1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Например, если Х (~) — нормальная случайная функция (считаем Х(С) вещественной), а г'(г)=Ха(С), то у (Е) = [у[ [Хт И)1 = 0 [ Х (~)1 + хз И), К (~п гт) = М [Х (С,) Х М— — (О [Х (~~)1+ха(С~)[ [0[Х(Ст)1+х (Ст)[ = 2К„(йо 1т), так как математическое ожидание произведения четырех нормальных величин Х(С,), Х(~,), Х(~,) и Х(С,) может быть получено путем дифференцирования характеристической функции системы случайных величин (см. 4 23). Так же могут быть получены математическое ожидание и корреляционная фуннция существенно нелинейного выражения' у (г) = здп Х (~), ееяи-Х(1) нормальна,(см.
пример 32.2). Решение типовых примеров Вадачи данного параграфа могут быть решены путем использования общей формулы для норреляционной функции результата применения линейного оператора к случайной функции, однако в некоторых задачах удобнее исходить прямо из определения корреляционной функции. Второй путь является неизбежным, если помимо линейных операторов в данное выраскенне входят нелинейные операторы. Ниже рассмотрены примеры применения обоих зтих способов решения. П р име р 32.1. Определить среднее квадратическое откло- нение угла '1' поворота гироскопа направления после 10 мин.
работы гироскопа вследствие наличия случайного момента М (1), возникающего на оси внутреннего карданова кольца, если уравнение, определяющее закон изменения Ч'(1), может быть принято в виде Ч'(1)= †, где кинетический момент м (с) Н Н=21 10з —, а секс К„( с) = лзв-о ! ' ~ (сов рт — —" з! и Р ( т~), с гсеес в=1,36 ° 10" —,, р=0,7 сек. ', а=0,1 сек. секо Решение, Так как после интегрирования имеем (начальные условия, в соответствии со смыслом аадачи, нулевые) с 1 /' Чг(г) ~~ / М(г,)Жн т.
е. Ч'(1) связана с М(1) линейным о соотношением, то для корреляционной функции Ко (1ь гз) получим 1 / ~ К (ес К) ~1е 1с о о а для дисперсии 0(Ч'(1)1=а' = — ' / ~ К (~' — 1')й )К= о о = н, 1 (1 — т)Км(т)вст. 2 /' о Так как в-е! г1(соз рт — -" з!и й!т!) = !! — 1 лн) ( и а'+~0 лт' 1 ., — !Е Я!г1(Спарт+ — З1нр1т~)~, то последний интеграл просто может быть вычислен по частям. что дает 0(Чг(Г))=... ~1 — е-"'~созбГ+ — з1пбг)~ж 2л2 — 45' Н' (аг ! рг) ° оз = 45 . Пример 32.2. Определить дисперсию угла Ч'(Г) повороаа гироскопа направления через Т= !О мин.
работы гироскопа. если угол Ч' определяется уравнением гРу 6 — = — в об(1), я'! где 6 — нормальная стационарная случайная функция. имею- щая ко рреля цио нную функцию Кз(т) = ае-я1'1!гсоз(!т-»- — '" з1пя!т~~', 0=0, Ь и Н вЂ” постоянные. Р е ш е н и е. Здесь, помимо линейных операций интегри- рования и дифференцирования, в заданное выражение входит нелинейная операция в п. Поэтому, обозначив временно с1(г) =х(г), положим У(г)=зяпх(г). пользуясь определе- нием Кг (т) как второго центрального смешанного момента слу- чайных величин У,=зппХ(1) и ге= зпп Х(г+т), полУчим СО ОЭ 0 со К» (т) = 2 ~ ~ у' (хм х,) нх! г(ха — 2 ~ / у (хн ха) сУх, г(ха, о о -ж О где вакон распределения у(хп х») нормальный. Г!одставляя значение этого аакона распределения и переходя от прямоугольных координат х,, хя к полярным, легко вычисляем оба интеграла и получаем К (т)= — агсз!пй„(т). 2 где нормированная корреляционная функция й (т) определяется формулой /ол(т) =Аз.(т) =е-о!'!(спарт — — '" з пр~т~).
Искомая дисперсия 2ао Г' 01Ч'(г)1= о / (г — т)К (~)г/~= о е еь /' 1-от( . ~-. ° ( = — / (г — т) агсз|п1е-о ~'4(соз рт — — з!пр(т1)1ат. р о Задачу можно решить и другим способом, Если воспольвоваться формулой з п Х= —. 1 е — и подставить ее ~ох а ь пг / и в исходное дифференциальное уравнение, то после интегрирования по времени и нахождения математического ожидания Ч"з(Г) получим где Е(ин аз) — характеристическая функция системы нормальных величин Х(Г,) н Х(Гз).
Подставив в последний интеграл выражение для Е(ан из) и проинтегрировав три раза, получим для 01Чг(Г)1 то же выражение, что и выше. П р н и е р 32.3. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции У(С) = а(Г) Х(Г)+Ь(Г) —, гле а (Г) и Ь (Г) — заданные (числовые) функции, Х(Г)— диффеРенциРУемаЯ слУчайнаЯ фУнкциЯ, а х(г) н К (Гп Гз) известны. решение. Функция у(Г) является результатом применения линейного оператора ~а (Г) + Ь (Г) — ~ к случайной т аг1 Функции Х (Г). Поэтому искомый результат может быть получен путем применения общих формул, Однако решение проще найти путем непосредственного вычисления у (г) и К„(Сп 1).
Имеем у(г)=М[а(г)Х(г)+д(~) ~=а(Ох(О+В(с) —, К,(сп г,) = [т[Ц а* ц) [Х'(сг) — '(с )[+ р, ~ а (~ ) [Х (г,) — х (Р ) [+ Ь (РД ~ = ~' (1,) а (г ) К„(Еп г ) + а' (Е,) Ь (1 ) —. К Я, С~) + д + Ь (Е~) а (гз) »г К„ (Ео ст) + Ь (Е~) Ь ~Й гн ег К» и и Рз) ! гк~ дтпл Задачи г 32.1. Определить корреляционную функцию производной случайной функции Х(1). если К„(т) = ае-в~ т1(! +а [т [). 1 32.2. Определить корреляционную функцию и дисперсию случайной функции у(с) =— »Л' (Ф) лг если К (т) = ае-'!'! спарт+ — «1п[1[т[) . » 1 Р 32.3. Пусть Х (1) — стационарная случайная функция, корреляционная функция которой иавсстна. Определить корреляцнонкую функцию связи Х(1) н —. их (г) лг ', 32.4. Сколько производных имеет случайная функция Х(~).
обладающая корреляционной функцией (т) озв-а'т*у 32.6. Сколько раз можно дифференцировать случайную функцию Х(г), если К»(т)=оае-"1»1(1+а[т[+ — цатз)? з 32.8, До какого порядка сушествуют производные случайной функции Х (Г), если ее корреляционная функция имеет вид К (т) озе-а!~! (1+ц(т~ 2цзтг ( из~та!)~ 1 3 82.7, Случайная функция Х (г) имеет корреляционную функцию К (т) = оте-"!'~(1-(-а ~т ~). Определить корреляционную функцию связи Х (г+ Ге) и Х (Г). 32.8.
Корреляционная функция случайной функции Х(г) имеет вид К (т)=озе-'!'~(1+абдт(). Определить дисперсии функций у(Г) = Х(Г-)-т) и я(Г) = Х (Г+т) 32.9. Дана корреляционная функция К (т) стационарной случайной функции Х(г): К,(т) = озета'т'. Найти корреляционную функцию )г(г) = а —. лХ (Е) лг 32.10. Определить вероятность Р того, что производйая У от нормальной стационарной функции Х (г) будет иметь'значение, большее Ь = ~/ 5 лс/сек, если К (т) = ае-"~г! ~созрт+ — з1пр~т~), где а = 4 мз. а = 1 сек. ', р = 2 сек. 82.11. Известны математические ожидания, корреляционные функции и корреляционная функция связи двух случайных функций Х(г) и г'(г), Определить математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции Л (г) = Х (г) + У (0.
32.!2. По известным вероятностным кзрактернстикам системы л случайных функций Ху (т) У = 1, 2, ..., и) определить математическое ожидание и корреляционную функцию х«) = ~ х,®. 32.13. Корреляционная функция:К (т) стационарной случайной функции Х «) аадана. Определить корреляционную функцию г'(г), если у«) =х(с)+ — „, + — „„ лх(г),т х(г) ° 32.14. Случайная функция Х«) имеет корреляционную функцию К (т) =иве-в'~~1+а~я~+ — аята). 3 Определить корреляционную функцию ~«) =Х«)+ 32.15. Известна корреляционная функция К„(т) случайной функции Х(г). Определить дисперсию 8 р(т)- ~' х(ц Ю о 32А6.
Стационарная 'случайная функция:г'.(Ф),связана с другой функцией Х (г).соотношением 1' (1).= —,. вх (Г) лг Определить корреляционную функцию Х (г), если Х (1).= 0 при с=О, а К (т) известна, 32.17. Определить корреляционную функцию связи между Х(т) и )'(г)='~ Х(Цг($, если К„«ы га) известна. з 32.16. Определить. дисперсию 1'. (Е).при с=20 сек., если Г(1)=~К(Г,) деи о К„(т)=ае-е1'3(1+ц~т~), а=10 — ',, а=ОЛ сек. а. 32.19. Определить корреляционную функцию и математическое ожидание У(Г) =ааХЯ+ а,— "„~~ +Ь, ~ е-ЫХ(Г,),уе,+„.
е если х(Г) н К„(еи Га) известны. а постоянные а, а~ н Ь вещественные. 32.20. Определить. корреляционную функцию свяви 1т„,(ен Г,), если 'г' (Г) = аХ (Г) + Ь вЂ”, ах (г) Е(Г) =с — „, +д их (г) г х (г) где а, Ь, с, д — вещественные постоянные. 32.21. Скорость самолета определяется гироскопическим интегратором, который дает ошибку МlЯ=К 1 а 0(ГОг(Еи о где 0(Г) — ошибка стабилизации оси интегратора, имеющая корреляционную функцию Ка(т)=4 10 е ' " рад =ае " '. а К вЂ” ускорение силы тяжести. Найти среднюю квадратическую ошибку определения скорости после 10 часов полета (т лано в сек.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
