1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 11
Текст из файла (страница 11)
9Л1. Два игрока продолжают игру до полного разорения одного из них. Капитал первого игрока равен л рублей, второго — и рублей. Вероятности выигрыша каждой партии для этих игроков равны соответственно р и д ф+9=1), В каждой партии выигрыш одного игрока (проигрыш другого) равен одному рублю. Определить вероятности разорения для каждого из игроков. 9Л2.
В шахматы играют и+1 равносильных игроков, причем каждый по очереди играет с победителем. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд у всех в противников. Какова вероятность, что при этом будет сьпрано ровно и.
результативных партий (ничьи не учитываются)? 9ЛЗ. Матч между двумя равносильными шахматистами происходит на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) победившим считается набравший шесть очков, если его противник набрал не более четырех очков; 3) если у одного шесть, а у другого пять выигранных партий, то игра продолжается до тех пор, пока разрыв не составит два очка. Определить вероятность того, что результативных партий придется играть: а) не более десяти; б) ровно и. 9.14.
Вероятность появления события в каждом из и опытов одинакова и равна р. Доказать, что производящей функцией для вероятностей появления события менее и — и раз является функция О(и) = — „ (я+ яю" 9.15. Вероятность появления события в Ь-м опыте равнарг Я: = 1, 2, ..., и). Доказать, что производящими функциями для вероятностей появления события соответственно не более и и не менее л — гл раз при и независимых опытах являются функции Л п П (ча+РФ) Ц (р~+д~и) О (и) = '=' 1 „° б ( ) = "=' 1 . 9.16. Два стрелка производят по л выстрелов, причем каждый стреляет по своей мишени. Определить вероятность того, что у них будет по одинаковому числу попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна половине.
9Л7. В каждом из двух одинаковых приборов - левом и правом - имеется по две лампы. После 100 часов работы только в одном приборе с вероятностью 1/4 перегорает одна лампа и с вероятностью 1/16 — обе лампы. Определить вероятность того что в л парах таких приборов ламп в левых приборах перегорит по крайней мере на т ~т 1 2п) больше, чем в правых. Рассчитать эту вероятность для случая, когда в=я=3.
9Л8, Матч на звание чемпиона мира по стоклеточным шашкам состоит из двадцати партий. Определить вероятность того, что матч окончится с результатом 12:8, если вероятности выигрьппа каждой партии для обоих игроков равны 0,2. 9Л9. Для победы в матче за звание чемпиона мира по шахматам претенденту необходимо набрать не менее 12 /з 1 очков из 24 возможных. При ничейном исходе (12: 12) звание чемпиона мира сохраняется за чемпионом. Встречаются два равносильных противника, у которых вероятности выигрыша каждой партии в два раза меньше вероятности ничейного исхода. Определить: а) вероятность того, что чемпионом мира останется прежний чемпион, и вероятность того, что чемпионом мира станет претендент; б) вероятность того, что в матче будет сыграно двадцать партий. 9.20, Определить вероятность того, что при бросании л игральных костей (кубиков) сумма очков на верхних гранях будет а) равна заданному числу т, б) не больше и.
Найти эти вероятности при и =10, т = 20. 9.21. Определить вероятность получения билета, у которого сумма цифр номера равна 21, если номер билета равновозможен от 0 до 999 999. 9.22. Каждая из и величин Х» Хя ..., Х„с одинаковой вероятностью может принимать любое целое положительное значение от 1 до и. Найти вероятность того, что сумма Х~ + Х~ + ...
+Х„будет а) равна заданному числу М /лт / У/ л)/ б) не меньше заданного числа М 9.23. Два стрелка производят по три выстрела каждый в свою мишень. Один стрелок при каждом выстреле с одинаковой вероятностью выбивает любое количество очков от 7 до 10, а для другого вероятности выбить 7 и 10 очков равны 1/8, а вероятности выбить 8 и 9 очков равны 3/8. Найти вероятность того, что: а) первый стрелок выбьет 25 очков; б) второй стрелок выбьет 25 очков; в) оба стрелка выбьют одинаковое количество очков. 9.24. Бросают две монеты. Определить вероятность того, что равное количество гербов будет при и-м бросании монет (не раньше).
9.25. Определить вероятность необходимости повторного голосования при выборе / человек, если голосуют и человек; вероятность быть вычеркнутым для каждого из к кандидатов одинакова и равна р а для выбора кандидата необходимо получить большинство голосов. Повторное голосование производится в том случае, если будет равное число голосов у1-го и (1+ 1)-го кандидатов (по числу полученных голосов). 9.26. Две равносильные волейбольные команды играют одну партию. Игра продолжается до тех пор, пока одна команда не будет иметь по крайней мере на два очка больше, чем другая, причем наименьшее необходимое число очков равно 15.
Определить вероятности: а) Р» и Дь выигрыша первой (подающей первый мяч) и второй команд со счетом 15: ~с 1к=О, 1, .... 13); б) Рь и (2~ выигрьппа для обеих команд, когда проигравшая команда имеет не более 13 очков; в) р~ и оь выигрьппа со счетом (16+1): (14+Ус) (Уг = О, 1, ...); г) Рл и Дл выигрьппа, когда каждая команда потеряла не менее 14 очков; д) Р и Д выигрыша первой и второй команд. ГЛАВА П СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ й 10. Рид, многоугольник и функции распределении вероятностей дискретных случайных величии Основные формулы Случайная величина называется дискретной, если ее частные (возможные) значения можно пронумеровать.
Дискретная случайная величина Х может быть задана: 1) рядом распределения, 2) функцией распределения (интегральным законом распределения). Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений х; и соответствующих им вероятностей р; = Р (Х = х;). Ряд распределения может быть задан в виде таблицы (табл. 2) или формулой. Таблица 2 Вероятностир; удовлетворяют условию и Хл =1 где число возможных значений п может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения воз- можные значения случайной величины (х;)-откладываются по оси абсцисс, а вероятности р,— по оси ординат; точки А; с координатами (хь р;) соединяются ломаными линиями (рис. 9). Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х называется функция Р(х), рис. 9. равная вероятности Р (Х< х) того, что случайная величина будет меньше произвольно выбранного значения х. Функция Р (х) вычисляется по формуле Р(х)= ~ р, Ъу < Х где суммирование ведется по всем значениями г, для которых х1<х. Решение типовых примеров Пример 10.1. Из партии, состоящей из 100 изделий.
среди которых имеется 10 бракованных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа Х бракованных изделий, содержащихся в выборке. Решение. Так как в выборке число бракованных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения х, случайной величины Х равны: х~ = О, х2 = 1, хз = 2, х~ = 3, хз = 4, х6 = 5 Вероятность Р (У= 71) того, что в выборке окажется ровно 75 (/5 =О, 1, 2, 3, 4„5) бракованных изделий, равна С«„С5-« 5 В результате расчетов по данной формуле с точностью до 0,001 получим: р =Р(Х=О)=0383, р =Р(Х=1)=0340, рб —— Р (Х = 2) = 0,070, р« — — Р (Х = 3) = 0.007, рб = Р (Х = 4) О. рб — Р(Х=3)=0.
б Х р«=1 Используя для проверки равенство «=5 убеждаемся что расчеты и округление произведены правильно (см. табл. 3). Таблица 3 Аналогично решаются задачи 10.13 и 10.14. Пример 10.2. Изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытания равны 4/5 и независимы. Испытания заканчиваются о после первого же изделия, не выдержавшего испытания. Вывести формулу для ряда распределения числа испытаний. Решение. Испытания заканчиваются на 75-м изделии Я=1, 2, 3, ...), если первые А -1 изделий пройдут испытания, а 75-е. изделие не выдержит испытаний. Если Х вЂ” случайное число испытаний, то Р(Х = Я) = (1 — — ) ° — = — ( — ) (Я = 1, 3. 3, ...).
Полученная формула для ряда распределения эквивалентна таблице 4. Таблица 4 Особенность данной задачи состоит в том, что теоретически число испытаний может быть бесконечно большим, однако вероятность такого события стремится к нулю: 4л !ип Р(Х = Я)= !ип — =О.
л.+ о л.+оэ зл Аналогично решаются задачи 10.2, 10.4, 10.5, 10.7, 10.10 и 10.12. Пример 10.3. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрепшет, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить многоугольник распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки. Решение. Х вЂ” случайное число светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки; оно может принимать следующие значения: х! = О, хг = 1, хз = 2, хл = 3, х5 = 4. р; = Д = х„.) того, что число пройденных будет равно данному частному значению, формуле Р(1 — Р) для 1=1, 2, 3, 4, (1 Р)4 для 1 5 Вероятности светофоровХ вычисляются по Р, = Р (Х = х,) = где р — вероятность светофору задержать автомашину (р = 0,5).
В результате вычислений получим рс= 0,5, р~=0,25, рз=0,125, р.г= 0.0625, р5= 0,0625. По полученным данным строим многоугольник распределения вероятностей (рис. 10). Аналогично решаются задачи 10.3, 10.8, 10.9. Пример 10.4. Космическая ракета имеет прибор, состоящий из четырех блоков Аь Аь Аз и А4, каждый из которых дает отказ при попадании в него хотя бы одной элементарной частицы. Отказ прибора в целом наступает Ряс. 1О. как при отказе блока Аг? так и при одновременном отказе всех трех блоков Аъ Аз иА4 Построить функцию распределения г'(х) случайного числа Х частиц, после попадания которых в прибор он дает отказ, если вероятность частице, попавшей в прибор, попасть в блок Аг, равнарг = 0,4, ав блоки Аг Аз и А4 соответственно равнарг= рз= р4=0,2.
Решение. Обозначим Аь Аъ Аз и А4, события, состоящие в поражении блоков Аь Аь Аз и А4, соответственно. Искомая функция распределения Г(х) равна вероятности того, что при числе попаданий и < х прибор не выйдет из строя, т. е. Р(х) =Р(А г+А гА зА 4). Используя формулу (см. ~ 5) А,+ АгЛзАз — А,(Аз+Аз+Аз) = АзАг+ А Аз+А,А„= =(А, + Аг)+(Аз+ Аз)+(Аз+ А ) и применяя формулу сложения вероятностей, получим Р(н)=1 — Р[(Аз+Аз)+(Аз+ Аз)-[-(Аз+А„)1= = 1 — Р (Аз+ Аг) — Р (Аз+ Аз) — Р(Аз+ Аз) + + Р [ (А, + Аг) (А, + Аз) ] + Р [ (А, + Аг) (Лз+ А4) 1+ + Р [ (А1+Аз) (А~+Аз) 1 Р [ (А1 [ Аг) (Аз+ Аз) (Аз+ Аз) 1 где все вероятности определяются при условии попадания в прибор и частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
