1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Срединная ошибка измерения дальности радиолокатором равна 25 м. Определить: а) дисперсию ошибок измерения дальности; б) вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине не превосходящей 20 м. 15.4. Измерительный прибор имеет срединную ошибку 40 м, систематические ошибки отсутствуют. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью более 0,9 ошибка хотя бы одного из них не превосходила по абсолютной величине 7,5 м? 15.5. Даны две случайные величины Хи У, имеющие одинаковые дисперсии, но первая распределена нормально, а вторая равномерно.
Определить связь между их срединными отклонениями. 15.6. Нормально распределенная случайная величина Х имеет математическое ожидание х = -15 м и срединное отклонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения для значений аргумента через каждые 10 м и построить график. 15.7. Высотомер имеет случайные и систематические; опгибки. Систематическая ошибка равна+ 20 м.
Случайный ошибки распределены по нормальному закону. Какую сре- динную ошибку должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты была меньше 100 м? 15.8. Найти связь между средним арифметическим откло- нением Е~ = М И Л' — .и И нормально распределенной случайной величины и ее средним квадратическим отклонением. 15.9. Определить для нормально распределенной случайной величины Х имеющей М 1Х) = О, 1) Р(Х > Ас) и 2) Р(~Л ) >~йо) (при 4=1, 2, 3). 15.10. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих срединную ошибку взвешивания 100 мг.
Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г. 15.11. Производятся два независимых измерения при- бором, имеющим срединную ошибку 20 м и систематическую ошибку+10 м. Какова вероятность того, что обе ошибки измерений, имея разные знаки, по абсолютной величине пре- взойдуг 10 м? 15.12. На плоскости проведены две параллельные прямые, расстояние между ними Л. На эту же плоскость бросается круг радиуса Я. центр рассеивания расположен на расстоянии Ь от одной из линий во внешнюю сторону.
Срединное отклонение центра круга в направлении, перпендикулярном линии, равно Е Определить при одном бросании: а) вероятность накрытия кругом хотя бы одной прямой; б) вероятность накрытия обеих прямых, если 7.=10м, Я = 8м, 6= 5м, Е= 10м. 15ЛЗ. Изделие считается Высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия. 15.14.
Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами к = 0 и о = 5 мкУ 15Л5. Какое расстояние должно быть между двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, идущего посередине между ними тем же курсом, равнялась 0,5, если ширина полосы обнаружения косяка для каждого судна является нормально распределенной случайной величиной с параметрами х = 3,7 км и Е = 0,74 км и для разных судов зти величины независимы? 15.16.
При болыпом числе измерений установлено, что 75% ошибок: а) не превосходят+1,25мм; б) не превосходят по абсолютной величине 1,25 мм. Заменяя частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях срединное отклонение закона распределения ошибок измерения, считая его нормальным с нулевым математическим ожиданием.
15.17. Случайное отклонение Хразмера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием к и средним квадратическим отклонением о. Годными деталями являются те, для которых а < Х< Ь. Деталями, подлежащими переделке, являются те, для которых Х >Ь. Найти: а) функцию распределения случайных отклонений размеров деталей, подлежащих переделке; б) функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей. 15.18. Нормально распределенная случайная величина Х имеет математическое ожидание, равное нулю.
Определить срединное отклонение Е, при котором вероятность Р (а <; Х< Ь) была бы наибольшей (О < а < Ъ). й 16. Характеристические функции Основные формулы Характеристической функцией Е(и) случайной величины Х называется математическое ожидание функции е' (где и- вещественная величина, а ~ = г Е(и) =М(е Для непрерывной случайной величины Е(я)= ~ ф~"~~(х)ех, где~(х) — плотность вероятности случайной величины Х Для дискретной случайной величины (и только для дискретной) где хь - частные значения случайной величины, ря= Р (Х = хг) - соответствующие им вероятности.
Если начальный момент яи существует, то Плотность вероятностных) однозначно выражается через характеристическую функцию: Последняя формула для дискретных случайных величин Дает плотность вероятности в виде суммы дельта-функций. Между функцией распределения и характеристической функцией существует взаимно однозначное соответствие. Решение типовых примеров Пример 16.1. В партии, состоящей из я изделий, от изделий дефектных.
Для проверки качества произведена бесповторная выборка г изделий ~т, < г < и — яф Найти характеристическую функцию числа дефектных изделий, содержащихся в выборке. Решение. Случайная величина Х вЂ” число дефектных изделий, содержащихся в выборке, — может принимать все целочисленные значения в интервале (О, и). Обозначим т.е.
1 Т+ иг' Аналогично решаются задачи 16.6 — 16.12. Пример 16.3. Случайная величина Х имеет характеристическую функцию 1 Е(и) 1( „з Найти плотность вероятности этой случайной величины. Решение. Плотность вероятности ~(х) связана с характеристической функцией Е(и) соотношением +с» /(к)= — ( в '™Би)йи, 1 2я / ОР Подставив значение Е(и), получим +ОР 1 „ Г е-1 2к / Т+юР Ф Будем рассматривать и как вещественную часть комплексного ПЕРЕМЕННОГО и = и + 1И При х < О интеграл по вещественной оси равен интегралу по замкнутому контуру, состоящему из вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости (рис.
14), т. е. 1 Г р-~и 1 г р-~и У(к) = — / — Ыи = — ~ — бш. 2к,/ 1+ни 2я У 1-~-ет На основании теоремы о вычетах с-" ' с -ы~ 1+ — г ~йп = 2я1 ~ — ) лги', ~е и 2ю или учитывая, что х с О. имеем У(к) ~к-1 1 1 Аналогичным образом при х > О /' «-1»» У(х)- — ~' — ~Ь= . 2я,( 1+я« 1 1 «~~'» 1 г «1~~ ="» — — г <Й41 =— И1«, / 1+ 2 «1+в» где интегрирование ведется по тому же контуру (рис. 14). На основании теоремы о вычетах или, учитывая, что х > О, имеем У (х) — е-1» 1. 1 2 Таким образом, для любого значения х )'(х) = - е"1"1. 1 2 Аналогично ре1паются задачи 1б.15 и 1б.1б.
Пример 16.4. Найти начальные моменты случайной величины Х характеристическая функция которой Е(и) = 1~1+„г Решение. Начальные моменты существуют до любого порядка, так как все производные от Е(и) непрерывны в нуле. Следовательно, 1 «»Е(и) ~ «я» Е» еи" !»=о ~юнец Найдем производные ея ~ =«как коэффициенты при и~%1 1 в разложении функции 1 1-1- "' в ряд Маклорена, т. е; используем равенство ! С другой стороны, функция !+"' при !и~ < 1 является суммой геометрической прогрессии: та-О =е ! Итак, ряд Маклорена для функции 1+ "~ содержит только четные степени и. Отсюда следует, что нее(и) ! / РЧ! при Ф четном, !а о [ 0 прн й нечетном, а начальные моменты [ й! нрй н четном, [ О нри й.
нечетном. Аналогично решаются задачи 16.3, 16.7, 16.8, 16.10, 16.14. Задачи 16.1. Найти характеристическую функцию числа появлений события прн одном испытании, если вероятность появления события при одном испытании равна р. 16.2. Найти характеристическую функцию числа появлений события А при и независимых испытаниях, если вероятность появления события А от испытания к испытанию меняется и для к-го испытания равнарт, (®= 1, 2, .... и).
16З. Определить характеристическую функцию случайной величины Х имекнцей биномиальное распределение, и по ней найти М [.Ч и О [.Ч. 16.4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х подчиняющейся закону распределения Паскаля Р(Х =та)= " (н > 0), (! ! а)м~! по ней найти М [Х) и 1) [Х). 16.6. Случайная величина Хдискретного типа подчиняется закону Пуассона а'а р (Х и!) а-а тн! Найти: а) характеристическую функцию Е(и~ б) используя Е(и), найти М[Х3 и Р /А(. 16.6. Найти характеристическую функцию нормально рас- пределенной случайной величины с математическим ожида- нием х и дисперсий и . г 16.7.
Найти характеристическую функцию и начальные моменты случайной величины, плотность вероятности которой (е е лли х~О, 16.8. Найти характеристическую функцию равномерно распределенной в интервале (а, Ъ) случайной величины и все ее начальные моменты. 16.9. Случайная величина Химеет плотность вероятности ~ (х) = 2а~хе-""' (х ~~ О). Найти ее характеристическую функцию. 16.10.
Случайная величина Х имеет плотность вероятности а" х~"'е-е» при,м» О, У(х) = г (ь) (а. 1. > О). О при х<О Найти ее характеристическую функцию и начальные моменты. 16.11. Найти характеристическую функцию случайввй, величины Х плотность вероятности которой (закон арксинуса) У(х) ... (!х! < а). 16.12. Случайная величина Хподчиняется закону Коши 1 У(х) =— а ! и (к-х)'+а' . Найти ее характеристическую функцию. 16.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
