1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 26
Текст из файла (страница 26)
' 1=~за аа1 а 1 а=з ел — е а д — е-ааае — аа(е -1) -а кч (ае")а И Н вЂ” Ь а е Так как случайные величины Х1 независимы, то характеристическая функция случайной величины г' определяется формулой (е) — П Е (Г) ела(» -1) — л1 Следовательно, случайная величина г имеет своим ваконом распределения закон Пуассона с параметром иа.
Обо- 1' — у значим Е= —. Случайная величина Е получена в реет * вультате центрирования и нормирования случайной величины )е. Известно, что для закона Пуассона математическое КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1ВУ ожидание и дисеерсня численно равны между собой н равны параметру этого закона. Поэтому !' — ' Ле 2'= Определим характеристическую функцию для случайной велинины д: Г сссг-л.>1 Е (<) =И [ассе)=!(4'е У"' 3 = ~~(=) = е ла / и сс У а =е-' есУее па е " — ! еае-ПУла лес кяе сс сс е-еае-ссУаа ехр нд ~1+ — + ...)~ = гале 2ла . Следовательно, !!ш Е,(с) — е Предельное значение Е, (Г) является характеристической функцией случайной величины, имесощей нормальное расеределение с нулевым математическим ожиданием и диснерсией, равной единице. 4 сьналогично решаются задачи 24.6.
24.10, 24.19, 24.20. Задачи' 24.1, Определить плотность вероятности суммы двух независимых величин, ханская из которых равномерно раснределена в интервале (а, Ь). 24.2. Найти композицию двух законов равномерного расссределения с параметрами а и Ь (!с ~ а), если центры рассеивания для этих законов совпадают, а параметром закона равномерного распределешся называется половина интервала. возможных значений случайной величины. 24.3. Случайная величина Х подчиняется нормальному закову распределения с параметрами х и а„, а У вЂ зако 188 етнкции слкчлпных наличии !гл. гв Ь вЂ” а — а+Ь равномерного распределения с параметром в и у = — .
2 2 Найти плотность вероятности случайной величины Л= = Х вЂ” У, если Х н К независимы. 24.4. Найти плотность вероятности суммы трех незван. симых случайных величин. каждая нз которых равномерно распределена в интервале (а, Ь). 24.6. Найти коипозипню нормального закона (математическое ожидание х, срединное отклонение Е) и закона равно. мерного распределения. заданного в интервале (л — 1, х + 1).
Определить относительную ошибку, возникающую от замены суммарного закона нормальным законом, имеющим то >ке математическое ожидание и ту же дисперсию. (Расчет произвести для л=0, 1=Е. 1=2Е, 1=ЗЕ н 1=4Е в точке г = О.) 24.6. Найти плотность вероятности случайной величины Л = Х + !'. если случайные величины Х н !' независимы и подчиняются закону Коши: 1 Л . 1 Ь Ул и 1+да( — а)а ' Узв и !+Ь1(у Ь)а .г (л)=— у !в)=— 24.7, Найти плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин Х н Г, подчиняющихся закону гиперболического секанса: у'(х)= и с л Ат(у)= — и сиу. ~! 1 1 ! 24.8.
Пусть Х и )г — независимые случайные величины, млотностн вероятности которых заданы формулами У (х)=Фе а (О.ь,х-ь; ). У ~т (у) 3 Найти плотность вероятности случайной величины л = =Х+ )', . 24.9. Найти плотность вероятности расстояния между случайными точками А,(Х,. !',) н А,(Хз, Га), если системы случайных величин (Хн )',) и (Ха, 'г'т) независимы и нор- КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОИОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 189 мально распределены.
Единичные эллипсы рассеивания точек А, и АЗ имеют главные полудиаметры (аи Ь!) и (ая, Ья). угол между полудиаметрами а! и аз равен а. 12ентры единичных эллипсов совпадают. 24,!О. Пусть Л! (/=1, 2, ..., а) — нормально распределенные независимые случайные величины. ху —— 0 и 1) [Х!) = 1.
Л 2 доказать, что для случзйной величины Г= д„Х) плотность 1=! вероятности определяется формулой ~„(у) = У а ' (О ~у ~(ОО). . 22Г ~ — ") 24.11. Прибор дает при измерении систематическую ошибку а н случайную ошибку. подчиненную нормальному' закону распределения со срединным отклонением Е. Доказать, что при Е ~~ с( вероятность р (а) получения вшиби!( в прелелах заданного допуска +л! приближенно определяется формулой ,(.)=," .'Ж Е ~/г Ег+ ~~ ряд!2 24.12. Двое независимо олин от другого стреляют в тирв каждый по своей мишени до первого попадания. Определить математическое ожидание и дисперсию общего числа промахов и найти функцию распределения числа промахов, если вероятность попадания в мишень прн каждом выстреле для. первого стрелка рзвна р,, а для второго р2.
24.13. Какой запас прочности должен иметь образец, чтобы вероятность того, что он выдержит нагрузку, была бы ие менее 98% г Ошибки в определении заданной нагрузки и ошибки определения предельной нагрузки подчиняются закону нормального распределения и характеризуются срединными отклонениями Еи — — 10%9! и Е,= 5% 12, где (у! и ЧЗ вЂ математическ ожидания заданной и предельной нагрузок. причем д,=20 кьач 18О вкнкцим слкчдпных ввлмчин 24,14.
Для навигационного обслуживания судов, прохо- дящих через пролив шириной /.„на каждом берегу пролива установлено по одному радиомаяку. Максимальные дальности действия этих приборов являются незавнсимычп нормальными случайными величинами, характеРизующимися математическим ожиданием х и срединным отклонением Е, Полагая. что удаление курса судна от берегов пролива разиовозможно и 2л ( Е, определить: а) вероятность того, что судно будет обслужено двумя радиомаяками; б) вероятность того, что судно обслужиг хотя бы один радиомаяк, 24.15. Наблюдатель А нз бесконечности двигается по на- правлению к наблюдателю В. Максимальные дальности обна- ружения лруг друга для этих наблюдателей являются неаави- симыми нормальныип случайнымн велнчинами, характеризую.
щимпся соответственно математическими ожиданиями лл, лз и среднннымн отклонениями Ел. Ел. Найти вероятность того, что наблюдатель А обнзружит наблюдателя В первым. 24.16. Найти композицию лг покззательных законов рас- пределения с одинаковым параметром й. 24.17. Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины, принимающие целые неотрицательные значения 1 и / с ве- роятностями Р(Х =г)=(1 — а) а' и Р(У=/) ='(1 — б)Ь, где а и Ь вЂ” положительные числа, меньшие единицы, Найти функцию распределения случайной величины Е= Х + 1'; 24.18.
Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины.' Х принимает три возможных значения О. 1, 3 с вероятно- стями 1/2, 3/8. 1/8, а У вЂ” два возможных значения О и 1 с вероятностями 1/3, 2/3. Определить ряд распределения случайной величины Л = Х+ У. ° 24.19. Пусть Х, У в независимые случайные величины, каждая нз которых имеет распределение Пуассона: и"' Р (У = щ) = — л-" ги! Найти ряд распределения случайной величины Я = Х+' У и 24.20. Пусть Х/ (/=1, 2, .... л) — независимые случайные величины, каждая из которых моя<ет принимать 192 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВВЛИЧИИ !гл.
гя Если случайные аргументы взаимно не коррелированы, то О(У1 =~~,'~) О(Х). 4=! Для уточнения результатов, полученных методом линеаризации, в разложении функш4и сохраняют кроме первых двух н некоторые последующие члены. Если удержаны первые трн члена разложения функции в ряд, то математическое ожидание н дисперсия функции приближенно определяются по формулам: а) для функции одного случайного аргумента )' =ф(Х)! у ~!у(х)+ — (вл(л) О (х1, О(У) =(ф'(.))'О(х)+ + — !!р" (х)12 (144(Х) — Оа(Х)1+ф'(л) <рл(л) р (Х); 6~ для функции .нескольких случайных аргументов 'г'= =<р(Х4, "Хя, ..., Х„) математическое ожидание определяется формулой л ~сна 42+ ~4 д д 4=1 !<у в общем случае и формулой у ж <р(х2, хя, ..., Хл)+ — у — О 1Х21, 2ладхя когда случайные аргументы взаимно не коррелированы.
Если случайные аргументы взаимно независимы, то днсперсяв определяется формулой д 2 л о(у) ,'у'®) о(х,)+,' 4'(("~)'(р,(х,) — о (х,)1+ 2=! 4=! + ~' ~~~;.,)-оя,) о(х,)+~~,~)~~)~,(х) ам] линеАРизлыия еяницип слвчлиных величин !93 Решение типовых примеров Г! р и и е р 25.1. Математическое ожидание числа бракованных аппаратов при проверке их на безотказность действия определяется формулой Т=й!(1 — (1 ') 1 где Р— вероятность того, что испытание одного из аппаратов будет признано зачетным; Р— среднее число зачетных испытаний до получения отказа в действии аппарата; И— число аппаратов, участвующих в проверке; т — число испытаний (зачетных и незачетных), приходящихся на один аппарат.
Пользуясь методои лннеаризации, определить зависимость математического ожидания и дисперсии случайной величины Т от т, если Лг, Р и 1!†независимые случайные величины, математические ожидания и дисперсии которых с9ответственно равны: М [М] = 5, М [Р] = 0.8, М [Р[ = 4, 0 [М! = 1 0 [Р] = 0,1, 0 [Й] =- 0,2. Р е ш е н и е. Применяя общие формулы метода линеаризации, получим М[Т]жл~1 (1 =") ~=5(1 0.96-1, мл ) 0[Т] (дТ)зо [й!]+(дг)зС1[~ ]+(дТ)зии[ ] где ~м — 1 — =~(! — «) = 1 — 0,96 — 0,04т0,96~ — = = (1 — = ! = 0,25т0,96 др 'и [, еп/ — = — 0,05т0,96~ ', 0 [Т] ж 0,00835т~0,96 ои П— — 0,08т(! — 0,96 )0;9ом '+11 — '0,96 ) ° 13 в.
г. вииииии и ив. ~УМКМИИ СЛУЧАИБЫИ ВЕЛИЧИН 1!Л, ил Приближенные значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Т для различных яг приведены в таблице 8. Таблица 8 ю) лг,й 1О 0 [Т[ 0,025 0,327 0,684 М [Т] 0,390 1,675 3,530 0,854 4,915 Аналогично решаются задачи 25.1 — 25.11, 25.14, 25.17, 25. 19 — 25. 22. Пример 25.2. Максимальная высота полета спутника опрелеляется формулой У=Уз+[7+У4„',+',, — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
