1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 27
Текст из файла (страница 27)
где х' = — ['1 + — 0)',. 1 = ФГ1 — 4Ж(1 — лэ ае", 2817 [, Л)' уе†высота активного участка траектории, и — ускорение силы тяжести на поверхности Земли, 77 — радиус Земли. Функция г' в области практически возможных значений случайных аргументов лннеаризуется. Начальная скорость Ъ' и угол бросания ст — нормальные случайные величины, плотность вероятности которых 2~ оа1" 1 — ~~ Оя=ф) ОИ+® ВРЗ[+2ф)ф)й, Найти приближенное аначение дисперсии для максимальной высоты полета спутника. Р е ш е н н е.
Так как заданная функция по условию линеаризуема в области практически возможных значений случзяных аргументов, то .з м) ' лиивАуизАиия Функции случАииых'виличин 165 где й а= го„оз лу й(р+у»)[2(1 — А)(2А — 1)соззО+1(1+1) ло о( (1 — А)' дУ А ()1+.уо) з$П 2й 1 а гь и 1 вычислены при т'=о, '-8=6. , Аналогично решаются аадачи 25А13, 25.23.
Пример 25Л. Пусть Х, 'У вЂ” независимые случайные величины, плотности вероятности которых У„(х)=, (0 ~<х < 1). У„(у)= 2 (0<у <1). Пользуясь методом лннеаризацин, определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины х. = Х =згс(н —, Полученные результзты уточнить, используя для этого разложение заланной функции в ряд Тейлора с удержанием в нем первых трех членов.
Р е щ е н и е. Используя общие формулы линеариззцнн. имеем М [Е[ ж агс(й —, 0 [У.[ ж ~ — [ [) Щ + 1 — 1 О [У[. где 1 х=у= — [ 2 1' хих 2 н 'г т'1 — х» н з 3 О [Х[=ЖУ:[.= — [ ~" — ха = — —. ны У1 — х» . 2Г нз о Л2 ох [ й [,.„- — З+)н х Ф д2 ду х» [ уя 13» 196 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (гл.
1т Таким образом. метод.линеаризанни лает х к М [Л[ = агс(8' = = —, у кт кз — 8 к1 — 8 0[к[=2 —— 16 2к' 16 Учитываа следующий член разложения в ряд Тейлора, получим М [Я[кингс(8=+ — ~~ — )О[Л'[+~ — ) 0[У[ х 1 [! дзЕ1 гд1х'1 у 2 [(дхе) 0 [Е[ ж ~ — д'.)'О [Х[+ ~ — д')'0 [У[+ +Ц ~ — '„', )' (ра[л [ — от [хи+ ( д1)'(94[у[ — аз[[ [[)+ + —, о [ '[ [у [у[+ — „—, р м+ — ду, (4 [у[ д12 д4. д42' дх д12 где 814. 2х у кт дх1 (х1 + у1[1 8 д12 2х у ду4 ( 4 „[ у4[1 д~Г х' — у' — — — О дх ду (х' + у1[1 дУ д17 к / кзл к' дх дх' 4( 8) 32' д2 812 1' к! к' к4 ду ду' ' ! 4) 8 .
32 ' (А [Х[=[А [р[=~ — 34к из + 2игз= 1 1 2 Р х4их — Р 2 х14(х = — Зх 1 — =+2х'= Г'! — х' ° к )Г1 — хз, 4 3 4 46 16 5 Зк к+ к' кз Зк' 11 [Х[ = [14 [у[ = 4к4 4к41лгз+ бк1114кз — Зт4 3 .2 4 4 .1 16 4 3 48 г 8 к Зк '. к1- '2 - к' Зкт '.8' к'' э уь! линвлгнзлцня Фэнкыии слэчлнных Великим 197 Поэтому с учетом. квадратичных членов ряда Тейлора получим м~г~ ф, 1б + 3 123+ Ф 2' Аналогично решаются задачи 26.12, 25.15.
26,16, 25.13. Задачи 26.1. Количество тепла Я в калориях. выделяемое в проводнике с сопротивлением 77 при прохождении тока У в течение времени Т, определяется формулой ' Я=0„2Ы'гсТ. Ошибки измерения величин l. 1с, Т являются независимыми нормальными случайными величинами с математическими ожиданиями Т=10л, г=30 ом, 1=10 мин. и срединными отклонениями Е,=0,1а, Ел — — 0.2 ож, Ег=0.5 сек. Найти приближенное значение срединного отклонения случайной величины ф 26.2. Частота основного тона струны определяется формулой 2 $ АИ. где Р— сила натяжения, Л вЂ” масса струны, Л вЂ” длина струны. Известны математические ожидания р, е, 1 и средние квадратические отклонения ар. о,. и о Определить рассеивание частоты основного тона струны нз-за разброса силы натяжения, массы н длины струны, если соответствующие коэффициенты корреляции равны г н гр„, г г 25 3.
Сопротивление участка электрической цепи определяется формулой ~/1э ~~а7.— 1 ) гс — омическое сопротивление. Ь вЂ индуктивнос проводника тока, С вЂ” его емкость, 11 — частота тока. 108 ФУИКЦИИ'СЛУЧАИИЫХ ВЕЛИЧИИ 1гл. ш Определить срединную ошибку в величине сопротивления из-за ошибок при независимых измерениях Л, Ь, С и (), если заданы г, Х с, о и срединные отклонения Ел, Еы Ес, Е„. 28.4. При параллельном соединении элементов сила тока в цепи определяется формулой Е В+в а где Š— электродвижущая сила элемента, )Р' — его внутреннее сопротивление, л †чис элементов.
гс — сопротивле-, ние внешней части цепи. Пользуясь методом линеариззцин, определить математическое ожидание и дисперсию силы тока, если случайные величины Е, гс и 1Р' независимы, е, г, то и ол, ол, оя, заданы. 2Б.6. Используя метод лннезризации, найти срединные отклонения Е„и Е . характеризующие рассеивание координат материальной точки, движущейся в безвоздушном пространстве, если Х=УТсоьс), 'г'=УТзштт — —, д72 где У вЂ” начальная скорость материальной точки (о = =800 м/сел, Е„=О,!% от о), Т вЂ” время полета (г'= =40 сек.. Ег=0,1 сек.), 6 — угол' бросания (0=48': Еэ —— 4'), К вЂ” ускорение силы тяжести. Случзйные величины У, Т и гэ независимы н нормальны.
25.6. Найти приближенное значение срединной ошибки определения проекции У, скорости судна на заданное на' правление вследствие ошибок измерения его скорости Ъ' и курсового угла д, если У, = — У соз у, Еи — — 1 м(сел 'Ея —— 1', а наивеРоатнейшие значениа )г и д соответственно равны 10 ж~сгк н 60' (случайные величины )г и д независимы и нормальны). 25.7.
Применим ли в условиях предыдущей задачи метод линеаризации, если ошибка расчетных формул не должна превосходить 0,2 л/секг % ш! линки изатоая ознкнин снтчаиных внличин 199 25.8. Найти приближенное значение средних квадратиче- ских отклонений прямоугольных координат случайной точки Х =-Не!де созб, у = Н с15 з з!и 5, Е=Н, если случайные величины Н. з и 5 независимы, а математические ожидания н' средние квадратические отклонения нх соответственно равны: Ь =6200 м, в=45', 5=30', он —— =25 м, оп=о,=0,001 рад.
25.9. Переход от сферических координат к декартовым производится по формулам: Х = Яз1пВсозг9, !'= Й з!пЭ з!пФ, Я = Й соз 6. Ошибки в определении 9, !с и Ф независимы со средними квадратическими отклонениями ол — — 10 м, он=по = = 0,00 ! рад. Определить приближенное значение средних квадратических ошибок прямоутольных координат, если О= = <р = 45', г =- 10 000 м. 26.10. Приближенное выражение для скорости ракеты в момент окончания работы двигателя определяется формулой К. Э. Циолковского Ъ'=О!и —, а+й Д где У вЂ” аффективная скорость истечения газов.
~у — вес ракеты без топлива, 12 — зес топлива. рассеивание веса топлива характернауется срединным отклонением Еп. ОпРеделнть пРибаиженное значение сРединного отклонения скорости нз-за разброса веса топлива, если математическое ожидание М !О! = ьь 25.11. Высота горной вершины Н определяется по наклонной дальности 0 н углу места е: Н=В з!пе. Найти приближенное значение срединной ошибки оиределения высоты.
если Е, =,80 м, Е, = 0,001, а наивероятнейшие 200 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ. ВЕЛИЧИН [гл. ю аначения соответственно равны б7=12 300 ж и В=31',2. (Случайные величины Р и е независимы и. нормальны.) . 26.12. Пусть Х = з1п ХУ, где Х и г" — независимые слу- 1айные величины. Найти приближенное значение о . если х=у=о, о,=о„=0,001. 26.13. Высота горной вершины определяется по формуле Н = Р гйп е. Плотность вероятности ошибок в определении наклонной дальности Р и угла места е задана формулой — [( )+1 — ) +а,б ] 2 „, )Р0,01 где оа — 40 ж, о,=0,001 рад, гТ=10000 м, в=30'.
Найти приближенное значение срединного отклонения ошибок определения высоты. 26,14. Дальность Р1 трис. 29) определяется рааиолокационной станцией, ошибки измерения которой характеризуются срединным отклонением Ер — — 20 ль Дальность Ра мож:т быть определена либо дальномером. ' срединное отклонение ошибок которого Ер — — 40 м, либо рассчитана по формуле Рт =.
У Р', + дт . Определить, какой способ опре- деления дальности К,С является бо- Ф' лее точным, если ошибки в опреде- ленин расстояния между К, и Кт хат рактеризуются срединным отклоне- нием Е„=50 ль Рнс.. 20. 25,15, Учитывая три первых члена разложения функции У = гр (Х) в ряд Тейлора, определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины г', если Х подчиняется нормальному закону распределения. 25.16.
Плошадь треугольника определяется формулой аа 5=.— з)п у. -' 2 з вя ' линвдвизлция фзнкцин слзчлпных ввличин 20! учитывая члены разложения в ряд Тейлора функции 8 — <р(ч) до уз включительно, определить математическое ожидание плошади треугольника и дисперсию его площади из-за рассеивания угла, если случайная величина у распределена нориально, причем т и 0 [у) заданы. 25.17. В треугольнике АВС (рнс. 30) сторона и и противолежащий угол и†случайные величины, которые можно считать пекоррелнрованными и нормальнымн. Определить приближенное В значение математического ожидания угла Х и его срединного отклоне-.
ния, если база Ь известна, а матема- х тические ожидания и срединные отклонения случайных величин а и а и заданы. 2б.18. Случайная величина Х Подчиняется закону нормального распределения д ! сгьай Рис. ЗО. у„(х) = е 1О У'2з Определить приближенное значение математического ожи- 1 дания и дисперсии случайной величины У= —, учитывая Х' первые два и три члена разложения в ряд Тейлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
