1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пользуясь выражением аЪ' 1 И(а) =еир)~ (их — — ~ для характеристической функции нормального закона распределения, найти характеристическую функцию для случайной величины: а) У= аХ+ Ь. б) Х = Х вЂ”.т . 16.14. Пользуясь выражением цФв Е(и) =е для характеристической функции центрированной случайной величины Л, подчиняющейся нормальному закону распределения, определить все центральные моменты. 16.15. Характеристическая функция случайной величины Х задана в виде Е(и) = е-~! "1 (а ~ 0).
Определить плотность вероятности Х 16.16. Даны характеристические функции ! +аз 1 — гя Е,(а) = +,, Е,(и) =— Определить соответствующие им плотности вероятностей. 16.17. Дана характеристическая функция Е(и) = Показать, что она соответствует случайной величине дискретного типа. Найти ряд распределения этой величины. й 17. Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин Основные формулы Полная вероятность события А вычисляется по формуле Р (А) = ~ У(х) Р (А ~ х) гх, где ~(х) — плотность вероятности случайной величины Х от значений которой зависит вероятность появления собы- тия А; Р(А ~ х) — вероятность появления события А, вычисленная в предположении, что случайная величина Х приняла значение х. Условная плотность вероятности1 (х ~ А) случайной величины Х т.
е. плотность вероятности при условии, что событие А имело место, определяется формулой е(х) Р(А )х) ~ ~(х) Р (А < х) ах (обобщенная формула Байеса) где~(х) — плотность вероятности случайной величины Хдо опыта. Решение типовых примеров Пример 17.1. Вероятность события зависит от случайной величины Хи выражается следующей формулой: < 1 — е-их при х,>0, Р(А(х)=~ ' (а>О).
Найти полную вероятность события А, если Хявляется нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием х и дисперсией о . г Решение. Полная вероятность события А Р(А) = ~ у(х) Р(А)х) Фх, Подставляя сюда заданную плотность вероятности ) ~(х) = — и а 3~2и получим Р (А) = 1 — е го* (1 — е-ех) Фх ав е Р'2х ОЭ ~х-.хМ 1~1+Ф~~)1 — — / е "'* Ак. е )"Б' Показатель степени у е в последнем интеграле можно привести к виду (х -хР (х-х+ха'Р а- дои ~ 2аа — ях 2аа — х ~х — — ). 2 1' Следовательно, еа1 Р(А)=-х [1+Ф(-")~ — е (" а ) / е Ы хх. а Так как еа я 1.~1+Ф~х — еФ)~ то Аналогично решаются задачи 17.1 — 17.10. Пример 17.2. Отклонение размера детали от середины поля допуска шириной 2Ы равно сумме двух случайных величин Хи х', имеющих плотности вероятности ~( )= е.
ах яе е(у)=, е а, а Рях Определить плотность вероятности случайных величин Хдля годных деталей, если распределение гс(у) не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Х Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что изготовленная деталь оказалась годной. Условная вероятность Р(А ~ х) получения годной детали, вычисленная в предположении, что случайная величина Хприняла значение х, равна -х+а Р(А~х)= 1 =е 'еФу= а,К2х х= ~ ~Ф ( ~ ) — Ф~х: — )1. Пусть ~(х~А) — условная плотность вероятности случайной величины Х для годных деталей, тогда у( )д) У~~~Р~ ~ У (х) Р (А ~ х) Мя Подставляя значенияЯх) и Р(Аф, получим 1 2~~ 1 ~ ~к+4) ~х — я)~ ЯФ или или '( Ы Задачи У~ < Ь /1 и ап Уз > Ь П ) 17.2. На каждой из двух параллельных прямых независимо отмечены точки с постоянным интервалом 1= 100 м.
Определить вероятность того, что хотя бы одна точка попадет внугрь бесконечной полосы шириной Ю = 25 м, которая расположена в той же плоскости, что и прямые, таким обра- 17.1. На плоскости проведена прямая, на которой с равным интервалом 1 отмечены точки. Определить вероятность того, что хотя бы одна точка попадает в центр круга диаметром Ь, перемещающегося в той же плоскости таким образом, что центр круга движется по прямой, пересекающей проведенную прямую линию под углом У, равновозможнымв интервале (Уьуз). (Углы и удовлетворяютусловиям зш зом, что ограничивающие ее прямые перпендикулярны данным прямым. 17.3.
Найти вероятность попадания одним выстрелом в мишень, если расстояние О до мишени в момент выстрела— случайная величина, равномерно распределенная в интервале от 100 до 200 м, а условная вероятность попадания в цель равна 3000/13~ где Р выражено в м. 17.4. На берегу пролива шириной Е = 30 км установлена наблюдательная станция, дальность обнаружения которой является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием х = 20 км и срединным отклонением Е = 1 км. Судно с равной вероятностью может проходить через пролив, идя вдоль берега на любом расстоянии от берега. Найти вероятность того, что наблюдательная станция обнаружит судно.
17.5. На правую чашку весов положен груз, вес которого подчинен нормальному закону распределения с параметрами х = 20 кг и Е = 1ке. На левой чашке весов находится другой груз, вес которого равновероятен в пределах от 0 до 50 кг. Определить вероятность того, что правая чашка перевесит левую. Сравнить полученный результат с тем, который получился бы в предположении, что груз правой чашки не случаен, а в точности равен 20 кг. 17.6. Произведено и независимых измерений нормальной случайной величины Х математическое ожидание которой совпадает с началом отсчета, а срединное отклонение равно Я. Найти вероятность того, что результат хотя бы одного измерения отклонится от случайной величины У не более чем на ~г, если У равномерно распределена в интервале (- 1, 1). 17.7.
Дан ряд независимых случайных величин Х~, Хг ... Х имеющих одну и ту же плотность вероятностиЯх). Размахом ряда случайных величин называется случайная величина В'„=Х -Х щ где Х наибольшее, а Х;„- наименьшее из полученных значенийХ0'=1,2, ...,и). Найти функцию распределения размаха Г(и) = РЯ„< и~). 17.8. Какова вероятность того, что две точки, наудачу выбранные в круге, будут лежать по одну сторону от хорды, проведенной параллельно заданному направлению, расстояние которой от центру является равномерно распределенной случайной величиной? 17.9. Координаты Х случайных точек Ан А2 ..., А„имеют плотности вероятностей );(х) ~д =1, 2, ...,и).
Одна из зтих и точек совпадает с некоторой отметкой Ав отклонение координаты которой от заданного числа имеет плотность вероятности((х), Определить вероятность того, что с точкой А0 совпала точка Аь 17.10. Случайная величина Х подчиняется закону Пуассона дИ р (Х = яо = — е-а. и! параметр которого неизвестен, но имеет до опыта плотность вероятности г (а) = ае- (а > 0).
Произведен опыт, в результате которого случайная величина Хприняла значение тр. Найти плотность вероятности а после опыта. ГЛАВА 111 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8 18. Законы распределении н числовые характеристики систем случайных величин Основные формулы Функция распределения (интегральный закон распределения) Г(хо хг, ..., х„) системы и случайных величин Щ, Хь ..., Х„) определяется формулой Г(хг, хг, ..., х„) = Р(Хг < хь Хг < ха ", Х„< х„) Для системы непрерывных случайных величин существует плотность вероятности (дифференциальный закон распределения), определяемая формулой Система дискретных случайных величин характеризуется совокупностью вероятностей Р(Хг = хь Хг = хг, ..., Х„= х„). которые могут быть сведены в таблицу с л входами (по числу случайных величин).
Функция распределения для непрерывных случайных величин выражается в виде кратного интеграла Р( х~ „хг, ..., х„) = Х, С А ~ ~(хе хе '., хд)Их,лхг ... Лх~, для дискретных случайных величин — в виде кратной суммы Р(хо хг, ..., х„)= Р1Х,=1, Х,=г,.... Х„=г.), г~<к ~ ск $ <х где суммирование производится по всем возможным значениям каждой из случайных величин, для которых 6 <хг, гг <хг, ..., г„<х„ При и = 2 система непрерывных случайных величин может интерпретироваться как случайная точка на плоскости, а при и = 3 — как случайная точка в пространстве. Вероятность попадания случайной точки в область 5 равна интегралу от плотности вероятности по этой области.
Основными числовыми характеристиками системы п случайных величин являются математические ожидания СО СО ОФ М[Х,.)= ~ ~ ..; ~ х,~(х,. ха .... х,)Их,Их, ... Их„, Оц -с> (О дисперсии р(Х,~=ан=в',= СО (О ОЗ вЂ” ~ (х~ х~)~)'(хн хх ..., х,) Ас14хз... Хх СО СО ФВ и корреляционные моменты М((х,— к,)(х — х))=я, = Ю СО, СО ~ ( ~ ... ~ (х,— х,)(х) — х,)М М аз ОР )( Г(х,, хя..... х,) Их, Их~ ... ех„. Аналогичным образом вычисляются моменты для дискретных случайных величин, где интегрирование заменяется сум- мированием по всем возможным значениям случайных величин.
Йи Азз в,з ... А,„ Азг Вя~ 1~в ... аз„ 1з1 ьзз ззз ° . 4з !!ап!!= гзл! абаз ьпз ' ' ' ззз где хя = ~; Иногда оказывается удобной формула Случайные величины Хь Хь ..., Х„, входящие в систему, не коррелированы (не связаны), если недиагональные элементы корреляционной матрицы равны нулю. Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами Х, и Х. служит коэффициент корреляции яп ги ~г"б'1х,15 ~я ' Коэффициенты корреляции составляют нормированную корреляционную матрицу га гм гм гз, 1 гм ...гз„ г, г, 1 ... г !!гц!!= гм гзз г„... 1 Непрерывные случайные величины Хь Хь ..., Х, входящие в систему, независимы, если г(хьхь ...,х„) =)г(хг)1г(кг) ".)„(хз) и зависимы, если )(ххххх ...,х„) ~ ЯхгДг(хг) ...
Д (х„) где Д(х;) — плотность вероятности случайной величины Х 1см. ~ 20). Вторые центральные моменты составляют корреляционную матрицу Дискретные случайные величины Х!, Ха ..., Х„, независимы, если 1 (Х! !!> Х! !ь ° ° ° ~ ~и !а) Решение типовых примеров Пример 18.1. В результате испытания изделие может быть либо отнесено к первому сорту с вероятностью Р!, либо ко второму сорту с вероятностью Р! либо забраковано с вероятностью рл = 1 — р! - р2 Испытано л изделий. Определить распределение вероятностей различных чисел изделий первого и второго сорта, их математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент.
Решение. Обозначим число изделий первого сорта через Х, а число изделий второго сорта через Х Так как испытания независимы, то вероятность того, что lс изделий будет отнесено к первому сорту, з изделий — ко второму сорту, а остальные и к я изделий будут забракованы (с учетом числа всевозможных сочетаний трех слагаемых к, к и и — А — з, из которых может быть составлена сумма и), равна Р (Х = А, Г = я) = а! РФР~Рп-!!-~ я (л — я — зр Р!+Р+Р =1.
ЗначенияэтойвероятностиприА=0,1, ...,и, я=0,1, ...,и и А+ я< и составляют искомую совокупность вероятностей различных чисел изделий первого и второго сорта. Математическое ожидание числа изделий первого сорта д «-М л! М(Х1=х=,~, Ь~ „,(„я,р Р!Р!Р' " ' В=О я=О в л-й РФР~ ~~ м ~" 7К~~ Л~ЪТВ~à — 'Ч:Щ~ Я=О ю=О Дисперсия числа изделий первого сорта а л-» л! о)1~)=дд ХЯ»!з!( -»- )! Ророрз »=о о л л-» л! р»р'р'-»"' — хз= др, Ыд»!з((л — — з)! о О з »-о *=о =Р1 др, ("Р!(Р~+Рз+Р" =пр,+л(л — 1) ро — лзрз =лр,(1 — р,) Аналогично находим ММ=»р С)1)')=лр (1 — ро).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
