1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Составить последовательность из лгинимального числа проверок, позволяющих определить.вид неисправности телевизора. 28.8. В сообщениях используются символы алфавита А;; Аю Аз. А~ с вероятностями Р(Аг)=0А5, Р(Аа)=0,10. Р 1Аз) = О, 15, Р (Ач) = 0,30. Для передачи сообщения по каналу связи могут быть применены два кода — М 1 и 2. В первом коде символам алфавита соответствуют символы кода а, Ь.
с и г1, во втором коде — символы а, А Ь и с. Определить эффективность кодов, т. е. количество информации, передаваемое в среднем в единицу времени, если длительности передачи символов кода по каналу связи в условных единицах времени равны 1„=8, 1ь — — 6, 1,=5, 1л — — 3. 28.7. В условиях предыдущей задачи наряду с кодами Ьй 1 и 2 рассмотреть другие возможные коды и определить наиболее эффективный из них. 232 ннтгчвннн:и:. ннеоиммзия 28.8;:Для передачи сообщений используется код, состоящий из трех символов, вероятности появления которых равны 0,8; О,! и О,!. Корреляция между символами кода отсутствует. Определить избыточность кода, т.
е. величину, дополняющую до единицы отношение энтропии данного кода к максимальной энтропии кода, составленного из того же числа сим- ВОЛОВ. 28.9. Сообщение состоит нз последовательности двух букв А и В, вероятности появления каждой из которых не зависят от того, какая буква была передана ранее, и равны Р (А) = 0,8, Р (В) =- 0,2. Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно: а) отдельных букв; б) блоков, состоящих из двухбуквенных сочетаний; в) блоков, состоящих из трехбуквенных сочетаний. Сравнить коды по их экономности.
28.10. Сравнить коды предыдущей задачи по их избыточности, определяя средние вероятности появления символа кода а) по формуле т где У — число символов а) в (-й кодовой комбинации, Й, — число всех символов в 1-й кодовой комбинации. 28.11, Сообщение состоит из последовательности трех букв А, В и С, вероятности'шоявления которых не зависят от предыдущего сочетании букв и равны Р (А) = 0,7, Р (В) = 0,2 и Р (С) = 0,1. 1. Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно отдельных букв и двухбуквенных сочетаний.
2. Сравнить коды по их экономности. 3. Сравнить коды по их избыточности. 28.12. Вероятности появления отдельных букв русского . алфавита приведены в таблице 20, где знаком « †» обозначен промежуток между словами. Произвести кодирование алфавита по методу Шеннона— Фэно, считая вероятность появления последующей буквы не зависящей от предшествующих букв. 234 внгвопия и инеовмлция 1гл. в в передачу вносятся ошибки, так что в среднем один символ из 100 принимается неверно (а, вместо а, или а, вместо а,). Определить среднее количество информации на символ, передаваемой по такому каналу.
Сравнить ее с количеством информации при отсутствии помех. 28.16. По каналу связи с одинаковыми вероятностями передаются сигналы Ап Аю .... А . При отсутствии помех сигналу АГ соответствует символ а1 (у = 1, 2, ..., и). При наличии помех каждый из символов имеет вероятность р быть правильно принятым„ а с вероятностью д = 1 — р искажается и может перейти в любой из остальных. Определить среднее количество информации на один символ, передаваемое по каналу при наличии и при отсутствии помех. 28.16. По каналу связи с одинаковой вероятностью передаются сигналы Ан А„.... А„.
При отсутствии помех сигналу А1 соответствует символ а~ (/= 1, 2, ..., лг). Вследствие помех сигнал Ау может быть принят правильно с вероятностью р1~ или воспринят как символ а, с вероятт ностыо р,1 г,,г'=1, 2, .... и, ~ р~> — — 1 . Определить 1=1 среднее количество информации на символ, передаваемое по такому каналу с помехами. характеризуемыми матрнцеи (~р,г)~. 233 количвотво ииеовмхции я зм Таблица 20 Буква ь, ъ Буква ы 0,002 Вероятность 0,009 0,003 0,006 0,004 0,007 28.!8. Алфавит состоит из п символов Ат (/= П 2,..., а). появление каждого из которых в сообщении независимо и имеет вероятность Р(А))=2 "У, где я7 — целые положительные числа и ~з Р(А7) = П /н1 Показать, что при кодировании такого алфавита по метолу Шеннона — Фэно на каждый кодовый символ приходится максимально возможное количество информации, равное одной двоичной единице.
28А4. По каналу связи передаются два сигнала А, и Аз с вероятностями Р (А,)= Р (А ) = О,б. На выходе канала сигналы пРеобРазУютсЯ в символы аг и аз. пРичем из-за помех, которым одинаково .подвержены сигналы Ат и Аз, 236 пведельные теояемы. [гл.. ш при любой постоянной е > О л л и-+о» (теорема Маркова). Для того чтобы к последовательности как угодно аависимых случайных величии Хп Х„ ..., Х„, ... был применим закон больших чисел, т.
е. чтобы при любой постоянной е > О выполнялось соотношение и П !(ш Р— ьт Մ— — ~.х <а~=1, л, ~ и~а " п.ьм' 1=1 Ф=г необходимо и достаточно выполнение равенства — 1 (Ха — ха) ~ я.+со чч 1+ —,~, (Х, — ха) ~ и А=1 Решение типовых примеров Пример 29.1. Доказать, что если ф(х) — монотонно возрастающая положительная функция, а, М!$(Х)] =ш существует, то Р(Х >() ~<— т (т) ' Решение. Учитывая свойства функции зр(х), получим цель неравенств Р (Х > С) = ~ ~ (х) Фх < — / ~р (х) ~ (х) Фх ~( .г) г "",)Ф +ОР < — т ~р(х)у(х)Фх = —. лз . р(т) / = н(т) ' ЭДКОЙ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 237 та„как лг=М(~р(Х)) = ~ ~р(х)у(х)ах. Отсюда Р(Х)?)4 ( — , что и требовалось доказать, т(0 Аналогично решаются задачи 29.2 — 29.б.
П р и и е р 29,2. Дана последовательность независимых случайных величин Х,, Хю .... Х„..., имеющих одну и ту же функцию распределения Р(х) =-+ — агс!и —. 1 1 х .2 н а' Проверить; применима ли н втой последовательности теорема Хннчина. Решение, Для применимости теоремы Хинчина необходимо существование математического ожидания случайной величины Х, т. е. чтобы / х — г(х сходился абсолютно. г. лг(х) дх Однако аР(х) 2а Р хах .
2а Р хах гГх н ./ ха-1-аа и,/ х2-(-а~ СО о а . / А ! = — ! нп 1и !1 1 + —, ! = оо, и л ь, 1 а' / т. е. интеграл не сходится, математическое ожидание ие существуег и теорема Хинчина неприменима, П ример 29.3. Можно ли интеграл l= / — г)х (а>О) и а после замены переменных у= — вычислить методом Монтех Карло по формуле 'уа~ э 3!и ю 1жч1 а л аа( уа уа' а=1 где Уа — слУчайные числа из интеРвала 10, 1)? 238 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ !гл: у» Р е ш е н и е.
Произведя указанную замену переменной, получим 1 ! 1 . а о= ! — з!п — 11у, У У о Величину Уо можно считать приближенным значением У только тогда, когда справедливо предельное равенство !нп Р(!l„— У~ (е)=1. о +со Случайные числа у» имеют одинаковые распределения. 1, а а следовательно, и функш!и их — з!и — имеют одинаУо Уо ковые распределения. Для применения теоремы Хинчина остается убедиться в существовании математического ожила- Г! . а1 ния М ~ — з!п — 1, где У вЂ случайн величина, равномерно у!' распределенная в интервзле !О.
11, т. е. надо доказать, 1 ! ! . а что ! — з!и — е!у сходится абсолютно. о У У Однако если обозначить через г наименьшее целое число, удовлетворяющее нвравенству з)~ —, то 1 СО (О+1!а ~ ~ — з!и — "~с!у=/,— '" Нх)~ ~ / — '" — ~-г!х'= о о з=л оа А там как а <о я СО Х,!' —, /." з!Еу ч'т 1 !" 2 ът 1 /' + ап "«) ага и !а+ ц,/ з1п У.ггУ = и .й Л+ ! = ОО' о= 'о о ю о й=ю то расходится и интеграл 1 / ~ — 'з!п- — ~ !у. закон'Больших чисел Г1 ат Последнее означает; что М !ь — з[п — [ ие сУществУет, а сле- [У У)' довательно, н метод Монте-Карло в данном случае неприменим.
Пример 29.4. Можно ли принять величину З = ' '~',[Х„п)з а=! в качестве приближенного значения дисперсии ошибок испытуемого прибора, если Хп Хз, ..., Х„, .. — независимые измерения постоянной величины а, имеющие одинаковые функции распределенияг Р е ш е н и е. Обозначим истинное значение дисперсии ошибок испытуемого прибора оа. Величину Б„можно рассматривать в качестве приближенного значения аз, если 1[гп [з ~~,8'„— о ~ < е~ =-1. л-ьоэ Так как Х,, Хз, ..., Х„....
— независимые случайные величины, имеющие одинаковые распределения, то величины У„= =[Մ— а)' независимы и имеют одинаковые распределения. Имеем М [Уа! = М [[Ха — а)'~ = М [ХД вЂ” 2аМ [Х„! + -[-а'=па+ха — 2ах+ а'=о'+[х — а)', где х=М [Ха[. Для выполнения равенства М [Уа[ =от необходимо, чтобы х = а, что означает отсутствие систематических ошибок измерения у испытуемого прибора.
Итак, если у испытуемого прибора отсутствуют систематические ошибки, то выполнены условия применимости закона больших чисел и, следовательно, Л 1!ш ~> ~ [Մ— л)а — оз (з = 1.. 1 ъ-1 а +со л 2а «=! Задачи в29.1, С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше чем на: а) четыре срединных отклонения; б) три средних квадратических отклонения.
240 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ' 1гл. ш Таблица 21 Таблица 22 — )7Тв Л Г'1и Л 1 2 1 4 1 4 1 2 29.7. Пусть Ха — случайная величина. которая с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений и' или — и'. При каком з к среднему арифметическому последовательности Хп Хз, ..., Хе.... таких независимых случайных величин применим закон больших чисел? 29.8. Доказать, что к среднему арифметическому последовзтельности независимых случайных величин Хе, 'заданных вялом распределения (табл. 22). применим закон больших чисел.
29.2. Доказать для любой случайной величины Х при е ) 0 неравенство Р(еХ ) Р+ 1и а) ' е-". где у М (еех] 29.3. Доказать, что если М [еех) сушествует, то Р(Х)~е) (е-е'М1еех) (а ) 0). ' 29.4. Случайная величина Х подчиняется показательно- степенному закону распределения 7 (х) = — е-" (х )~ 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
