1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Так как рг+рг+рз+р4 = 1 и при I бб зги гр Рис. 11. каждом попадании частицы в прибор обязательно дает отказ один и только один из блоков, то Р(А(+АД=(р,+р,)"; Р(А(+А~)=(р~+р4)": Р(А,+А,) =(р,++р,)"; Р [(А, -+ А )(А + Аз) ] = р». Р [ [А((+ А~)(А + А )] рЯ Р [ (А, + А») (А, + А ) ] = р"; Р 1(А~+ Ар) (А~+ Аз) (А(+ А~) 1 = 0. Таким образом/учитывая, что рг=рз=р4=0,2, получим Р(к)=(+Зр" — 3(2р,)»=1 — Зр" (2" — 1)=1 — 3 (2(»( 0 2(»( где под (х) понимается наибольшее целое число, меньшее х, например (5,91 = 5, 151 = 4. Таким образом, график функции распределения вероятностей для нескольких начальных значений х имеет вид, Представленный на рис. 11. Аналогично решаются задачи 10.б и 10.11. Задачи 10.1. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске р = 0,3.
10.2. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью р = 0,5. Для случайного числа появлений герба построить: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения. 10.3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. 10.4. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,5.
10.5. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго 0,6. 10.б. Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 дает 10 очков, в ко- льцо № 2 дает 5 очков, в кольцо № 3 дает — 1 очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и 3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2.
Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трех попаданий. 10.7. Опыт производится с помощью серии одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5 сек. Время срабатывания прибора 1б сек. Опыт прекращается сразу же после того, как сработает хотя бы один прибор. Найти ряд распределения для случайного числа включенных приборов, если вероятность сработать для каждого прибора равна 1/2.
10.8. Имеется и заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна р. а) Найти ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали, б) Построить ряд распределения для случайного числа использованных заготовок. 10.9.
Производятся испытания в изделий на надежность. причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания. 10.10. Прибор, состоящий из блоков а,Ь~ и Ь2 дает отказ в случае осуществления собьггия С = А+В~В2 где А — отказ блока а, В~ и В2 — отказы блоков Ь| и Ь2 соответственно. Отказы происходят при попадании в блок хотя бы одной космической частицы. Построить ряд распределения числа случайных частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если вероятности попадания в блоки частицы, попавшей в прибор, равны Р(А) = 0,5, Р(В~) = Р (Вд) = 0,25.
10.11. Опыт может быть удачным с вероятностью р или неудачным с вероятностью (1 — р). Вероятность получения благоприятного результата при т удачных опытах Р (и) = 1 1П '~ / . Построить ряд распределения числа опытов, которые необходимо поставить для достижения благоприятного результата. 10.12. Число проведенных опытов Х случайно и может изменяться в пределах от 0 до;.
Вероятность Р (Х= Ц= дАр-Л н Каждый опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью (1 — р). Построить ряд распределения числа успешных опытов. 10.13. Вероятность получения герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа Хпоявлений герба к числу У появлений решетки.
10.14. Построить ряд распределения суммы цифр трехзначных случайных чисел. 0 11. Функция распределения н плотность вероятности непрерывной случайной величины Основные формулы Непрерывной случайной величиной называется такая, которая может принимать любые числовые значения в заданном интервале и для которой при любом х из зтого интервала существует предел Р (х а Х ( х + Ьх) аа-э~ ах именуемый плотностью вероятности.
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения г(х) (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности)(х) дифференциальным законом распределения). Функция распределения Р (х) = Р (Х'< х), где х — про- извольное действительное число, дает вероятность того, что случайная величина Х окажется меньше х. Функция распределения Г(х) имеет следующие основные свойства: 1) Р (а < Х < Ь) = Р (Ь) — Р (а), 2) Р (х,) < Р (х,), асан х, < х~; 3) !'нп Р(х) =1; 4) !1а Р(х)=0.
Плотность вероятности (дифференциальный закон распре- деления))(х) обладает следующими основными свойствами: 1) ~(х) )~0; 3) У (х) " " (к) . +а 3) ~ ((х) Фх = 1; а) Р (а < Х < Ь)= ~ ~ (х) йх. а Величина хр, определяемая равенством Г(хр) =р, называется квантилем; квантиль ха 5 называют медианой. Если плотность имеет максимум, то значение х, при которому) = шах, называется модой. Понятие плотности вероятности)(х) может быть введено и для дискретной случайной величины, если положить а х(х) = ХР,Ь( —,).
1=1 где к - возможные значения случайной величины, р~-соответствующие им вероятности: рд — — Р(Х=х„). а(х) — обозначение дельта-функции, т. е, такой функции что / ссг, х=О. Ь(х)=~ ~ О. х~о, аз Ю ~д(х)4х- "1, ~зр(х)Ь(у — х)г(х=~р(у). где в(х) — любая непрерывная в точке х=у функция. Для б (х) справедливо следующее аналитическое представление где интеграл понимается в смысле его главного значения. (См., например, И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов.
«Обобщенные функции и действия над ними».) Решение типовых примеров Пример 11.1. Проекция Храдиуса-вектора случайной точки окружности радиуса а на диаметр имеет функцию рас- пределения (закон арксинуса) прп х2'-а! при — а (х (а; при х а.— а. 1 ! х — + — агсв1 и— 2 и а г (х) = Определить: а) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка (-а/2, а/2) б) квантиль хд гь в) плотность вероятности/'(х) случайной величины Х г) моду и медиану распределения. Решение, а) Вероятность того, что Хокажется в пределах (-а/2, а/2), равна Р ( — 2 ( Х ( -2 ) = Р 1 ) Р ( 2 ) — агсв!и -~ =— б) По условию р = 0,75; решая уравнение — + — ' агав!п — ' = О 75 1 1 хо,гз 2 и находим аР 2 2 находим ха 5 = О. в) Плотность вероятности /(х) случайной величины Хравна: 1) для всех х, принадлежащих промежугку (-а, а), аР(х) а /1 1 .
х! 1 У(х) = — = — !-в-+ — агав!и — ! = а!х ах с и а п)/аз хз 2) нулю для всех остальных значений х. г) Модой распределения называется значение аргумента, при котором плотность вероятности достигает максимума. Закон арксинуса моды не имеет, так как функция /(х) = и) аз — хз не имеет максимума. Медианой распределения называется величина хв ь определяемая равенством Е(ха5) = 1/2.
Решая уравнение 1 1 . «ов 1 —,+-агсв!п — ' и а 2' Аналогично решаются задачи 11.1 — 11.8. Пример 11.2. Плотность вероятности случайной величины равна ~(х)=ах'е-о' (о) О, 0 (х (со). Требуется: а) найти коэффициент а; б) найти функцию распределения случайной величины Х в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0,1%). Решение, а) Коэффициент а определяем с помощью равенства ахое-о" ах= !.
о Отсюда ! а= хое о~ох. о Двукратным интегрированием по частям получаем СО х'е-о" «х =— 2 оо о Следовательно, а = кз/2 и плотность вероятности имеет вид оо у(х) = — хое" о" 2 б) Функция распределения г (х) случайной величины Х определяется по формуле Р(х)= / — хое о ох= ! — + + е-о-. Оохо+2Ох+2 2 2 о в) Вероятность Р (О < Х< 1%) попадания случайной величины Хв заданный промежуток вычисляется по формуле Р~О < Х< ф = Р ~ф = ! — — ж 0086. 2е Аналогично решаются задачи 11.9,11.10, 11.12.
Пример 11.3. Электронная аппаратура имеет три параллельные дублирующие линии. Вероятность выхода из строя каждой линии за время гарантийного срока работы аппаратуры в целом равна 0,1. Используя дельта-функцию, написать выражение для плотности вероятности случайного числа линий, вы!ведших из строя за время гарантийного срока, если выход из строя одной линии не зависит от того, работают или вышли из строя другие линии. Решение. Обозначим через Х случайное число линий, вьппедших из строя. Случайная величина Хдискретного типа имеет следующий ряд распределения (табл.
5): Таблица 5 Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, получим ~(х) = 0.7296(х)+ 0.2433(х — 1)+ + 0,027б (х — 2) + 0,0016 (х — 3), Аналогично решается задача 11.15. Задачи 11.1. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Х имеет вид 0 прп х(0, Р(х)= х при 0 (х~(1. 1 при х) 1. 1 при х > 1. Найти плотность вероятности случайной величины Х 11.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
