероятности системы трех положительных случайных величин Д, У, 7) по заданной функции распределения р(х, у, а) = (1 — е "") (1 — е ~~) (1 — е '*) ' ' (х>0, у>0, я>0). 18.4. В условиях предыдущей задачи определить геометрическое место точек, обладающих одинаковой плотностью вероятности Ях, у, х) =~о, /о ( аЬс. 18.6. Из отобранных в = 6 изделий Хоказались кондиционными, среди которых У (у < 3) — высшего сорта.
Система Д; У7 задана следующей двумерной таблицей (матрицей) распределения вероятностей (табл. 7): Таблица 7 Р(Х= 1, У=)) Требуется: а) составить функцию распределения; б) определить вероятность получения не менее двух изделий высшего сорта; в) определить М Щ М Щ и корреляционную матрицу. 18.6. Система независимых случайных величин Хь Хь ..., Х„ задана плотностями вероятностей Г)(хД, 12(х2), ..., Ях„). Определить функцию распределения зтой системы случайных величин. 18.7. Задана плотность вероятности7'(хь х~) системы двух случайных величин, которые могут быть реализованы лишь совместно.
Наблюдены значения величин и и т . Определить вероятность того, что и является реализацией случайной величины Х~ 7 а т — случайной величины Х2 18.8. Задана плотность вероятности системы трех случайных величинЯхь хь хз), которые могут быть реализованы лишь совместно. Наблюдены значения этих величин и, р,м~, причем неизвестно, реализацией какой из случайных величин является каждое из этих значений. Определить вероятность того, что и является реализацией Х~, а н — реализацией Хг 18.9. Определить вероятность попадания случайной точки в указанную на рис.
16 запприхованную область, если задана функция распределения Р 1х, у). У а д» аг Яг .а аг аг аг ас аг рис. !б:. 18.10. Определить вероятность попадания точки с коор- динатами Д; У) в область, определяемую неравенствами (1 < х < 2, 1 <у < 2), если функция распределения 1а > О) Р(х,у)= 1 — в-.* — в-'~+а-~-2* при х..ьО, р>а. 0 т при х~о или у<0, 18.11.
Координаты случайной точки ~Х; У) распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсциссами (О, а) и ординатами (О, Ь). Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса Я если а > Ь, а центр круга совпадает с началом координат. 18.12. Плотность вероятности системы случайных величин равна Определить: а) постоянную с; б) вероятность попадания в круг радиуса а < Я, если центры обоих кругов совпадают с началом координат. 18.16. Дана корреляционная матрица системы случайных величин (Хь Хь Ху) 16 — 14 12 — 14 49 — 21 12 — 21 36 1к~у1= Составить нормированную корреляционную матрицу ~Ц~.
18.17. Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме на круглые и овальные, а по весу — на легкие и тяжелые. Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, соответственно равны а, ~3, у и б = а — р — 'у. Взята одна деталь.
Найти математические ожидания и дисперсии числа круглых деталей Хи числа легких деталей У, а также корреляционный момент /с между числом круглых и числом легких деталей, если а = 0,40, Д = 0,05, у = 0,10. 18.18. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин 1Х У), если плотность вероятности 18.19. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин 1л., Ц заданных в интервалах (О < х < х/2) и 10<у<к/2) если функция распределения системы Г1х, у) = япх апу.
18.20. Решить задачу Бюффона о вероятности пересечения иглой хотя бы одной иа прямых для случая / > 1, (см. пример 18.3). 18.13. Случайные величины Хи У связаны соотношением улХ+ п У = с, где ул, л и с - неслучайные величины (ул~О, в~О). Найти; а) коэффициент корреляции г б) отношение среднеквадратических отклонений о,/оу. 18.14. Доказать, что коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы. 18.15. Показать, что А „ус —— М 1(Х вЂ” х) (У вЂ” у) (Š— г)1 = = 141 Х)'г1 — ха„- уа„, — Э „„— хух, 18.21. Иглу длины 1 бросают на плоскость, состоящую из прямоугольников со сторонами, а и Ь, Определить вероятность пересечения иглой хотя бы одной из сторон, если а < 1, Ь < 1. 8 19. Закон нормального распределения, на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение Основные формулы Плотность вероятности для системы двух нормальных случайных величин (Х г"у (для нормального закона распределения координат точки на плоскости) К(х,у)= яяо,е„)~Т вЂ” г' где Я У вЂ” математические ожидания Хи У, а,о„— средние квадратические отклонения, г — коэффициент корреляции Хи К Геометрическое место точек, имеющих равную плотность вероятности, есть эллипс (эллипс рассеивания), определяемый уравнением (к- хр 2г( — х) (у — у) 1у — у)' Ая ю„е„ Если г = О, то оси симметрии эллипса рассеивания параллельны координатным осям Ох и Оу, случайные величины Хи У не связаны и независимы, а плотность вероятности 3 ~'о-ву (у-ууу -- 1 — + — '1 7~~у я ЕхЕу где Е = АУ УуУ 2' Еу = ' ул )'.
2. — срединные отклонения Хи соответственно У; а р = 0,4769 ... Эллипс, определяемый равенством (х — х)у (у — у)у — ~ — + =1, Ех у называется единичным. Плотность вероятности для системы и нормальных случайных величин (для многомерного нормального распределения) й ~ ', у~у~я (ху-ху) (ху-ху) у(х, ху х„)= е Ф (2х)"УУ У В )и яи ° ° ам аи аеу ''' «ув ° ° — определитель, составленный из элементов корреляционной а(-зь матрицы; Я)у - элементы обратной матрицы, равные с-в ац =лли ь4ц" А; — алгебраическое дополнение элемента Ц;.
В частном случае трех независимых нормальных случайных величинХ У, заимеем~ =й,=й =Он (2х)КУе,еуеу -у" †+ †+ †" г (х-эу (у уу и яу ъ . ~Р~ЕхЕуЕ где Е„Е„„Е,— срединные отклонения Х Г У. соответственно. Зтому частному случаю соответствует параллельность осей симметрии эллипсоида рассеивания координатным осям О„О,, и О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
