1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пример 22.4. Система случайных величин (Х; )у распределена нормально с плотностью вероятности в+~3 1 У(». у) = — х '" ° 2па' Найти плотность вероятности системы (Я, Ф), если Х=ЯсохФ, У=Ах(л Ф. Решение. Для определения плотности вероятности сисстемы (и, Ф) применяем формулу у(г, Ч)=У1х(г %) у( т)1~ д(,,р) ~> д(х, у) д(х, у) где д(' т) определитель Остроградского — Якоби преобразования от заданной системы к системе (Я, Ф): дх дх дг оФ. ду ду дг д~р д(х, у) д(о я) Поэтому Есоь'~р+дяи'я Н Случайные величины Я и Ф независимы, так как У(г ч)=У„(у)У,(ч') где " ° о — закон Рэлея, ~„(в) — закон равномерного распределения.
Аналогично решаются задачи 22.22, 22.23, 22.25 — 22.27. 22.1. Функция распределения случайной величины Х есть г'„(х). Найти функцию распределения случайной величины У = аХ+ Ь. 22.2. Дана плотность вероятности Г(х) случайной величины Х(0 < х <:). Найти плотность вероятности случайной величины У = 1пХ 22.3. Найти плотность вероятности случайной величины У = аХ~, если Х вЂ” нормальная случайная величина, х = О, ЩХ) =о',а>0. 22.4. Определить плотность вероятности случайной величины У = ~Х ~, если Х вЂ” нормальная случайная величина, У которой х = О, а срединное отклонение Е дано.
22.5. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (О, 1) и связана с У функциональной зависи- К мостью ~ 2 ' Найти плотность вероятности случайной величины Х 22.6. Найти плотность вероятности объема куба, ребро которого Х вЂ” случайная величина, равномерно распределенная в интервале (О, а) . 22.7. Через точку (О, /) проведена наугад прямая. Найти плотность вероятности абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох. 22.8.
Случайная величина Хравномерно распределена в интервале (-Т/2; Т/2). Определить плотность вероятности случайной величины У = а ип (2~Л/ Х 22.9. Случайная величина А подчиняется закону распределения Коши 1 Ух ( ) в (1+ хд) Найти плотность вероятности случайной величины У, если: а) у=1-Х'/б) у=аХ~/в)Г=агс18Х 22 10. Определить плотность вероятности случайной величины у = Л". где и — целое положительное число, если плотность вероятности /„(х) = —— .1 а и а'+х~ ' 22.11. Случайная величина Храспределена в интервале (О,:) с плотностью вероятности /„(х) = е'. Определить плотность вероятности случайной величины У, если: а) Уа = Х а знак у Уравновероятен; б) У = )/Х.
22.12. Случайная величина Х подчиняется закону распределения Пирсона 1'(Я+ 1,5) + (1 — х') при )х[(1, О при 1х$) 1. Найти плотность вероятности случайной величины У= агсз1пХ 22.13. Случайная величина Хравномерно распределена в интервале (О, 1). Определить плотность вероятности случайной величины У, если: г-у У я .—;Т-"] Уз; б) Х=— 2 22.14. Случайные величины Хи У связаны функциональной зависимостью У = Г,Я. Случайная величина Хравномерно распределена в интервале (а, Ь~, а Г„(Х) функция распределения. Найти плотность вероятности случайной величины Г 22.15.
Случайная величина Хравномерно распределена в интервале (О, 1). Задана функция~Я l О, удовлетворяющая условию ~'Л(Осп= 1. Случайные величины Хи У связаны функ циональной зависимостью Х= ('Л(оа. Доказать, что~~(у) есть плотность вероятности случайной величины К 22.16. Система случайных величин (Х ) ) подчинена закону нормального распределения г(х, у)=. ' я а„а„ф2я Какомузаконураспределенияподчиняется случайная величина У=Х вЂ” К 22.17.
Определить плотность вероятности случайной величины Я=ХУ, если: а) задана плотность вероятностиЯх, у) системы случайных величин (Х 1~; б) Хи У вЂ” независимые случайные величины, плотности вероятности которых .е 1 'у (х)==е е ( — со(х(со). $' 2ю~ + у) ~ уе е при 0 (у~„оо. 0 пры у ~ 0; в) Хи г — независимые нормальные случайные величины с ее х=У=О идисперсиями о и ее соответственно; г) Хи 1" — независимые случайные величины, плотности вероятности которых 1 при 1х~ (1, 0 при ~х)) 1, ЯЗ У, у)=1" 0 при 0 (у (со при у(0. 22.18. Найти плотность вероятности случайной величины 7 =.'И; если: ДЗ х -~р —,е ее' при х)~0, У 1х?= 0 при хя,.О, и —,е м* при у~ О, О . пры'у~0; а) задана плотность вероятности~(х,у) системы случайных величин ~А; т'); б) Хи т — независимые случайные величины, подчиняющиеся законураспределения Рэлея: в) Хи У- независимые случайные величины, плотность вероятности которых 1 (х)= е ~ ( — се<х<сО).
/ 2п ~т лУ' Ь1 о У,Ы=~ прп у <О г) система случайных величин (Х, Уу подчиняется нормальному закону распределения и-и +у 1 у(х у) и м1 2па' Д) случайные величины Хи у независимы и подчиняются закону нормального распределения с " = у = О и дисперсиями и и ~~ соответственно. ! Ф л~ ф 2па~п~ ~'Т вЂ” г" 22.19. Найти плотность вероятности модуля радиуса-вектора я = ~ «'-~~.
* а) плотность вероятностиЯх, у) для системы случайные величин д, уу задана; б) случайные величины Хи У независимы и подчиняются одному и тому же закону нормального распределения с мате- матическим ожиданием, равным нулю, и срединным откло- нением Е; в) плотность вероятности для системы случайных величин (Х, 5 задана формулой — прп х~+у1 К, й1, 1 ~ (х у) пп~ 1' О прп х'+у~>Ю г) Хи У вЂ” независимые нормальные случайные величины, плотность вероятности которых 22.20. Система случайных величин 1Х; У) имеет плотность вероятности 2ии„ау 1 — уу Найти линейное преобразование случайных величин Х Г независимым случайным величинам У и К Определить средние квадратические отклонения новых случайных величин.
22.21. Оба корня квадратного уравнения х2 + ах+ р = 0 с равной вероятностью могут принимать любое значение от -1 до +1. Определить плотность вероятности для коэффициентов а и 22.22. Прямоугольные координаты ~Х; У) случайной точки— зависимые нормальные случайные величины, х, у,о о„г Даны. Найти плотность вероятности полярных координат (Т. Ф) этой точки„если Х вЂ” х г — у — =ТсозФ, — =ТМпФ. ик су Каким законам распределения подчиняются Т и Ф, если г =0 22.2З.Пусть о+~ + 2 у" 8с Ъ0и А — нормальные 8=8с+У-~'+ —, гас 8. 1У и А случайные величины, математические ожидания и корреляционная матрица которых известны. Определить плотность вероятности Ях ! г). 22.24. Найти плотность вероятности неотрицательного квадратного корня из среднего арифметического квадратов нормальных центрированных случайных величин У = -„' 2 х,'.
если дисперсия 01ХЛ = п2 Д = 1, 2...., л). 22.25. Прямоугольные координаты случайной точки (Хн Хь ..., Х) имеют плотность вероятности 2а' Х «уу у1х!* х2' ' ' '' хи) —, я ~зи1~~у Оо Найти плотность вероятности для п-мерных сферических координат зтой точки Я, Ф| Фг, .... Ф„ь если: =йяпФ,, = гс в!и Фв сов Фо = 1с ив Ф сов Ф, соз Фе х, х, Хв Х„, есз1пФ„,совФ,созФв... созФ„ Х„=йсовФ,совФв ... совФ„о 22.2б. Две системы (Хг Ха -, Х„) и ~ув уг, ..., у„) случайных величин связаны линейными зависимостями С и,1 и=1 причем ~а„"~ФО Определить плотность вероятности ~~ (улуг, ".,у„) если плотность вероятности ~' (хьхг, ...,х„) задана. л 22.27.
Найти закон распределения системы случайных Величин 1Я, О), где ~=)' Х +1 +~ — радиус-вектор У случайной точки в пространстве, а О = агса1п У/Я вЂ” широтный угол. если плотность вероятности прямоугольных координат 1Х У, 7) равная(х, у, г). й 23. Характеристические функции систем и функций случайных величин Основные формулы а 11 .,х,1 ачхое...,, » (и~,'ив...г, и„) =М 1е "=' ХаРактеРистической фУнкцией системы слУчайных величин 1Хь Хь ..., Х,) называется математическое ожидание и ехр 1 ~~'.~ и„Х„ функции ' "=' ~ гдеиз17с=1,2, ....л) — вещетвенные величины, в ~= 3~ Для непрерывных случайных величин Ел,'а,.„х (и1, и2... „ил)= и л " л л О) СО ОО ~ е "=' ~(х1, «2, ..., х )'Их1дх ... 2[ха. Характеристическая функция системы независимых случайных величин равняется произведению характеристических функций случайных величин, входящих в систему: Еа,,„..., (и,, и2, ..., и )=ПЕ (и1).
Для многомерного нормального распределения с матема- тнЧЕСКИМИ ОжИдаНИяМИ "1 "2 ° ° "л И КОррЕЛяцИОННОй матрицей ~11 ~12 ''' ~1л ~21 ая! ' ' ' а2л аа! ~а2 ' ' аал В том случае, когда начальные моменты системы случайных величин соответствующего порядка существуют, '!+'л+" + л 1=1 д "' лл ди ' ди ! ... ди " 1 Л -' а а- ° ° =а-Ю Если случайная величина У = оЯ, то Е (и) = М [е!иг[ = ~ е!22[4 ~ (х) й22.
Характеристическая функция системы случайных величин (У!, Уь ..., У„) ' каждая из которых является функцией других случайных величин Г,=р(Х,, Х,..... Х ), ~з 'р2( с!' 'с2' ' ' ' Х!в)' Г„=!р„(Х! Хв. ° .. Х ). равна д„' „(ин .... и„)= а " ! ~~'~~ авве(е!, ...,е, ) ~ е "=', ~(и!, .... х )сМ! ... Ыи„е ! Характеристическая функция подсистемы случайных величин может быть получена из характеристической функций системы, если переменные ин относящиеся к величинам, не входящим в подсистему, заменить нулями, Решение типовых примеров Пример 23.1. Частица начинает движение из начала координат и перемещается в некотором направлении на расстояние !ь Затем она мгновенно меняет направление движения и в новом произвольном направлении перемещается на величину 1!.
Траектория блуждающей таким образом частицы состоит из отрезков длиной 1ь 6,..., е„направление каждого из которых определяется углом о!„с осью Ох, равномерно распределенным в интервале (О, 2х). Случайные величины сс!,из,...,о„независимы. Найти характеристическую функцию координаты Хконечной точки траектории и соответствующую ей плотность вероятности. Решение. Координата Х определяется как сумма проекций отрезков 1!, на ось Ох: л Х = ~ ~„совав. в=! Вследствие независимости ав ~(а!, а, ..., а„)=И~(ав), в 1 причем — прп О <а„<2я, 1 ~(ае) = 0 -при ае < О.
а > 2л. поэтому и ОФ ~~ ги ~~ [есавее В„(и)= / ... / е "=' У(а,... „а„)да, ... На,= СО О2 и й =Ц/ '"-"""Ф=П"("") е=' о е=! где)е - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Отсюда Г" (х) = — е 'е» Ц .7е (1„и) ди, е 1' Г" (х) = — 1 еое их Ц 4> (1„и) ди.
1 Г 2и /г.= ) Пример 23.2. Задана корреляционная матрица (Щ системы шести нормальных случайных величин Хь Ха ..., Хе, математические ожидания которых равны нулю. Пользуясь методом характеристических функций, определить математическое ожидание произведения ХзХ~Х+. Х2Х Х Решение. Математическое ожидание М ~~е~е~4 определяется распределением подсистемы случайных величин Д2 Х3 Х4. Соответствующая этой подсистеме характеристическая функция имеет вид 4 4 -- 2 Ъ5 е~еи~иу Е. „~ (ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
