1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 37
Текст из файла (страница 37)
а=0,1 сек. ', 5=0,7 сек."'. 33.4. Ошибки на выходе динамической системы нормальны, имеют нулевое математическое ожидание и характеризуются корреляционной функцией К(г) = ае-а! т!(1+а(т ~), где а = 5 квадратным угловым минутам, а = 1.5 сек. з. Определить, на сколько секунд в среднем будет выключаться система, если выключение производится автоматически при получении ошибки, превосходяшей по абсолютной величине 3'. 33.5, Коррелящюнная функция нормального случайного процесса К „(Ри Р,) = и'~Две-з1 г "' ' (1+ а ~ 1а — 1, ! ). Определить значение времени 1, начиная с которого среднее число выбросон аа уровень а = х в единицу времени станет меньше заданного числа ре (р„ > — ~.
2л) ' 38.5. Лля устранения вредного воздействия, оказываемого внешним случайным возмушением, характеризуемым нормальной случайной функцией Х(г), необходимо затратить мощность )Р' И), пропорциональную Х ф: Ю' ф = ЬХт(Ь). Определить„сколько раз в среднем в единицу времени мощности двигателя будет не хватать для устранения возмущения, если максимально возможная его мощность равна тв, к=0. К (т)=ае-я!т!(спарт+ ~~ з!пр1т~), а и, гве, а, а, р — известные постоянные.
33.7. На самолете установлен прибор (акселерометр), измеряющий ускорения, нормальные к оси фюзеляжа в плоскости крыла, Программа, заданная автопилоту самолета,— горизонтальный прямолинейный полет с постоянной скоростью. Вследствие ошибок управления угол Ч'(Г), составленный направлением вектора скорости самолета с неизменной вертикальной плоскостью, становится случайным. Определить, сколько раз в среднем в единицу времени чувствительный влемент акселерометра будет доходить до упора, если это имеет место в том случае, когда мгновенный радиус кривизны траектории самолета в горизонтальной плоскости становится равным минимально допустимому радиусу циркуляции )се. Скорость самолета и можно считать постоянной, а К~ (Г,— Г,)= аз-Я!'! (сов Рт.+ — з!пД т ~), где т=гз — гп 33.8.
Высота гт*(Г) полета самолета, управляемого автопилотом, является случайной функцией, математическое ожидание которой Й равно заданной высоте полета. а корреляционная функция К (т) = ае-' ! ' ! Гсоз рт + —" з !п и ! т ~ ) . Считая высоту Н(г) нормальной, определить, какую наименьшую высоту Ь можно установить в системе приборов автономного полета, чтобы за время полета Т вероятность аварии самолета вследствие столкновения с поверхностью Земли была меньше б = 0,0188, если а = 400 мз, и = =0,01 сек. ', 8=0.1 сек. ', Т= 5 час, 33.9. Радиоляния управления может обеспечить передачу команды без искажения в том случае, если помеха Х (Г) поступающая на вход приемника, в течение передачи по абсолютной величине ни разу не превзойдет некоторого уровня и.
Определить вероятность ае передачи команды без искажения. если х = О, К„.(т) =бе-«1'1(1+ а ~ т) ), а время передачи команды Т. 33,10. Определать закон распределения ординат нормальной случайной функции Х (Ф) в точках ее максимумов. если х = О, К, (т) = пе-е'*. 33.11. дан нормальный случайный процесс Х(1). Найти вакон распределения ординат его минимумов, если К (т) — озе-а1»1(1+а ~т(+ аетз~ 1 33.12. Определить среднее число точек перегиба нормальной случайной функции х (г), приходящееся на время т, если К (т) = ае-"'"*. 33.13, Опрелелить среднее число максимумов и нормальной случайной функции двух переменных ь(х, у), приходящееся на единицу площади, если ее двумерная корреляционная функция является функцией двух переменных Кс Я.
Н) = М ЦЦ*(х, у) — Г) 1Ь(х+ $, у+ т() — ЬЦ, а двумерная спектральная плотность 81 (ып ге ) = —, 1 ~ е-Ы"й+е*ч1КС 5, т)) с$ Иц Т известна. 33.14. В условиях предыдущей задачи оцределить среднее число точек и, приходящееся на единицу площади, в которых обе первые частные производные '- и дх еь(х, у) — е— меняют знак с «+» иа « — ».
у 5 34. Спектральное разложение стационариык случайных функций Основные формулы Еля всякой стационарной функции Х (е) сираведльво разложение Х(1) — х= ~ еш'ИФ(в). Где в том случае, когда .~ !Хл(т)!~~тассо приращения МФ(ю) удовлетворяют соотношениям М!1Ф(ы))=О, МИФ'() Ир(ы,))=З„(ы)б( — ы,) ( Ьн Здесь 8„(е) — спектральная плотность случайной функции Х (1), э (х) — обозначение дельта-функции (см. введение к й 11).
Корреляционная функция н спектральная плотность связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье ((, (т) = ~ е ""7,(е) Ь. З„(со) = — е-' 'Х (т) Ь. 1 являющимися следствием спектрального разложения Х (й) ! При т= О первая нз приведенных формул дает ((л(О) =0 [Х(Р))= ~ 8„(е) пеь Спектральная плотно-ть не может иметь отрицательных' ординат; дла вешественных функций Зк(ы) ~л( ) Случайные функции, обладаюшие конечной дисперсией, имеют спектральные плотности. обращающиеся на бесконечности 1 и нуль быстрее, чсм —.. Спектральная плотность производной Х (Г) связана с 8„(в) формулой «(в) у( )' Необходимым и достаточным условием дифференцируемостя (один раз) случайной функции является условие ~ в'Я„(в)йо "оо, для выполнения которого нужно, чтобы Я„(в) ири росте в 1 стремилась к нулю быстрее, чем —,.
Если случайные функции стацнонарны и стационарно связаны, то между корреляционной функцией связи Й (т)' и взаимной спектральной плотностью 8„(в) имеют место соотношения Йуу (т) = / е'"'Я (в) бв, ~о Юау (в) = — ~ е- ' '1с (т) И. — -гет Из определений ус „(т) и Я„(в) следует, что Йху (т) = )зуу( «) буу(в) = сух(в)' Спектральная плотность произведения двух нормальных (веше- ственных) стационарных случайных функций Х (г) и )у (г): Л (С) = Х(1) )У(1), выражается через Ю,(в). Ю (в) и Ю„у(в) по формуле .~ ок(в в1) оу(вг) ов1+ + ~ З„у(в — в,) Яу,(в,) бв1+ха8у (в)+ У% (в) В частном случае, когда ау(Г)= — Х (Г).
8 (В) =8„„(В) =3,(В). ИМЕЕМ е. Д) =Ха(Г) и ес (ю) = ~ ес (а2 юг) ~л(а22) 2сюг+ йх8~2(ю)' Тот же результат можно получить, если воспользоваться формулой, справедливой для любых двух нормальных (стационарных) функций: У2„2 (т) = К„(т) К (т)+ й (т) гг „(т)+ х2К (т)+ у'К„(т), а затем преобразовать Л„т(т) с помошью преобразования Фурье. Решение типовых примеров Для решения задач 34.1 — 34.
!О необходимо непосредственное применение преобразования Фурье. При вычислении корреляционной функции, когда спектральная плотность является отношением пол>шомов га, обычно наиболее просто результат может быть получен с помошью вычетов. Прн нахождении спектральной плотности по заданной корреляционной функции, когда в ее выражение входит модуль аргумента, бесконечную область интегрирования нужно разбить наобласти ( — со, О) и (О, са). В остальных задачах необходимо найти корреляционную функцию нли спектральную плотность, пользуясь их определением, а в некоторых задачах и свойствами Нормальных величин.
П р и м е р 34.!. Определить корреляционную функцию, если и ОЛОО 2 2 !=1 "l Р е ш е н и е. Пользуясь преобразованием Фурье, имеем О СО К(т)=,!У, а! / епв™ СО сгм При т ~ О ~ е'"' — равняется интегралу от функь ма+ С 2 СО '1 ции комплексного переменного ез, взятому по контуру, со- ставленному на вещественной оси, аамкнутой полуокружностью бесконечного радиуса, расположенной в верхней полуплоскости.
Поэтому его значение равно вычету относительно единственного полюса ы = !!' (считаем !се Х! ) 0), расположенного внутри контура, умноженному на 2пГ. т. е, — е д, а л. -! а! К(т) = и ~~~ — е" ~!». /=! Х/ Аналогичным образом при т (О, аамыкая вещественную ось через нижнюю полуплоскость, получим К (т) = а! *=и 1 — е 1, т. е. при любом знаке т Х/ у=! К (г) = и ~~~!~ — е ! ". 1=! П р и м е р 34.2. Определить спектральную плотность, если К (г) оае-а!т! ~1+о~с~+ — азт!). 1 3 Рещение. Обозначив /(и е!) / е-!етоае-а1т1а!т 1 Р 2а ./ замечаем, что ду а! дад 5(а!)=У вЂ” о — + — —.
да 3 да! Так как СО о то после дифференпирования по и и простых преобразова- ний получим 8ога! (е!) =За(,!+а!)а ° П р и ма р 34.3. Определить спектральную плотность 8(1) = Х(Ь) Х(«). если Х (Е) — нормальная случайная функция, а К (т) =не- «'~(соарт+ ая«нр<т <), х= О. Решение. Так как Е(т) =- — Хт(Е). то 1 а 2 ««« 8г(в) = — 2«~'8~ (в) = о ~ 8. (в — о«) 8л'(о«) «(в« = 1 б» 2аа (а» + Ь») е» (е» + 20а» 43») ж 1(о»+ 4а'+ 46»)» — 166»а») (в»+ 4а ) Задачи 34.1. Дана спектральная плотность и.
если — Ь «( о «(Ь. 8(о) = О, если Ь(<в<. Определить корреляционную фуркцию К(т). 34.2. Дана спектральная плотность О, если <о<(вя, 8(в)= се. если ве«(<о<«(2ое. О, если 2в,(<в<. Определить корреляционную функцию К(т). 34.3. Онределить спектральную плотность 8(в), если К (т) = ае-а « ' ~ (1+ а < т < ). 34.4. Определить спектральную плотность 8(о), если от(1 — < с<) нри <т<.~1, О цри <т< ) 1. » ~ ~ с ~ > ~~ 2 34.6. Определить спектральную плотность 8(о),:если К(т) = ота-а ~ т«соа йт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
