1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Дана функция распределения случайной величины е 1 Р(х)= — ~ е ' М (закон нормального распределения). е' 2п Найти плотность вероятности случайной величины Х 11.3. В книге Г. Крамера ~251 дана функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом; 1 — (х) при х 'хе 0 при х <.хе Определить размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.
11.4. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры, имеет вид с Р(с)=1 — е Р (Е)~О) Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т. б)плотность вероятности®. 11.5. Случайная величинаэксцентриситетадетали характеризуется функцией распределения Рэлея Р(х)=1 — е "' (х иО)- Найти: а) моду распределения; б) медиану распределения; в) плотность вероятности((х). 11.6. Функция распределения Вейбулла Р(х)=1 — е "' (х~-О) в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры. Найти: а) плотность вероятности((х); б) квантиль распределения порядка Р; в) моду распределения. 11.7.
Случайное время простоя радиоэлектронной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероятности пе «-~е «.и ((х) е кп хе)с2и где М = 18 е = 0,4343 ... (логарифмически нормальный закон распределения). Найти: а) моду распределения при хо = б) функцию распределения. 11.8. Дана функция распределения случайной величины Х Р (х) = а+Ь агс18х/2 — (-:< х <:) (закон Коши). Определить: а) постоянные а и Ь; б) плотность вероятности; в) Р (а < Х< р).
11.9. Каково должно быть а, чтобы ((х) = являлось плотностью вероятности случайной величины Х изменяющейся в бесконечных пределах? 11.10. При каком значении а функция ((х) = —, ( — оо < х <+ со) является плотностью вероятности случайной величины ХУ Найти: а) функцию распределения случайной величины Х б) вероятность попадания случайной величины в интервал (- 1, 1). 11.11. Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 сек. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0,05 сек., если отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону? 11.12.
Азимутальный лимб имеет цену делений 1'. Какова вероятность при считывании азимутапьного угла сделать ошибку в пределах ~10', если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов? 11.13. Известно, что вероятность выхода из строя электронной лампы в течение 5х; дней, с точностью до величины порядка малости более высокого чем Ас, равна А Ах независимо от величины х дней, которые лампа проработала до интервала времени Ах.
Какова вероятность выхода из строя лампы в течение ] дней? 11.14. Линия трамвая имеет протяженность У.. Вероятность того, что пассажир сядет в трамвай в окрестности точки х, пропорциональна х[Х,— х), а вероятность того, что пассажир, вошедший в точке х, выйдет в точке у, пропорциональна [у— х)~, ЫО. Найти вероятность того, что: а) пассажир сядет в трамвай ранее пункта х, б) пассажир, севший в трамвай в точке х, выйдет после пунктаз.
11.15. Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность производятся до первого отказа, после чего они прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найти плотность вероятности случайного числа испытанных приборов, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна 0,5. $ 12. Числовые характеристики дискретных случайных величин Основные формулы В качестве числовых характеристик дискретных случайных величин чаще всего используются моменты этих величин. Начальные т~ и центральные р~,, моменты к-го порядка дискретных случайных величин определяются формулами т,=[Л[ХФ1=Хх~Р,. ю=1 [ ~=МНХ вЂ” х)'1=.'Е [х~ — х)'р; 1=) где М[Х ]- математическое ожидание А", х,— возможные значения случайной величины Х р; — соответствующие им вероятности, а х- математическое ожидание Х Таким образом, начальный момент первого порядка определяется формулой а х = М [Х] = ~ х;р,, второй центральный момент, или дисперсия, — формулой л 1) [Х[ = М [(Х вЂ” х)2] = ~ (х, — х)~ р~ ю ! или формулой В[Х)=М[Х!1 [М[Х1).
Среднее квадратическое отклонение о определяется соотношением с=+ )/9 [Х1! Если вероятности различных значений случайной величины Хзависят от событий Аь то условное математическое ожидание случайной величины Х при условия Аь есть и М [Х ~ Ав1 = ~ я!Р (Х = «! ~ А„). Если Ат (к = 1, 2, ..., л!) образуют полную группу событий, т. е.
п ~ Р(А„)=1 , то полное математическое ожидание Х связано с условным математическим ожиданием формулой М[Х1=М[М[Х~лД=~ М[Х~А„1Р[л), Ф=! Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического' ожидания сумма должна сходиться абсолютно. Решение типовых примеров Пример 12.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 бракованных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.
Решение. Случайное число бракованных изделий, содер- жащихся в выборке, имеет следующие возможные значения: х! = О, х~ = 1, хз = 2, х4 = 3, хз = 4, х~ = 5, В роятности р;=Р(Х=х!) того что Х принимает данное значение х; равны (см. пример 10.1) с!! !сф! Д= 1, 2, 3, 4, 6. 6). с'„, Искомое математическое ожидание 5 ~ )С!„С5-! так как !=5 есть коэффициент при и в произведении 5 Х,!С~,С'-! (1+и)45 (1+и)95 то !=о есть коэффициент при и~ в выражении — 1(1+ !и)45 (1+ и)и!1 ~! ! = 10и (1+ и)55.
д Следовательно, 5 ~ /С45Сюо = 10С55, а .и = — = О,б. 5-! 4 Аналогично решаются задачи 12.1 и 12.2. Пример 12.2. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения ра= Р (Х= 41), 55 =1, 2, 3, ... Выразить математическое ожидание случайной величины Хчерез производя!дую функцию б (и) (см. з 9). Решение. По определению математического ожидания случайной величины М 1х1 = Я ар,. С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при и=1, равно "=': ~ =2'"-1 =2" и=! 5 ! и-! 5=1 следовательно М~Х) = а'(1) Аналогично решаются задачи 12.10 — 12.15, 12.21 и 12.31.
Пример 12.4. Прибор имеет и предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание М [М~ числа перегрузок М после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из и предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен? Решение. Обозначим М /Ж ~ 1г) математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные и предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными Й предохранителей.
Для вычисления М /Ж ~ гд воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными Й предохранителей 11с / 1), то для повреждения одного из них потребуется очередная перетрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных. При очередной перегрузке могут произойти два события: А~ — сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего Р(Аг) =к/п; Аг — сгорел замененный предохранитель, вероятность чего Р(Аг) =1 — Ыл;.
Если при очередной перегрузке произойдет событие Аг то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех Й предохранителей, не замененных до очередной пере- грузки, будет равно 1 + М !Ю ! к — 11. Если же при очередной перегрузке произойдет событие Аз то это математическое ожидание будет равно 1+М[Ф ! Ц. На основании формулы полного математического ожидания имеем М[м!Ц=+[!+М[м И вЂ” !1[-[-(! — ф[!+М[м!а[[= + М[ ! 1+ л или после несложных преобразований, М [и [а1 — м [и ! а — !1= —. Если Й = 1, т. е. остался лишь один незамененный предохранитель, то вероятность его замены равна 1/и.
Следовательно, на основании примера 12.3 будем иметь М[1У!11 = л. Итак, имеем цепь равенств: л' М [М ! и — !1 — М [М ! и — 21 = -„— — [-, М[!
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
