1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 14
Текст из файла (страница 14)
= ~'м, ~х~ = х' м, Ю вЂ” и у = = )Г1.12 — 0,44а ж 0,96 балла Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибораВ. Задачи 12.1. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ за время испытаний на надежность, если испытанию подвергается один прибор, а вероятность его отказа р. 12.2. Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть равен любому целому числу граммов от 1 до 10, определить, при какой из трех систем разновесов; а) 1, 2, 2, 5, 10; б) 1.
2, 3, 4. 10; в) 1, 1, 2, 5, 10 — среднее число необходимых для взвешивания гирь будет наименьшим, если при взвешивании разрешается гири ставить только на одну чашку, а подбор гирь при взвешивании осуществляется так, чтобы использовать наименьшее возможное число гирь. 12З. Испытуемый прибор состоит из пяти элементов. Вероятность отказа для элемента с номером г' равна р; = 0,2 + 0,1(1 - 1). Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.
12.4. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятность отказа каждого прибора соответственно равна рь ра и ря Доказать, что математическое ожидание числа отказавших приборов равно ра + ра +ря 12.5. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна р, а число испытуемых приборов и.
12.6. В лотерее имеется т~ выигрышей стоимостью ~~ та стоимостью Аг,, т„— стоимостью к„. Всего билетов Ф. Какую стоимость билета следует установить, чтобы математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось половине его стоимости? 12.7. Первый игрок бросает 3, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется до получения определенного результата. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого из игроков? 12.8. Три игрока А, В, С играют на следующих условиях: в Р(т)=1- е б) для прибора В (а>0; ж =О.
1,2, ...); 1) при т= о, Р(т) = 1 — я-«<~-и при и=1, 2, 3, Найти математическое ожидание числа неработоспособных элементов, приводящих к отказам приборов А и В. 12.14. Блокировочная схема, состоящая из реле А, включенного последовательно с двумя реле В и С, соединенными параллельно, должна обеспечить замыкание цепи между, каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют А с В. Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна Ы Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза.
При этом он получает сумму и рублей. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого игрока: а) после первой партии при условии, что А ее выиграл; б) в начале игры? 12.9. Три игрока А, В, С играют на следующих условиях: в каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют А с В.
Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна 1/2 Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза; при этом он получает сумму выигрыша, равную числу всех сыгранных партий. Каково математическое ожидание выигрыша для игроков А и С до начала игры? 12.10. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится сразу после первого же бракованного изделия.
Найти среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии. 12.11. Вероятность приема позывного сигнала одной радиостанции .другой радиостанцией равна 0,2 при каждой посылке. Позывные подаются каждые 5 сек. до тех пор пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 1б сек. Найти среднее число подаваемых позывных сигналов до установления двусторонней связи. 12.12.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа изделий, изготовляемых на поточной линии при нормальной настройке за период между двумя переналадками, если при нормальной настройке вероятность изготовления бракованного изделия равна р, а переналадка производится после изготовления А.-го бракованного изделия. 12.13. Условная вероятность отказа прибора, вычисленная в предположении о неработоспособности и элементов, имеет вид: а) для прибора А клеммами 1 и П (рис. 12). Вследствие неисправности реле А может не сработать с вероятностью 0,18, а реле В и С вЂ” с одинаковыми вероятностями, равными 0,22.
Определить среднее число включений схемы до первого отказа блокировочной схемы. рис. 12 В 12.15. Прибор имеет элементы А, В и С, уязвимые к космическому излучению и дающие отказ при попадании в них хотя бы одной частицы. Отказ прибора наступает в случае отказа элемента А или совместного отказа элементов В и С. Определить математическое ожидание числа частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если условные вероятности попадания в элементы А, В и С частицы, уже попавшей в прибор, соответственно равны 0,1; 0,2; 0,2.
12.16. Прибор имеет п элементов типа А и т элементов типа В. В случае отказа элементов типа А они не заменяются, а работа прибора продолжается до тех пор, пока в схеме есть хотя бы один исправный элемент типа В. Элементы типа В в случае отказа вводятся в действие повторным включением так, что число исправных элементов типа В в схеме остается постоянным. Отказ любого из исправных элементов прибора равновозможен.
Определить среднее число отказов элементов, приводящих к полному отказу прибора, т. е. к выходу из строя всех и элементов типа А. 12.17. Доказать, что дисперсия числа появлений события при однократном производстве опыта не превосходит 1/4. 12.18. Определить условия, для которых третий центральный момент биномиального распределения равен нулю. 12Л9.
Функция распределения случайной величины Хзадана равенством г'(х)= ~ С„р (1 — р) * вся Доказать, что если ! !т и)! = в, то )пн 0 ! Х) = а. л-» ю я .» 12.20. Из урны, содержащей весьма большое число белых и черных шаров, смешанных в равной пропорции, вынимаются последовательно 10 шаров. 1Пары, вынутые до первого появления черного шара, возвращаются в урну; первый появившийся черный шар и все последующие перекладываются во вторую, первоначально пустую, урну. Определить математическое ожидание числа белых и черных шаров во второй урне. Решить ту же задачу в предположении, что число я вынутых шаров является случайным и подчиняется закону Пуассона с параметром а = 10, т.
е. ая р(п =й)= —,е 12.21. Игра заключается в том, что монету бросают до появления герба. Если герб выпал при 1-м бросании монеты, то игрок А получает к рублей от игрока В. Сколько рублей должен уплатить игрок Л игроку В перед началом игры для того, чтобы математические ожидания проигрыша для каждого игрока равнялись нулю (чтобы игра была «безобидной»)? 12.22. Автоколонна может прибыть на станцию обслуживания в любой момент времени. При организации дежурства п ремонтных рабочих способом А среднее число обслуживаемых машин равно и Р. При организации дежурства способом В будет обслужено: в[1 — (1 — р)~1 машин, если автоколонна прибудет в первые две четверти суток; и Р машин, если автоколонна прибудет в третью четверть суток; 0,5 лр машин, если автоколонна прибудет в четвертую четверть суток. При каких значениях р следует предпочесть организацию дежурства способом ВР 12.23.
Рабочий обслуживает я однотипных станков, расположенных в ряд с равными промежутками а. Закончив обслуживание какого-либо станка, рабочий переходит к тому станку, который раньше других потребовал обслуживания. Предполагая, что неполадка в любом из и станков равновероятна, вычислить среднее значение длины перехода рабочего. 12.24. Случайная величина Х может получать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии д так, чтобы математическое ожидание величины Х было равно 10, и вычислить при этом условии вероятность Рм того, что Х < 10. 12.25.
Случайная величина Х может иметь любое целое положительное значение и с вероятностью, пропорциональной 1/3" . Найти математическое ожидание Х 12.26. Опыт организован таким образом, что случайная величина Х принимает значение 1/л с вероятностью 1/ л, где л— любое целое положительное число. Найти М Щ 12.27. Игра состоит в том, что повторяются независимые опыты, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью Р. Если событие А произошло в л > 0 опытах подряд, а в (и + 1)-м опыте не произошло, то первый игрок получает от второго игрока у" рублей.
Если же л = О, то первый игрок платит второму игроку 1 рубль. Требуется найти величину у при условии, что игра будет «безобидной», т. е. математическое ожидание выигрыша для обоих игроков равно О. Рассмотреть пример р = 1/13. 12.28. Из сосуда, содержащего т. белых и я черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращался.
12.29. Даны два ящика с белыми и черными шарами; в первом ящике при общем числе шаров %находится М белых шаров, а во втором ящике имеется М~ белых шаров при общем числе М~ шаров. Опыт состоит в том, что из обоих ящиков вынимается одновременно наудачу по одному шару, который кладется в другой ящик, после чего шары перемешиваются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
