1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если функция и!(Хь Хв ..., Хл) линейная, т. е. л У= ~( а Х~+Ь, то /=1 м[г[= Х',м[х,[+в ~=! л л л 0 [!'[= ~ а!0 [Х ).+ ~ ~; а,а Я„., где Й; — корреляционный момент между случайными величинами Х, Х. Знание закона распределения случайных аргументов для нахождения моментов функции не является необходимым также и в некоторых других частных случаях. Пусть У=ХК тогда МЯ = МЩМЩ+А; - кроме того, случайные величины Хи У не связаны, т.е. корреляционный момент связи а, равен нулю, то 0[2[= 0[Х[0[!')+ х'О[!')+у'0[Х), м [у[ = м [х[ м [к[ ° Последняя формула может быть обобщена на любое число независимых случайных величин: п[й,)=ПО1и, Если начальный момент линейной функции и Г= ~2 а~Х>+Ь 2=1 независимых случайных величин существует, то он определяется формулой и я2211'1= — — и' ЦЕ» (в~/)~, „, а=1, 2, З 1 где спзй= ~Уу(я)а" 1» — характеристическая функция случайной величины Х.
Коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины У в этом случае определяются формулами Решение типовых примеров Пример 21.1. Случайная величина Хподчиняется биномиапьному закону распределения. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины У=е . Решение. Случайная величина Хможет принимать значения О, 1, 2, ..., л. Вероятность того„что она примет значение л2, Р Стп па)п- е определяется формулой и Поэтому М[У)= ~~,'О у Р = ~~ аатСе1ят11и-е (д+ рпп)и т=О ' т=О и и 01)и) ~'~ у2 12 у2 ~Р Се (РООа)т пп-е т=О е=о О+)ООО)' — М+ Оаа)" Пример 21.2. Индикатор кругового обзора навигационной станции представляет собой круг радиуса а.
Вследствие помех может появиться пятно с центром в любой точке этого круга. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния центра пятна от центра круга. Решение. Случайное расстояние Я от центра круга.до пятна может быть выражено через прямоугольные координаты Хи У: а = $~х~ ХР' Плотность вероятности системы случайных величин 1Х, Уу задана и определяется формулой 1 — при х2+у2 <а2, г1», у1= 0 при х2+у2) а2. Поэтому МИ1 = —, 1 ~ )~»2-+у2 а»ау = 1 а'+у'~ а' 2а а 1 1 1" 2 ~„р~,~,=,, 1 О И1 — / ~ (х~.+ у21 «1 лу — г~ аа+2а ~ а' 2а а акр ! ГЗ аа а2 1 г г ' 4 аа ла',I,/ 9 18 ' Лналогично примерам 21.1 и 21.2 решаются задачи 21.1— 21.14, 21.20 — 21.24, 21.2б, 21.27, 21.29, 21.30.
Пример 21.3. Из партии в Ф изделий, в которой имеется Т = Фр дефектных, произведен выбор без возвращения и изделий. Определить математическое ожидание и дисперсию числа полученных дефектных изделий. Решение. Обозначим через Х случайное число полученных дефектных изделий. Случайная величина Х может быть представлена как Х=~', л" где случайная величина Х; равна 1, если 1-е выбранное наделение оказалось дефектным, и О в противоположном случае. Вероятность первого, значения равна р, следовательно, х4 =М[ХЯ =О ° (1 -р)+1 р =р (также, как при рептении примера 6.1, можно показать, что вероятность получения дефектного изделия не зависит от !).
Тогда л М[Х1=М~ХХ1 = 4=1 = ~4 М [Х !) = яр. 4=1 Рис. 20. При выборе из партии изделий без возвращения, елучайные величины Х зависимы, поэтому г ° л л [)[х)=ОЯх,~=ХО[х,)+Х ХЯ! (!Фз! гяе 0 [Х 1 = (1 — х,)л р+ (Π— х;)' (1 — р) = =(1 — «)'Р+ Ре(! — Р) .—— И Яп — — М 1(х! — х!) (х4 — х!)) = М [х!х;) — [М[х!))л = !!!р — 1 =Р(хг —— 1)[з(Х! —— :1)х! — — 1) — Р =Р— Р = с4 — 1 РЧ ~ — 1 Окончательно 0 [Х1 = ар!! ( ! — — "! ) . Аналогично решаются задачи 21.15 — 21.17, 21.25, 21.28.
Пример 21.4. Определить математическое ожидание квадрата расстояния между двумя точками, выбранными наудачу на любой из сторон прямоугольника. Решение. При выборе двух точек наугад на любой из сторон прямоугольника возможны следующие единственно возможные и несовместные события (гипотезы) (рис. 20): Н! — точки выбраны на одной и той же стороне а;Нг — точки выбраны на одной и той же стороне Ь. Нз — точки выбраны на смежных сторонах прямоугольника; Н4,— точки выбраны на противоположных сторонах а; Н5 — точки выбраны на противоположных сторонах Ь. Для вероятностей этих гипотез имеем Га а1 а1 Р(Н) =21 — ° — [= — » 2р 2р 2р~ ' !а Ь1 аЬ Р(Н) =8~ — ° — ~ =2— 2р ' 2р 2р" ' где 2р — периметр прямоугольника. Определим условное математическое ожидание (т.
е. математическое ожидание при условии, что имела место гипотеза О) квадрата расстояния между двумя точками: й й М [2 [Н1[= ~ / У(х. у).( — у) 4хЮ= о о а а — (х — у)~ Их ау =— о о ь ь 1 Г Г Ь~ М [Ль [ Н,1 = —, [ «[ (х — у)ь ах ау = —., о о а Ь М [2'[ Н ] = — / ~ (х~-[- у.) ах ау = — (а'+ ЬЦ. о о М[г [Н,[=М[Ь-+(Х вЂ” )))=Ь'+М[(Х вЂ” У)Ь)=Ь'+ф, М [Ль( Н 1 = М [а~+(Х вЂ” ' уЯ = аь+ М [(Х вЂ” [[)Ч = а2+ —. ЬЬ Находим полное математическое ожидание случайной вели- чины У~: М[г'[=~Р(НЬ)М[г [Н,1= /=1 1 (а+ Ь)' р' бр' = —.(а4+4азЬ [ ЕЬ~Ьь+4аЬэ+Ь4) Аналогично решаются задачи 21.18, 21.19. Задачи 21.1.
Определить математическое ожидание длины хорды, соединяющей заданную точку окружности радиуса а с произвольной точкой этой окружности. 21.2. Найти математическое ожидание длины хорды, проведенной в круге радиуса а перпендикулярно выбранному диаметру и пересекающей этот диаметр в произвольной точке? 21.3. При сортировке стальных шариков по их размеру в группу с номинальным размером шарика 10 мм попадают шарики, проходящие через круглое отверстие диаметром 10,1 мм и не проходящие через отверстие диаметром 9,9 мм.
Шарики изготовлены из стали с удельным весом 7,8 гам~. Найти математическое ожидание и дисперсию веса шарика данной группы, считая распределение радиуса шарика в поле допуска равномерным. 21.4. Неподвижная точка О находится на высоте Ь над концом А горизонтального отрезка АК длины 1 На отрезке АК. наудачу выбрана точка В. Найти математическое ожидание угла ср между линиями ОА и ОВ.
21.5. Ножки циркуля, кащцая длиной 10 см, раздвинуты на случайный угол го, значения которого равномерно распределены в интервале ~0, 180'1. Найти математическое ожидание расстояния между остриями ножек. 21.6. Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения. Определить математическое ожидание случайной величины У, если 21.7. Вершина С прямого угла прямоугольного равнобедренного треугольника соединяется отрезком прямой с произвольной точкой М основания; длина основания 2 м.
Найти математическое ожидание длины отрезка СМ 21.8. На окружности радиуса а с центром в начале координат наудачу выбрана точка. Найти математическое ожидание площади квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки. 21.9. В урне черные и белые шары; вероятность извлечь белый шар равна р, а черный - д.
Из урны извлекается п шаров, причем вынутый шар каждый раз возвращается обратно в урну. Каково математическое ожидание числа случаев, при которых до и после белого шара извлекается черный шар? 21.10. Система случайных величин Х У подчинена закону нормального распределения ~(х,, у)= —,е рм Р~ уг Определить математическое ожидание случайной величины я=~~х +г'.
21.11. В полукруге радиуса а произвольно выбраны две точки Хи У, которые вместе с одним из концов ограничивающего диаметра образуют треугольник. Требуется определить математические ожидание площади этого треугольника. 21.12. На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Найти математическое ожидание площади треугольника АВС. 21.13. Число космических частиц, попадающих на данную площадку за время Г, подчиняется закону Пуассона ' Энергия каждой частицы является случайной и характеризуется средним значением а. Найти среднюю энергию, получаемую площадкой в единицу времени. 21.14. Радиоэлектронный комплекс содержит п. элементов.
Вероятность повреждения (выхода из строя) к-го элемента равна рь ф =1, 2, ..., п). Определить математическое ожидание числаповрежденных элементов. 21.15. Комплекс, состоящий из и однотипных блоков, прекращает работу при выходе из строя хотя бы одного из этих блоков, что происходит с одинаковой вероятностью для любого из них. Вероятность прекращения работы комплекса за некоторый цикл работы равна р. Новый'цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся ремонту хотя бы один раз при и циклах. 21.16. Имеется и блоков, действующих независимо один от другого и совершающих ряд последовательных циклов. Вероятность выхода из строя любого блока за время одного цикла равна р.
Новый цикл начинается после завершения предыдущего (отдельно для каждого блока) иди после ремонта, если предыдущий цикл для данного блока не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся ремонту хотя бы один раз, если каждый блок работал в течение и циклов. 21.17. Число элементов электронной машины, выходящих из строя за некоторый промежуток времени, подчинено закону Пуассона с параметром а. Длительность ремонта машины зависит от числа ж вышедших из строя элементов и определяется формулой ~ = У~1 — е ).
Определить математическое ожидание длительности ремонта и ущерба, причиненного простоем машины, если ущерб пропорционален квадрату длительности ремонта: 8ка — '1~а' 21.18. Приборный комплекс включает и блоков, действия которых независимы. Для выхода из строя комплекса достаточно повреждения хотя бы одного из блоков. Вероятность выхода из строя комплекса за некоторый период времени равна р, а повреждение любого из его блоков равновероятно. Новый цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока„если предыдущий цикл не был завершен.
По условию комплекс должен сделать 2т. циклов, причем после первых и. циклов (т ( и/2) все блоки, подвергшиеся ремонту хотя бы один раз, удаляются, а с оставшимися при прежних условиях повторяется еще т. циклов. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергшихся ремонту хотя бы один раз после двух серий по и циклов. 21.19. По и мишеням стрелок производит две серии выстрелов по т в каждой. Стрельба организована так, что выстрелы делаются последовательно по каждой мишени и наблюдения за результатами внутри каждой серии не производятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
