1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Определить корреляционную функцию г'(Г) для моментов времени, превосходящих время переходного процесса. 36.16. На вход динамической системы с весовой функ- цией р(Г) поступает стационарная случайная функция Х(Г) с нулевым математическим ожиданием. Определить дисперсию отклонения выходного сигнала г (Г) от некоторой стационар- ной функции Е(Г), если К„(т) и Я~,(т) известны, я=О, а переходный процесс системы можно считать окончившимся. 36.16.
Воспользовавшить спектральным разложением ста- ционарной случайной функции Х (Е), определить для момента ! времени 1))- дисперсию интеграла уравнения а *г'(г)+ аг' (г) = гХ(г) при нулевых начальных условиях, если а„а 2 8„(гз) = — ", т 86.17. Вследствие случайного дебаланса гиромотора, установленного на платформе, имеющей случайное вертикальное ускорение )т'(Г). гироскоп направления совершает прецессшо с угловой скоростью а(г)= — ~!+ — ®'(Г)~ ° Рг.
г 1 — н~ Определить математическое ожндайие и дисперсию азнмутального ухода а(г) в момент времени Г. если М [Ц = (), 0 (т.! = отн К„ (т) и тв ааданы, Р, гт, К вЂ” известные постоянные. а между Ь и 11т(Г) нет связи 36.18. Определить корреляционную функцию частного интеграла ут(г) уравнения 'г (г)+ 2лг'(г)+ И'(г) = е-"Х (О при нулевых начальных условиях, если 8.(ю)=Ф „,"„, (А>А>0). 33.19. Случайная функция г (Ю) связана со случайной функцией Х(1) уравнением )'(1) — ~г(т) = х (т). Определить К„(г,, 1а).
если К.(т) = ае-е1" ~. а при г= 0 У®= 0. 35.20. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию частного интеграла уравнения у(т) — аз1у(т) =3Х (т) при нулевых начальных условиях, если х (г) =Ф, К (г) озе-а'и 33.21. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию решашя дифференциального уравнения )'(Ф)+ т г(т) = х(а) 1 если при г= ге+О )'(г)=уз, где уз — неслучайная величина, 1 л(г)= —; К Я, г ) = аггее-" ~' -г '. 33.22. Написать общее вырамсение для математического ожидания и корреляционной функции решения г (г) диффе.- ренциального уравнения и-го порядка, весовая функция которого р(тн тз), если в правой части уравнения стоит случайная функция Х(г); л(г) и К„(гн Е,) известны, начальные значения г (г) и первых п — 1 ее производных — случайные ге,тичины, не связанные с ордннатами случайной функции Х (г), с известиымн математическими ожиданияни еу и корр ляционной матрицей ~(й~,~! (.', у=1, 2, ..., л).
36,23. Дана система У,(Г)+ЗУ,(Г) — У,(т) =Х(т), )~а(Г)+2У,(т) 0 Определить лисперсию Уа(г) лля г = 0.5 сек., если прн г=0 У,(Г) н Уа(т) являются случайными величинами, не свазанными с Х (Г); 0 ( Уг (О)) 1 ~) ( Уа (О)) 2 55 У; (0) — у,(0))( У,(0) — у, (0))) = — ), 2 8„(ю)= „,, сек. 36,24. Определить дисперсии решений системы уравнений в момент времени Й у, (т) + 3 у, (т) — у (т) = тх (т), Уа (Г)+ 2У, (т) =О, если начальные условия нулевые. а 2 3л(ю), н(мг ( Н 35.26.
Определить дисперсии решений системы уравнений при г=0,5 сек.: У, (т) + 3 У, (г) — Уа (г) = г Х (г). Уа(т)+ 2У,(т) = О. 2 если 8„(се)= „г . а начальные условия нулевые. п(аг+1) ' 35.23. На вход автоматического фрикциона. используемого в качестве дифференцирующе-сглаживающего устройства. поступает случайная функция Х(т). Определить дисперсию сглаженной функции Л (г) и дисперсию сглаженной скорости ее изменения у(г), если работа фрикциона описывается системой уравнений б)'(Г)+ )'(Г) = аХ(г), ЬЛ (г) + Е (Г) = Х (т), где а и д — постоянные масштабные коэффициенты.
К,„(т) и а -а1т~ = о е , а переходный процесс закончился. 65.22ь Определить для 1= 1 закон распределении реше- ния уравнения У(1)+ВУ(Г)+2У(1) =Х(1). если при г=б У(г)=г;. )'(1)=га. а )а. [а и Х(1) нормальны и взаимно не коррелированы, М [1'е! = М [У~! = х = О, 0 [Я = 1,б. 0 [1'а! =' 0,2, К,(т) =2е ~'~. Зб.28. Отклонение У(г) от вертикали плоского физиче- ского маятника, плоскость качания которого совпадает с лиаметральной плоскостью корабля. определяется уравне- ниями 0(1)+2ли(1)+У(1) и(1) =х(г). Х И) = — — [а,(1)+ Ч,(Г) Ф(1)— — р„[Ф'(г)+ Ф (г)+ Ч'(г) Ф(с)[+ +р, [Чг (г)+Ф(г) 9(г)+ 24Щ б(г)!!. )~(Г) па[ 1 ~г(Г) ~~У(Г) [ л тле все коэффициенты постоянны.
а угол рыскания Ф(г), угол дифферента Ч (г), угол крена 9(1) и скорости координат центра тяжести корабля $,(г). т[,'(г), ь,(г) — нормальные стационарные, не связанные между собой случайные функции. Выразить спектральные плотности 8„(га). 8„(га) и 8„„(га).
необходимые для нахожления вероятностных характеристик 0(Г) на молелируюшем устройстве, через спектральные плотности 8 (га), 8, (в), 8з(ы), 8 (га), 8„(аз), 8 (га). 36,29. Для момента времени г:чь — найти асимметрию 1 а Зй и зкспесс Ех частного интеграла уравнения Г(Г) + й'г'(г) = Ха (С). уловлетворяюшего нулевым начальным условиям. если Х(г)— нормальная стационарная функция, х=б, К (т) = аз ~ йб,йб, Определить корреляционную функцию связи естз(х) стационарных решений уравнений: — +2ЕЕт — „Е +й1)'(Е) ='мустХ(Е), лтг'(Е) н'г'(Е) т, а где случайная функция Х(Е) обладает свойством белого шума (~ (ы) им се), А! > й1> О, йз > йз> О. ф 36. Оптимальные динамические системы Основные формулы Будем понимать ') под оптимальной динамической системой систему, которая по входной функции Х(Е) =У(Е)+ н (Е), где У(Е) — «полезный сигнал», а [е(Е) — «помеха», получает иа выходе функцию )г(Е).
математическое ожидание которой равно математическому ожиданию некоторой функции Я(Е), а 0 [е (Е)[ = 0 [ г' (Е) — л. (Е)[ = в[п. Функция Х(Е) связана с полезным сигналом У(Е) соотношением л (Е) = [ч У (Е) = ~ и (Е, Е~) У (Е,) ЕЕЕн е где )) — символ известного оператора, а а(Е, Е,) — его весовая функция. Под нахождением оптимальной системы понимается определение по вероятностным свойствам случайных функций У(Е) и Ъг(Е) и виду оператора М вида оператора Ь или соответствуюшеи ему весовой функции Е(Е.
Ет), с помощью В ) Возможны и другие определения понятия оптимальной линзмической системы. Например, под оптимальной системой можно понимать систему, у которой вероатиость того, что разность г'(Е) — л (Е) по абсолютному значению ие превысит данной величины, достигает максимума. Термин кдинамическая система» понимается здесь в техническом смысле слова, т. е. под динамической системой понимается всякая система. состояние которой (характеризуемое Функцией, получаемой на квыходе» системы) изменяется под влиянием внешних возмущений (случайных функций, поступающих на «вход» системы). которыя функция Х(г) может быть преобразована в функ- цию Щ): У(4=1Х(~)=~ ((т, ФДХ((,)Фм е Задача определения оптимальной динамической системы решаетса просто, если: а) случайные фрикции УЩ и У(г) стацнонарны и стапионарно связаны.
а операторы И и (. линейны и не зависят от времени; б) спектральная плотность 8„(ю) = 8 (ю) + о' (ю) + -+5„ (ю) +8„ (ю) является пробно-рациональной функцией своего аргумента. т. е. может быть представлена в виде 8 ()=" ~""'~'. л ~д ~>цт' тле полиномы Р (ге) и Д,(ы) имеют корни, расположенные только з верхней полуплоскостн комплексного переменного, т.
е. могут быть предстзвлены в виде в У . Р (ю)=П( — рт) ~. ().( )=П( —,)' ,".1 1=1 где комплексные числа гг~ и т, имеют положительные мнимые части, тт и и,— кратности соответствующих корней, ч лг =лг. ~~л,=л; '%~ т=1 1=1 в) при определении ординат функции )'(г) мокнут быть использованы значения ординат функции Х(1) за неограниченно большой промежуток времени, предшествующий текущему моменту времени Г. В этом случае передаточная функция С(нз) оптимальной динамической системы, связанная с ее весовой функцией соотношениями СО )(т).=Б- ( в ~Й(гю)йа. СО Е(гы)= ~ е я(т)лт, определяется следующим образом (считаем а = о = 0).
Если система работает без заваздыеавия (т. е. Е(Г) является результатом применения некоторого оцератора к текущим или булущнм значениям ординат функции О(г)). то Е((ю) = —, " Х(ьь), а' Рм(м) где о х(щ) =ХХ ( ь ~ с ) ь (Г Л)( лис Р (е) ),, (г= 1. 2, ..., а) — полюс кратности -С, выражения О, (е) — Яе,(сь), лежащий в верхней 'полуплоскости. Р"„(а) Если овтимальная данамичесиая система должна работать с заваздыеанием (т. е. функция Л(г) является результатои применения некоторого оператора к ординатам функции У(с) в момент времени, на т, секунд предшествующий текущему моменту времени Г), то Е()ю)= ' — —, — Ч'(ьь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
