1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 25
Текст из файла (страница 25)
и, и4)=е Искомое математическое ожидание может быть получено путем четырехкратного дифференцирования характеристической функции М1Х~ХХ4= " '"(' ' ") д д ди р* и~~и~ о Первый способ. Если разложить характеристическую функцию в ряд по степеням ее показателя степени, то обнаружится, что при нахождении интересующей нас смешанной производной при из иг = из = и4 = 0 только один член разложения дает результат, отличный от нуля: 4 4 гг д ~~ 2„й„,,! М[ ~Х 1=-' '"-'.,*-' 8 диз диг диб и, и,=и, б Смешанная производная от квадрата многочлена при иг = из = иб = О будет в свою очередь иметь отличными от нуля только те члены, которые до дифференцирования были иги и пропорциональны из"гии т.е. 1.
д 12йззйгбизгиги4+ 4йгзйзбиз1игиб) М 1ХзХгХ4 —— 4 дигда ди = йззйг,+ 2йгзйм. Второй способ. Для удобства введем обозначение л г,= ~г й„и,. ю=1 Тогда б б дй д ди и = — Ес, диз диз — = Ег- — Š— = Ет — Ей д~и ~ дгз диз д"з г 3 з зз = — Е~~~г + 2Е~,~м+ Ет й, = Етззгтб 2Етзтгйзб Егзйм 2Етзтбйм+ ди д„ди — ззб з зб з гб з4 гз +2Ей йгз — Е г й +Ей ПРи и,=из= ... =из=о имеем Е=1, г,=о,.
вследствие чего М г1ХзХгХд11 = йззйзз+ 2йгзйзб. Аналогично решаются задачи 23.11 — 23.14. Задачи 23.1. Доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. 23.2. Задана Е,ь...,х„(ил ..., и„) — характеристическая функция системы случайных величин (ХьХв ...,Х„~. Найти характеристическую функцию суммы У = Хг+Х~+... ...+Х„ 23З. Найти характеристическую функцию линейной л г = ~~ адХ~+ с функции независимых случайных величин ХьХв ...,Х„, характеристические функции которых заданы. 23.4.
Найти характеристическую функцию квадрата отклонения нормальной случайной величины от ее математического ожидания У= Д вЂ” х) и начальные моменты распре—,г деления К 23.5. Найти характеристическую функцию случайной величины У = аЩ)+Ь, где Х вЂ” случайная величина. Г(х) — ее функция распределения. 23.б. Найти характеристическую функцию случайной величины У = ЙГЯ, где Х вЂ” случайная величина, а Р(х) — ее функция распределения. Определить начальные моменты распределения К 23.7. Найти характеристическую функцию проекции отрезка а на ось Оу, если угол между отрезком и осью Оу подчинен закону равной вероятности в пределах от 0 до 2х.
Определить плотность вероятности проекции отрезка. 23.8. Найти характеристическую функцию системы двух случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения (-")~", " 41 характеристическую функцию системы и случайных величин Я'ьХь ...,Х) подчиненных нормальному закону распределения, если заданы математические ожи- дания случайных величин, входящих в систему, хт — — а, и их корреляционнаяматрица Ф а<Р О 0 '0... 0 О щР' оЯ аоз 0 0 ' 0 О Р" 11= 0 ао~ оа охи 0 ... 0 0 0 0 0 0 О...
о' еР 0 0 0 О О...аа~ о~ 0", 8 = 1, 2, ..., а). 23.10. Найти характеристическую функцию 1=,'",Х, а=1 где (ХьХв ...,Х ) — система нормальных случайных величин. 23.11. Пользуясь методом характеристических функций, опРеделить МРг о)[Хг с)г еслиХьХг — ноРмальные случайные величины, для которых ~г =.гг = О М [Х~~] = М [ХД = о, а М [ХгХг~ = ягг. 23.12. Пользуясь методом характеристических функций, определить: а) М [Х~ХгХг1' б) М Р г-с ) Р'г — е НХг — о )) если ХьХг и Хг — нормальные случайные величины, для которых хг =хг=хг — О, М [Х1~ = М [Х2~ = М [ЛЗ~ = сг ~ггг ~го " ягг — корреляционные моменты между соответствующими случайными величинами. 23.13. Пользуясь методом характеристических функций, определить М [Хь Хг, ХД. если Хь Хг, Хг — нормальные центрированные случайные величины. 23.14.
Пользуясь методом характеристических функций; выразить М /Хь Хл Хл Х~/ через элементы корреляционной матрицы я г системы нормальных случайных величин Хь Хг, Хл Хг математические ожидания которых равны нулю. 13О фгнкции слгчлайых ввличин !гл. !и 23.13. Доказать, что центральный момент четного по- рядка системы л нормальных случайных величин определяется формулой Ргнгм ... е М [(Х! л,) '(Хя — лз) '... (Մ— л ) "~ = г~! М ° . гп! 'ьт 2~а! ~Й! ~Ь "' ~Ь' гле г!+ге+ ...
+г„=2г. а сумма распространена на все возможные различные перестановки 2з индексов (ип аю ..., лг„ и !н !ю ..., 1„. из которых г, индексов равны 1, гз ин- дексов равны 2, ..., г„ индексов равны а, 23.16. Дана система зависимых нормальных случайных величин (Хн Ха, ..., Х„). Доказать, что случайная велич чина У= ~~а а~Х~+Ь также подчиняется нормальному зау=! кону распределения, 23.17. Продукция завода состоит из однотипных изде- лий, каждое из которых в г-м квартале года (г = 1, 2, 3, 4) с вероятностью р, относится к первому сорту и с вероят- ностью о, = 1 — р, — ко второму сорту. Изделие первого сорта оценивается в 5н а второго — в 8, рублей. Опреде- лить характеристическую функцию системы случаиных ве- личин Х и У, где Х вЂ” стоимость изделий, выпущенных за первые три квартала, а У вЂ” за последние три квартала года, Определить корреляционный момент Х и У.
Число наделил, выпускаемых в г-м квартале, равно дГ,. $ 24. Композиция законов распределения Основные формулы Нахождение закона распределения суммы независимых случаиных величин по известным законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения. Если Х и У вЂ” независимые дискретные случайные величины, то рял распределения случайной величины Е = Х+ У определяется формулоп Р(г=л,)=~р(х=л,)р(У=я,— л,) = 1 = ~ Р (У = уа) Р (Х = л,' — у,), в КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 18! 4 ы1 где суммирование ведется по всем возможным значениям случайных величин.
Если Х н У вЂ” непрерывные случайные величины, то плотность вероятности для случайной величины г = Х+ У Г',(г) = ~ У", (х) У (г — х)41х = ~ Уу (у)У„ (г — у)44у, а функция распределения Р,(г) определяется формулой Г'к (г) = ~ ~Г'„(Х) Уу (у) ПХ а4у. К+У <К Плотность вероятности г (у) суммы независимых случайных величин Х,, Хю ..., Х„(У=Х,+Ха+ ... +Ха) определяется или с помощью характеристических функций по формуле где Е„(Г) = ~ е' 4У„(х) а4х. ку — ку . или путем последовательного применения формулы компо- зиции для двух случайных величин. Решение типовых примеров П р н и е р 24.1. Найти плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин г=Х.+У, где Х равномерно распределена в интервале (О. 1), а У имеет распределение Симпсона (рис, 25)." у при О~(у~(1, ~„(у)= 2 — у при 1~(у~(2. О ' в других случаях Решение.
Твк как функция ук(х) и уу(у) отличны от нуля только в определенных интервалах изменения своих 162 ФУНКИИИ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН !ГЛ. 1Я аргументов, то удобнее сперва найти функцию распределения случайной величины Я. Имеем !.,(х) =)з(Я(х) = ~' ('у.(х)~У(у) (хо(у, о, где Р,— область. внутри которой х+у х и ни одна из функций ~„(х).
и / (у) не обращается в нуль. (рис. 26), л:(„~ Ряс. 25. Вид области интегрирования будет различен в аависи- . мости от того, в каком из трех интервалов (О, 1), (1, 2) иля (2, 3) будет находиться значение х. Вычисляя для этих случаев интегралы, получим г г(Х) при х О / (у)!ту/ у„(х)г(х=— при О 6,х~1, о о г-1 1 г 1 г г ,~ -У +У "У '-)"+ о е о 1 г-г + ( д ~ у1гу х — 1+ г-1. о (2 — л)' (л — 1)г + — — — при 1-~ х «(2, 6 6 а 1 ! — / (2 — у)лгу у г(х=1-6 (3-х)з прн 2«(х<,3, 1 !83 а э! композиция законов илспавделвиия Дифференцируя по х,, определяем плотность вероятности; аз — при 0 ь,х 41, 2 — ха+3» — — при 1-ц,"х ~(2, 3 2 — (хт — 8»+9) при 2 4 »-43. 2 О при»~О или'х)3. ч" У,(») = функции ~„(х).
у (у) и 7' (») представлены на рис. 27. Аналогично решаются задачи 24.1, 24,2. 24.4, 24,8. > Рис, 2б, Пример 24.2. На отрезке А,Аа длиной 28 наудачу выбрана точка С. Возможное отклонение центрз отрезка Р,Ря = 2В от середины отрезка А,Ат имеет нормальное ла мса- уаазь у Рис. 27, распределение со срединным отклонением Е.
Определить вероятность того, что удаление точки С от середины отрезка Р,Рз не превзойдет заданной величины (о+В). 184 ФУНКЦИИ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 1гл. гу Решение. Обозначим случайное отклонение точки С от центра отрезка А,Аа через Х, а отк,чоненне центра отрезка Р,Рз от середины отрезка А,Аэ через У (рис. 28), тогда отклонение точки С от центра отрезка Р,Ре будет Рис. 28. равно Х= У вЂ” Х. Так как функция У (у) отлична от нуля иа всей числовой оси. то СО / (л)= ~ у„(х)у (г+х)Фх — — ~ — е ах= СО -Š— — е-яч'еЫ= — ~4( — )+Ф( )1. 2Ь Ун Удаление точки С от середины отрезка Р,Рэ не превзойдет величины д-+В. если ~х~(Н+В.
Поэтому .Вероятность этого события определяется формулой Р = Р ( ~ е ~ ( Ф+ В) = ~ У, (г) Фг = -<л ьв> е+в =' ~ И вЂ” '+.')+ ( — '.-'))"= — <л+в1 с+а+в е-л-в в и = е / э( — / ~р(е) ~е е-е в с+в+в КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 133 Сии+В и / Е(1)И= —,', ~~~.-+-в+1)гр1,"~ С-Ф- — (1.—  — а)4~ ")+ г ы и' — — Пгп-В+ау —, <С-Л-ВЯ + — ~е — е Аналогично решаются задачи 24.3. 24.5 — 24.7, 24.13— 24. 15.
П р и м е р 24.3. Смешаны лве группы однотипных деталей. содержащие и, и па леталей каждая. Число бракованных деталей в каждой группе (соответственно Х и г) имеет биномиальное распределение: Р (Х = гл) = С~прад"' м, Р()'=лг) =С,,р~~у ' н, Найти ряд распределения случайной величины л.
= Х + )х. Решение. Для того чтобы вероятность Р(к.=л) была отличной от нуля, х. должно быть целим и находиться в интервале (О, л,+л,). Применяя общую формулу и учитывая, что О ~(х ~(г, получим Р» 'кп Сх к п~-хСк-х и — х' и~-кч-к к. — Ва †.лл ',п,р 4' 'и, р о х=е * =Р ои' ' х~п С С* =С' '„'+и' лп и, л, = п+ивз к-е (в=О, 1, 2, ..., а,+а). — *'.- Равенство ~ Сп,С*„, к =С,',+„, может быть доказано, них=о пример, по индукции. Сначала доказать для а, = 1 н любых и,.) Эта задача может быть решена и с помощью характерн. стических функций. Для случайных величин Х и г имеем и (Г) М (е~лг) (реп+ 4)из, Е„(Г) = М (епн1 = (реп+ д)и'. ФУНКЦИИ СЛУЧЛННЫХ ВЕЛИЧИН ггл.
Нг Так как случайные величины Х и )е по условию незаВисимы, то Е, (Г) = Е„(Г) Е (Г) = (ран+ д)"'~"'. Из этого следует, что случайная величина Е также имеет бипомиальиое распределение. Аналогично решаются задачи 24.12, 24.16 24.21, Пример 24.4. Пусть Хн Хм .... Մ— независимые случайные величины, каждая из которык подчиняется закону ' Пуассона аа р (Х гн) е-а ле! с одинаковым параметром а. Л Найти ряд распределения случайной величины 1'= ~~'.~ Х1 у ! и доназать. что центрнрованная и нормированная случайнач )е — у величина — при и-+ со имеет нормальное распределение. Р е ш е н и е. Определяем характеристическую' функцию для случайной величины Х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
