1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 46
Текст из файла (страница 46)
38.23. Матрица вероятностей перехода задана в виде У Ю' где )с — матрица, соответствующая неприводнмой непериодической группе С существенных состояний ф, ф, ..., Я„ а квадратная матрица 11' соответствует несущественным состояниям Я,+,, Я,~а, ..., Я . Определить предельные вероятности р„~ (у' = г + 1, г + 2, ..., т) того, что система перейдет в состояние из группы С. 38.24. Матрица вероятностей перехода задана в виде К 0 О () а, о У Уг %' где )ч — матрица, соответствующая непериодической группе С сушественных состояний Ян (;1, ..., Я,, а квадратная матрица %' соответствует несущественным состояниям Я,ч.н Я,. Определить вероятности р,~ (/ = г+ 1 г + 2, ..., т) того, что система перейдет в состояние, прннадлежашее к группе С, если все элементы матрицы равны а, а сумма элементов любой строки матрицы У равна Р.
38.28. Два игрока А и В продолжают игру до полного разорения одного нз иих. Вероятности выигрыша каждой партии для этих игроков равны соответственно р н Ч (Р+Ч= 1) В каждой партии выигрыш одного (пронгрыш другого) равен одному рублю, а общий капитал этих игроков составляет и рублей. Определить вероятности разорения игроков, есаи до игры А имел / рублей (у' = 1, 2, ..., ш — 1).
38.26. Даны вероятности перехода р1 1+, — — 1 Ц = = 1, 2, .... пг — 1), Р г = 1. Определить вероятности пере(л) хода р)а н средние предельные вероятности перехода Р)» (/, и=1, 2, .... ш). я 38.27. Матрица вероятностей перехода а р у 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 где аФ1. Определить вероятности перехода р<"~ и средние /» предельные вероятности перехода ру» Ц, и = 1, 2, 3, 4). 38.28.
Даны элементы матрицы вероятностей перехода Рд/+»=Р (у =1, 2... „2гн — 1), ру 1, —— 9 = 1 — р ( т' = 2, 3..... 2лг). Не определяя характеристических чисел матрицы Ф', найти предельные вероятности перехода и средние предельные абсолютные вероятности. 38.29. Частица перемещается по прямой под влиянием случайных толчков и может находиться в точках с координатами х .= хл+ уЛ (/ = — О, 1...,, »а).
В крайних точках А и В находятся отражающие экраны, Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью д=! — р, Если частица находится у стенки, то любой толчок переводят ее внутрь промежутка между стенками на одно деление. Определить средние предельные абсозотные вероятности нахождения частицы в каждой точке деления отрезка АВ. 5 39, Марковские процессы с дискретным числом состояний Основные формулы Поведение системы, возможными состояниями которой являются О,, Он ф...,, Д, может быть описано случайной функцией Х (г), принимающей значение 7г, если в момент времени ( система находилась в состоянии Я». Если переход системы нз одного состояния в другое возможен в любой момент времени г', а вероятности Рг»(С, т) перехода системы из состояния О, в момент времени 1 в состояние О» в л~оиент ~ремени т (т)~С) не зависят от поведения системы до момента времени г.
то Х(1) является марковским случайным процессом с дискретным числом состояний. (Число состояний может быть конечным нли бесконечным.) Для вероятностей перехода Ры(1, т) справедливо соотношение Ргали. т)=,~~~Рц1Д з)Р1а(в, Ф), 1~<..'а4.;т. у=о Процесс называется однородным, если Р„(г. )=Р,,( — 1). В этом случае для марковского процесса /И ы( ) сл 1( г) уа( ) д=о Марковский процесс называется регулярныи, если; а) длн каждого состояния Я» существует предел сь И),= 1он — 11 — Рая (1, «+ й1)); 1 ьс +о д' б) для каждой пары состояний ф н Д„имеется непрерывная по г временная плотность вероятности перехода ры (г).
определяемая равенством ры(1) = — Нш Ра(Д 1+И) с;(г) а, ье где предел существует равномерно по Ф. а при фиксированном Й вЂ” равномерно по 1. Для регулярных марковских процессов вероятности Ры (1. т) определяются двуми системами дифференциальных уравнений: — = — се (1) Р;а (1, т) + лры(Д ) + ~Р,1(1, т)с~(т)р1а(т) (1-я система), уфл дры (б 'г) — =с,ЯРы(Ю, т)— — с; И) 'тР1Я, т)Р,1(г) (2-я система) 1+1 (б /, А = О, 1, 2,, ...
лг) при начальных условиях Р>„(Г, Г) =.бвп где ~ 1, если >=». б,„=1 1 О. если >+ >г. Для однородного марковского процесса с,(>) и р»Щ пе аависят от времени, а Ры(>, т)=Ры(т — Г). и системы дифференциальных уравнений приобретают вид — вм — сьРы Я + ~~~~~ с Р>„Р>>Я (1-Я система), г>Р> а (О >~а — = — с,Рг,Я+с, ~~р»Р>аЯ .
(2-я система) ЛРы (~) ,>Фа (1, /. й = О, 1, 2, ..., дв) при начальных условиях Ры(О) =бы. Вероятности Рл(>) нахождения системы в состоянии фа в момент времеми Г определяются системой уравнений "'„"," = — са(>) Ра(Г)+ „"~~ с> () Р,е(.) Р, Я >фь Ц, А=О, 1. 2,..., лг) при соответствуюших начальных условиях для Р>Я. Если начальное состояние ф> задано, то начальными условиями булут Р,(>)-б>а при 1=О. Лля однородных марковских процессов последняя система уравнений принимает вид. аРд(О л> = саРа(г) + 7д е>р>аР> Я >фФ (,>', А =О, 1, 2, ..., лг) и начальные условия будут Рл (Г) = б>а при Если для однородного марковского процесса существует такой пРомежУток вРемени У > О, что Ргл(г) > О дла всех 1 и Й, то процесс называется транзнтивным и для него существует не зависящий от номера исходного состоян>и предел ИюРьь(т) = ИшРв (т)=рю с-э о г.ьсю Х~редельиые,вероятности р» в ртом случае находится,мз системы алгебраических урзвнений сара Х с,ргаР~ 0 " О ) ч* ° °" лг).
у зьь Уравнения'для вероятностей Ргв(У. т) и Р,(1) могут быть получены или путем применения общих формул, приведенных выше, или путем нахождения изменения вероятностей различных состояний систеиы за малый интервал времени Лг н перехода к пределу при бг -ь О. Примером процесса Маркова является простейший поток событий, обладающий следующими свойствами: стационарностью — при любом Ы > О и целом л )~0 вероятность того, что за промежуток (г, г+Ы) произойдет А событий, одна н та же для всех С)~О; отсутствием последействия — вероятность наступления А событий за промежуток (г, с+Ьг) не аависит от числа наступлений событий до момента г; ордннарностью— Ию — "=О.
~~, ~М) ю.+О дг где Йз(Ьг) — вероятность наступления не менее двух событий аа промежуток времени Ы. Решение типовых примеров Пример 39.1. Система может находиться в одном из состояний (~ю ф, Я, ..., переходя за время Ы в состояние с номером, на единицу ббльшим, с вероятностью ХЫ+о(йг). Найти вероятности Рга(г) перехода системы из состояния я, в состояпде ща(л )~у) за время г, Р е ш е и и е. По условя!о процесс марковский.... Кроме того, он регулярный, так как 1пп — 1Л пг+ о (М)) = Л = сопя!, 1 а!-~о ог 1 . Л Дт+ о (ог) р!,,+г(1) = —. йп ' ~=1, с! а!+о остальные р,»=0. »".ледовательно, применимы уравнения для регулярного однородного марковского процесса йРн (!) —.=-Л и(1), е! — = — ЛР,„(1)+ ЛР... (Г) (й > 1+ 1) «Р;» О) при' йачальиых условняя Рш(0)=Ь,».
Умножая або частя полученных уравнений нв и" и суммируя по й от 1 до со, получим — ~'— ~. Л(и — 1)0(1. и), где 0(г, и)=,~~ Р, (г) и», Решение последнего уравнения имеет вид '1п0(1. и) Л(и — 1)1+1п0(0, и). Так как по определе»!и!о 0(0, и) = ~ Ри, (О) и» = и', 0(М: и)=ив»Ш-'!! =и!е а»лг — и»ь= ,~-~ (Л!)и 24 а! " (Ле)а-! = е-ы —. и». (» — 1)! Сравнивая последнее выражение с .определением С(1, и); получим Ра(') = (а' 7)т е- (М)» Исходная система дифференциальных уравнений для Ры Щ может быть получена и иначе: вероятность Рга(С+А|) равна сумме вероятности Р,а(С)(1 — ХМ вЂ” о(ЬЕ)1 того. что переход из состояния ф в состояние Яе(л > 1) произошел за время г, и вероятности Р, а,(С)[ХМ+о(М)) того, что этот переход совершен в интервале времени (г, г +Ас), т. е.
Ры(С+ Ю =Рш(С)11 — А АС вЂ” о(АС)1.+ +Рва,Я() ЬС+.п(Е1)1. Перенося Р,аЩ в левую часть равенства. деля обе части равенства на Аг и переходя к пределу при Лг-ьб, получим искомое уравнение. Так же выводится уравнение и при и =Х. Аналогично решается задача 39.6. П р и и е р 39.2. Система массового обслуживания состоит из большого (практическн бесконечного) числа однотипных приборов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону.
т. е. имеющее плотность вероятности ре-я'. В систему поступает простейший поток требований с параметром Х. Определиты а) вероятность Р„(С) того, что в момент Г в системе ровно и приборов будут заняты обслуживанием (и ( гв), если в начальный момент все приборы были свободны; б) предельные вероятности Р„= ВшР„(С); !.+оэ в) математическое ожидание числа занятых приборов в момент г. Р е ш е н и е. Так как поток требований простейший.
а время обслуживания подчиняется показательному закону распределения, то за промежуток времени (г, С+ Ы) система может претерпеть более одного изменения только с вероятностями высшего порядка малости относительно Лг. ~ Поэтому, учитывая только однократные изменения состояния системы за промежуток времени Ы, получим: Р„„+~(С С.+АС)=ХЛС(1 — ярМ)+о(ЛС)=ХАМ+ о(АГ) Р„,, (С Ф+ ЬЕ) =(1 — Ъ.М~арЫ+ о(Ы) = пиМ.+ о (АС) Р„,„(С, С+ ЬС) =(1 — ХАС)(1 — Пр М>+ О(Лг) = = 1 — ().+ ар) Ы,+ о(Ы) ° Система регулярна. так как = Х+ п)ь = сопз1, 1- Р„,„(да+ба) ы-+о Р~, ее~ (й Г+ дт) Х ,в, = — 1!и ""+ г„д аг р„~.д ~ юь а-1(д 1+М лн Рз, е-з = св ., аг а) Подставляем найденные значения с„, р„„, и,ок з в систему дифференциальных уравнений для Р, (г) = — () +нр)Р,(1)+ЭР,,(Г)+(н-+ 1) рР„+,(т), если п,ь 1, и 3Р (1) + рР~(г).
Если считать. что в начальный момент с=О все приборы были свободны, то начальные условия будут Р„(О) = Ь„е. Полученную систему решаем с помощью производящей функции (У(1. и)= ч" Р„ти". в=е Умножая обе части дифференциальных уравнений системы на и" и суммируя нх, получим после простых преобразований дФ ( )1 (' )+1 ди Начальные условия: 0(0, и) =1. Полученное линейное неоднородное дифференциальное Уравнение в частных производных заменяем эквивалентным однородным' ) дь" др дУ вЂ” — р (1 — -и) — „— )ь(4-~) 0 — = 0 дг аи д0 ь ° :г-а †.р,г=о.
')н.м.г „,р.и р,р рр а р Раааа в частных производных, ГТТИ. 1934. Для решения последнего необходимо решить. мначала систему обыкновенных дифференциальных уравнений д) ди Ыб 1 н(! — и) Л(1 — и) 0' которая имеет независимые интегралы ! — — !п(1 — и) =с„ 1 И А — и — )п О= сз. и Используя начальные условия с=О. и = из, О = Ое. находим интегралы Коши системы и=) — (! — ) -', Оа —— О ехр ! — (1 — и) (1 — е-вФ) ~. 1 Л н Правые части являются главными решениями однородного дифференциального уравнения в частных производных. На их основе составляем решение задачи Коши для однородного дифференциального уравнения в частных производных Ъ'= О ехр ~ — ' (1 — и) (1 — е-ш) ~ — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
