1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ух(х„~ хв хе ..., хх) Решение типовых примеров Пример 20,1. Положение случайной точки А ('.К )"у равновероятно в любом месте эллипса с главными полудиаметрами а и Ь, совпадающими с осями координат Ох и Оу соответственно. Требуется: а) определить плотности вероятности каждой из прямоугольных координат и их взаимные условные плот- нести вероятности; б) исследовать зависимость и коррелированность случайных величин, входящих, в систему. Решение, а) Так как 1 '.Р паЬ вЂ” при — + — < 1, а' $~ У(х. у)= О при —,+ —,) 1. то при заданном х в интервале (- а, а) плотностьЯх, у) отлична от нуля лишь тогда, когда — Ь ~/ 1 —, < у К.
Ь х' х~ . значит -а~ 1 При )х~ > а~(х) = О. Отсюда при 1х~ ( а, ~у[ (Ь ~ 1 — —,. 2Ь~1 —— а' г — „*. ири 1х~~ а или ~у~ ~ Ь ~~ 1 —. Аналогично у (у)= — 1 ~ у<а 2 ((х~ у)= при ~у~ <Ь, ~х~ <а ~/'1 — —" 2а ~Г1 —— Ьй и Уь(у)=У(х~у)=0 при ~у~ >Ь или 1х~ >а ф 1 — тг. / уг б) корреляционный момент между Хи У ) худ(х. у)ахау, ОЭ Ю причем функция подзнаком интеграла отлична от нуда внутри эллипса х — + — =!. .ао М Производя заменупеременных х =агеева, у=Ьгз1п о), получим ои а„„= ~ ~ агргсоо~ро1в~р — „, аргйг Бр=0. 1 о о Таким образом, случайные величины Хи У являются не коррелированными (Й = О), но зависимыми, поскольку 6.(х)БЫ Н(х, ~) Пример 20.2.
Координаты случайной точки на плоскости подчиняются нормальному закону распределения 2г (х — х) (у —.У) (у — у)' + ага а~~ ! 1 (х — х)' у( ехр 2 (1 г~) а~~ Производя замену переменных х — х — и а; У' — У,„ а, учитывая, что —,(и — 2гиа+а') = и + 1 (а — ги)' Определить: а) плотность вероятности координат Хи У; б) условные плотности вероятности~(у ~ х) и у(х ~ у); в) условные математические ожидания; г) условные дисперсии.
Решение, а) Для определения плотности вероятности координаты Хнаходим у (х) = ) у(х у) Лу получим й' (е-~иу х о)2л )г1 гУ у (О хй 1 2 о) У 2о или )х-ху у у„(х) = е а) )г 2л Аналогично находим (х-Й' У,О)= оуу 2л б) Деля~(х, у) паях) получим 1 е1 и у-у-г — (х-х)] а, у(у[х)= е и аналогично 1 о х-х-г (у-у)1 е2 в) Из выражений для условных плотностей вероятности следует, что условное математическое ожидание случайной величины у при фиксированном значении Х = х равно у = М [1' [ х[ = у+ г — ' (х — х).
Аналогично хе= М [Х [у] =х+г — '(у — у). Эти уравнения, выражающие линейную зависимость условного математического ожидания одной из случайных величин от фиксированного значения другой случайной величины, на- зываются уравнениями регрессии. г) Из выражений для условных плотностей распределения следует, что условные дисперсии равны [) [У[х] =оУ =о1(1 — ге), ))х ) О[Х[у]=о' =о~(1 — г.), Пример 20.3.
Определить плотность вероятности длины радиуса-вектора, если координаты его конца А подчинены нормальному круговому закону и+ у' 1 У(», у)= — к Решение. Переходим от прямоугольных координат точки А к полярным (г, о). Вероятность попадания значения радиуса- вектора в интервал (г, г + Й), равная ~(г)й; Рис.
19. может быть найдена как вероятность попадания случайной точки А в бесконечно узкое кольцо, показанное на рис. 19. Следовательно, ~,(г)с(г= ~ ~ 1(», у)Ф»Фу. и<х'~->'<и+йгР Переходя к переменным интегрирования г, в и учитывая выражение длинах, у), получим ~,(г)= ~ —,е ~' Иср= —,е "'* ,у 2»а' Ф (распределение Рэлея).
Задачи 20.1. Система случайных величин (Х У, У) равномерно распределена внутри прямоугольного параллелепипеда, образованного плоскостями х = аь х= ад у = Ъь у = Ъ| г = сь г = съ Определить плотности вероятности системы ~Х; У, Щ подсистемы (У, 7) и случайной величины Х Проверить зависимость случайных величин, входящих, в систему. 20.2. Положение случайной точки (Х )у равновероятно в любом месте круга радиуса Я, центр которого совпадает с началом координат.
Определить плотность вероятности и функцию распределения каждой из прямоугольных координат. Являются ли случайные величины Хи У зависимыми? 20.3. В условиях предыдущей задачи определить условную плотность вероятности((у( х) при )х! < Я, )х) = Я и ф > Я. 20.4. В условиях задачи 20.2 вычислить корреляционную матрицу системы случайных величин Хи У. Являются ли случайные величины Хи У коррелированными? 20.5.
Система случайных величин Х У подчинена равномерному закону распределения внутри квадрата со стороной а. Диагонали квадрата совпадают с осями координат. Требуется: а) определить плотность вероятности системы (Х У); б) определить плотность вероятности каждой из прямоугольных координат; в) определить условные плотности вероятности; г) вычислить корреляционную матрицу системы случайных величин (Х У); д) проверить их зависимость и коррелиоованность.
20.6. Случайные величины (Х; У, У) равномерно распределены внутри сферы радиуса Я. Определить для точек, лежащих внутри сферы, плотность вероятности прямоугольной координаты е. и условную плотность вероятности((х, у ~ ху 20.7. Дан дифференциальный закон распределения системы неотрицательных случайных величин у'(х, у)=яхуе-<"'+~ч (х)~0, у)~0).
Определить к, Ях~, ( (у), ((х(у), ((у(х). первые и вторые моменты распределения. 20.8. Для системы случайных величин (А; )у известны ( (у), М(Х ~ у] и ЩХ ~ у]. Определить М (л.'] и О (Х]. 20.9. Система двух случайных величин (Х; У) подчиняется нормальному закону распределения е'(х, у)= = я ехр ( — —, ((х — 5)'+0.8 (х — 8) (у+2)+0.28 (у+2)'3 $.
Определить: а) условные математические ожидания и дисперсии; б) плотность вероятности каждой из случайных величин, входящих в систему; в) условные плотности вероятности~(у ! х) и~(х ( у). 20.10. Плотность вероятности системы двух случайных величин (Х; 1) задана в виде ((х у) Ае-ал'+еее-'еу (а» О, е > О). Определить закон распределения~, (х) и)у (у). При каких условиях Хи Уявляются независимыми случайными величинами? 20.11. Дана плотность вероятности системы двух случайных величин ) (х, у) = яе-4"-е ~-ее'.
Определить постоянную )с, корреляционный момент между Хи у и условные законы распределения)(х ~ у) и )(у ) х) 20.12. Положение ориентира на плоскости распределено по нормальномузаконупри х =125м, у =-30м, п,=40м, ст = 30 м, г = 0,6. Координата Хопределяет отклонение ориентира «по дальности», т. е. по направлению, параллельному линии наблюдения.
Координата У определяет отклонение ориентира «по боковому направлению», перпендикулярному линии наблюдения. Отклонения отсчитываются от начала координат. Определить: а) плотносп вероятности отклонений ориентира по дальности; б) плотность вероятности отклонений ориентира по боковому направлению; в) условную плотность вероятности отклонений ориентира по дальности при отсутствии боковых отклонений; г) условную плотность вероятности отклонений ориентира по боковому направлению при отклонении по дальности +25 м. 20.13. В условиях предыдущей задачи найти уравнения регрессии УнаХиХна К 20.14.
Определить плотность вероятности длины радиуса- вектора случайной точки и его математическое ожидание, если координаты точки (А; у, е) подчинены нормальному закону распределения 1 — —,(е*+е'+ея 1 ((х, у, е) = —,е (2а1 ь дз 20.15. Координаты случайной точки А на плоскости хОу подчинены нормальному закону распределения 1 с' у'1 у(х у) [ е г с +и) 2аас Определить плотность вероятности полярных координат этой точки Я) иД(и). 20.16. В условиях предыдущей задачи найти условные плотности вероятности((г [ сф нов [ г).
20.17. Случайная точка в пространстве подчинена нормальному закону распределения ! ев ((х у х)= [ е г1а ~с +с'У (2а) Ь аЬс Определить: а) плотность вероятности сферических координат этой точки(Я, О, Ф), еслих= гсоз и соя о,у=гсов'о яп о, я= г я[п и; б) плотность вероятности подсистем случайных величин (Я, О) и (О, Ф); в) условные плотности вероятности Яг ~ и, о) и Яо[;и). ' 20.18.
Для системы случайных "величин Хь Гь Хь Уг задачи 19.7 найти плотности вероятности подсистем (хг х) и ( (х,, у,). 20.19. В условиях предыдущей задачи определить условную плотность вероятности((хг уг [ хь у2), условные математические ожидания и условные дисперсии М [Х [ х,. у,[. М [1'г[ х,, ус[ 0 [Хг [ хо уг! 0 [['г[ х,. уг[ лрихг=О,уг =10 ГЛАВА 1У ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН й 21. Числовые характеристики функций случайных величии Основные формулы Математическое ожидание и дисперсия случайной величины у, связанной заданной функциональной зависимостью Г= в(Л) со случайной величиной Х плотность вероятностиЯх) которой известна, определяются формулами у = М (у1 = ~ <~ (х) ~ (х) ях, р~у) ~ (,~(.)~гу(.),~х -2 Аналогичным образом находятся начальные и центральные моменты любого порядка: Данные формулы обобщаются на любое количество случайных аргументов: если У =о(Хь Хь ..., Х„), то е,Г[= ~ " [ [Е(х ° х "" х.))')( -сл (л! -со )(~(х!.
х„.... х,)а(х! ... ([хл. [(~ [У). [[,. ° ~ [ср(хн х!., ' х„) — у)~)(. сс (Л) - сл Х,( (х! х2 « ° х„) ссХ! ' (сьсс где~(хь хь ...,х„) — плотность вероятности системы случайных величин Хь Хв ..., Х„. Для дискретных случайных величии интегралы в приведенных выше формулах заменяются соответствующими суммами, а плотности — вероятностями соответствующих наборов значений случайных величин Хь Хь ..., Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
