1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 42
Текст из файла (страница 42)
искаженное ошибкой измерения У(Е). Опрелелить дисперсию ошибки е(Е) определения угловой скорости качки, если динамическую систему можно считать оптнмальНай, 6 = О, а = О. К„(т) = а'„Е 'ч' ". ЛЗ„(т) ж О, К, (т) = =азе-"!'1~сов рт+ — з!пр~т~), ав — — 0.1 Рад, а=0,1 сек. р 3=0,75сек. '. а =2 10"з рад, пч=0,5 сек. ~. 36.18. Динамическая система проектируется для получения значения случайной функции Х(Е) в момент Е+то по значениям ординат этой функции в течение интервала вРемени (Š— Т, Е). Определить оптимальную передаточную функшцо системы н дцсперсию ошибки определения Х(Е+тч). если измерение ординат функции Х(г) осуществляется прак- тически без ошибок: Х (г) = с, + с,у+ Б (!), где с, н с — неидвестные постоянные, а У(1) — случайная функция, корреляционная функция которой К„(т) =озе-е' т'(!+а ~т!), о,=1.
а=0,1 сек. '. те=10 сек., Т= 40 сек. ЗВ.19. Динамическая система проектируется для получения производной случайной функции Х(г) в момент !+те. Определить оптимальную передаточную функцию системы, если Х (г) = с, + с 1+ У(г). Ке (т) = о'„'е-"!'~ (1+ а ~ т ~ ). где с, и ез — неизвестные постоянные, система обладает «конечной памятью Тъ (т. е, учитывает вначения Х(Г) только за интервал времени (г — Т. Ф)), о„=1, а=0,1 сек. '. ге — — 10 сек., Т=40 сек, ЗЗ.20. Определить весовую функцию 1(т) оптимальной динамической системы с «конечной памятью Т», предназначенной для дифференцирования функции Х (Г) =.Ч, (Г)+ У(Г), и ошибку определения Х(Г), где )с,(Г) — полипом первой степени, а Кь (т) = о'„'е-«!' ~ (1+ а ! т ~ ).
36.21, Для автономного управления самолетами могут быть применены инерциальные системы приборов управления двух типов: в первом случае при работе системы определяется полезный сигнал п~(г)=с1+с4+ езз!пЫ+с«созЖ, вде с,. сз, са, с4 — некоторые (неизвестные) постоянные.
а ьа= 1,25 ° 10 ~ сек. ', во втором случае полезный сигнал имеет вид из(Г) =езз!пйт+с«соз(ас. Найти оптимальные передаточные функции динамических систем. служащих для определения полезного сигнала в первом и втором случае, если системы обладают «конечной памятью Тъ, Т=20 сек., а полезный сигнал, поступающий в систему. искажен ошибкой Р(Г), К, (т) = ояе-е ~ '~ ~соз ()т-(- —" з1п р ~ т ~ 1, о = О, а=0,5 сек. ~, в=3 сек. '. о,=4 ° 10 ~.
36.22, В качестве упрежденного значения случайной фУнкции Х(Г+ те) взато )'(Г) = аХ (г). ОпРеделить значение постоянной а, обрашаюшей в минимум дисперсию ошибки е(г) = аХ(Г) — Х(а+ та). и величину минимальной диспер- сии, если х = О, аа„ 2 о„(ге)= „(„, ~е,) ° 36.23. В качестве упрежденного аначения случайной функции х(г+т) взята линейная комбинация л(г)=ах(г)+ +оХ(г). Определить значения постоянных а и Ь, обращаю- щих в минимум дисперсию ошибки е(г) = аХ(Г)+6Х(Г) — Х(Г+т). и величину минимальной дисперсии, если х = О, К (т) =ото а~т~ соз от+ — з!пр ~т ~), 36,24, В качестве упрежденного значения случайной функции у(Г+те) взято Г(г)=а(у(г)+у(г)1, где Ъ'(Г) — ошибка определения текущего значения полезного сигнала У (Г).
Определить значение постоянной а. обращаю- шей в минимум дисперсию з(~)=у(г) — (у(с+те), н 0(е(г))~ы если г 3 ро, чае (<з) 0 8» (е ) ~ ( а1) Вь (0з) и (ме ( рз) и =о =О. 36.23. Сигнал требуется подать в момент, упреждающий на те секунд нулевое значение производной 6(г). В действи- тельности сигнал подается в момент обращения в нуль ли'- нейной комбинации Т (Г) ад (Г)+ ЬЬ (Г)+ с Определить оптимальные значения постоянных о. Ь, с и величину дисперсии е««(с+то), если 0=.0, К (т)=ате-еа'!1созРт+ — з1пр! т!), ° о — в а =5", р=0,7 сек.
'. о=0,042 сек. «, то=0,2 сек. 36.26. В условиях предыдущей задачи определить опти- мальные значения постоянных а, Ь, с, при которых (л !Е(«+то) — 1'(г)! = ПИ'и. $37. Метод огибающих Основные формулы Всякую нормальную стационарную функмнв Х(Ь) можно представить в виде (х=О) Х (Е) = А (Г) соз Ф (Р), где случайные функции А(«) и «Р(«) являются взаимно независимыми. Функция Х(г) с функцией У(1) =А(г)з!пФ(1) имеет корреляционную функцию связи, которая определяется через 8„(ы) соотношением )2„т(и) = 2 ~ 5„(о«) з1п ого «У«ожа~г (г).
о )с „(т) обращается в нуль при т=О. След«звательно. для равных моментов времени функции Х(г) и У(г) не связаны, а так как они нормальны. то и независимы, Законы распределения ординат функций А (г) и Ф(г) одно- значно определяются корреляционной функцией К„(т) = атя (т) по формулам: однол«ерные алотностл распределения о« е ео « '(н) з оз У(р) = —. 0 <ф-ц,2; 1 длряерлые плоягности распределения а',+6', д й~~~~ Га,а Г а,а, '„ 1 — Еа ~,2 2 (ан ~Д = — ( а а (, а~да У(Рн Чат) — —,~ —,+, „я ( +агта1~м~~, где и,, <р, и ам Ча — значения амплитуды и фазы огибающей в моменты времени Г н 1+т.
от=1 — йа(т) — гт(т), г (т) и = и (т) = 1г1 — да соз (~ра — ~р, — у), у = у (т) = агсГн —, ь л (т) ' а гз(л) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента. Следствием приведенных выше формул являются условные законы распределения аа (г-ч') а, та,а у а~аз р Т вЂ” а~ т та д а~а~ и формула для корреляционной функции 'К (т)= 2 12Е(1 — 419 — Чак(1 — еа) — М, где К(йа) и Е(йа) — обозначения полиык вдлиптическид инте- гралов первого и второго родю кач-/', " ..." е ьач (тг — 'юйзьь о Четырехмерныа и двумерные законы раелределенин амплитуды, огибающей, ее фазы и соответствующих скоро- стен имеют зид: аз У( ' Ф' р) 4 2()озз ~з)зз ьФя — 2~~ ьз))~.
26„(из — ю)) аз Х'"Р~ —,)4 4))~ ~"Р) З)~ 1 аз о (2л)зр У а~ — аз) ( 2оз (азз — е)) ! у(а. а)=у(а)у(а), У()р 'р) У(ч)) У()р) 1 зз у(а) = ае 3~2л У сд~ — э~~ ( 20„.(а~~ — э~~) ~ 2 2 оЪ .у(') =,...,. 2[( —.)'+Й- ~)1 где О) 3 2 /,Г() 2 Р зо 00 е4 2 / х( а2х о Вероятности того, что )р больше нуля. определяется равен- ством Р(ф>О) = 21 ~1+ — "„'). Аналогичным образом Р( -:б) =-,(1 — — „,). При узкополосном спектре случайной функции Х(Г) величина гьт =гет — е', мала сравнительно с гет и некоторые из вышеприведенных фориул могут быть упрощены путем разложения соответствующих выражений по степеням малого отношения —.
В частности, при узкополосном спектре Л кч дИСПЕрСИИ 0[А(Г)[ Н [) [Г[)(г)[ СтапОВятея МаЛЫМИ. а таК КаК М [А(г)[=О, М [Ф(г)[=во то прн дифференцировании случайной функнщг Х(г)=А(г)созФ(г) в ряде случаев А(г) можно считать равной нулю, а Ф(г) заменять на ео При узкополосном спектре для плотности вероятности времени пребывания т случайной функции выше (ниже) нулевого уровня («закона распределения полупериода») имеет место приближенное выражение У (т) 2 [(н — а,т)а + Ь'с~[ад Ь точность которого тем выше, чем меньше отношение —. кч Решение типовых примеров П р и и е р 37А. Определить среднее число выбросов в единицу времени случайной функции 6 (г) = Ф (г) — ге,г, где Ф(г) †фа нормальной случайной функции Х (г), если К„(т) =нте-"~'[(1+а[с[) ° г»,= — у 8,(ге)езде, а=О.! сек, г. 2 Г О~ Р е ш е н и е.
Определяем спектральную плотность ° О Следовательно, 4аз Г и ен 2о Ю~ =— и / (н'+а')' и ' о Применив .обитую формулу для числа выбросов в единицу иреггени«получим СО р = ~' у(О. О),.,~ О 43. о Так как 6(г)=Ф(г) — ю,г. то 6 будет иметь равномер. ный закон распределения в интервале (О, 2гг), а аакон распределения у'(О, О) может быть получен путем простой замены в законе распределения У(гр, гр) гр через О+оп т.
е. У(О, О)= 4л ~ О а+ (в, '— оР)~~ где, ыо= — / 8 (ы)оРсЬ=яз. 2 Р / « «о Подставляя )'(О. О) в формулу для р, получим 1 а 'г'но — 4 р = — 'у'ыо — го' = =0,0061 сек. 1. 44п о 1 4ло Задачи 37.1. Корреляционная функция определяется формулой К (т) =о„'е-о1'1. Считая Х(г) нормальной (х =О), определить корреляционную функцию амплитуды огибающей втой функции. 37.2. Какова вероятность того, что фаза огибающей нормальной случайной функции Х (г) будет уменьшаться, если К (т) = о'е-о! '1 (1+ а1т ~ ), х = О. о=0,01; 0,10; 0,60 сек.
'Р 37.3. Для стационарной нормальной случайной функции Х (г) определить вероятность того. что фааа будет увеличиваться (уменьшаться), если А (т) оое-а1«1 созрт + з1ПР ~ т~) й 37.4, Определить вероятность Р того, что скорость изменения фазы огибающей будет больше юг —— —, / 5,.(ю) ювгы, 2 г' если К„(т) = о„'е-е1 '1(соз бт+ — з1п О ~ т ~), х = О.
37.3. Лля нормальной случайной функции Х(Г) определить закон распределении скорости изменения фазы, если К (т)=оае-"1'~(1+а~ т1), х=0. 37„6. Определить закон распределения фазы нормальной случайной функции Х (г) — х, для которой (т) пае — а Щ1 37.7. Определить закон распределения скорости изменения фазы нормальной случайной функции Х(Г). обладающей спектральной плотностью е' 3 (ю) =,„...,, х = О. 37.8.
Определить закон распределения огибающей и скорости изменения огибающей нормальной случайной функции Х (С), если 2взех 37,9. В условиях предыдущей аадачи определить условный закон распределения огибающей в момент времени Е+т, если в момент времени г А(Г) — о, т=2 сек., а=0,1 сек. 37.10. Найти приближенное выражение для закона распределения времени пребывания случайной функции ниже нулевого уровня.
если К (т) — оте-зо~1т1(созО 7т+ — з1п0,7! т1) ° х =О. 70 37.11. Считая возможным пользоваться формулами для огибающей случайной функции с узкополосным спектром, найти закон распределения промежутков времени между последовательными моментами прохождения палубы корабля через положение равновесия, если угол крена 9 (г) — нормальная случайная 'функция, характеризуемая корреляционной функцией Ке(т) = позе-аю '1(соя 0,7т+ — з|п 0,7 ! т ~), 0= О, а килевая качка отсутствует. 37.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
