1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Средние предельные веро' ности перехода 1 Р.„= — )нп Ур()ч)+ р(ач+)Ь = — Ц, й = 1. 2,..., 2е). 2 л >,ь~ Уь Уа У 2е Аналогично решаются задачи 38.26, 38.27. Пример 38.6. При обсуждении основных положений кинетической теории материи Эренфестом была предложенз слечуюп)ая модель: е молекул, распределенных в двух 0 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 — —...0 О гя 1 1 —— лг О 0 0 0 0 ... О 0 0 0 0 ... 1 0 Из любого состояния г!г возвращенце в г;г, возможно лишь за число шагов, кратное двум. Поэтому в данном случае цепь Маркова периодическая с периодом н = 2.
11епь непрнзодимая, так как каждое состояние достижимо из любого другого состояния. Столбец р средних предельных абсолютных вероятностей определяется из условия Ф"р = Р, т. е. 1 - г а — !! - л!1" Рг=ро ~1 „, ) Р«-г+ „, Р«+«=Р« ! Р««=„, Р,— ! (к=1, 2, ..., и — 1). « Отсюда находим Р«=реС . Используя равенство '~; Р«=1, «=о 1 С~ « получаем == «т С =2; поэтому искомые вероятности «=о Р«= 2 С~ (А=О, 1, ..., лг). Аналогично решаются задачи 38.28. 38.29. резервуарах, случайно по одной перемещаются из своего резервуара в другой. Найти средние предельные абсолютные вероятности числа молекул в первом резервуаре. Р е ш е и и е.
Пусть состояние ф заключается в том, что в первом резервуаре 1 молекул (г'=О, 1, ..., ш). Тогда рь,,— — —, рп!+! — — 1 — — (1=0, 1, .... и«). Матрица вероятностей перехода записывается в виде Задачи в 38.Е Показать. что для однородной цепи Маркова вв. роятиости перехода Рф свяааны равенством т Рга+в1 — ~~~~ Р~,а)Р<в~ гг у 38,2. Заданы столбец начальных вероятностей Р (0) =м = ~а; й; у) и матрицы вероятностей перехода для моментов времени 1н аю 1з.
пч пз пз' ! а а, а, Ф'= пз "з аз аз а, оя аз а, аз аз аг а, аз аа а, а, а, аз Определить столбец аосолютных вероятностей р(3). 38.3. По условиям соревнований спортсмен прекращает борьбу при потере двух очков, что может быть при одном проигрыше или при двух ничьих. При каждой встрече спортсмен, не имеющий ничьих, выигрывает с вероятностью а, делает ничью с вероятностью Р и проигрывает с вероятностью 1 — а — 3.
Если ничейный исход был, то вероятность выигрыша в каждой встрече равна у. Определить вероятность потери различного числа очков за и встреч для спортсмена, Результаты предыдущих встреч для которого известны, 38.4. При повышении напряжения в сети электрического тока с вероятностью а выходит из строя блокирующее устройство прибора, а с вероятностью р прекращается ра'бота этого прибора. Если блокирующее устройство вышло мз строя, то последующее повышение напряжения приводит к прекращению работы прибора с вероятностью у, Определить вероятности исправной работы схемы, выхода из строя только блокирующего устройства и прекращения работы .пр"бора после повышения напряжения и раз, если начальное состояние прибора известно.
38.3. В соревнованиях от каз<дой команды выступают по три спортсмена, которые встречаются только со спортсмеиз других команд. По условиям состязаний ничьих не может быть, а проигравший один раз выбывает из соревнований. Пусть а, р и у — вероятности того, что в очеРедном туре соответственно нз одного, двух и трех остав- шихся членов команды никто не проиграет; Ог и у, — вероятности того, что в очередном туре соответственно из двух и из трех оставшихся спортсменов проиграет один, а у— вероятность проигрыша в очередном туре двух из трех участников. Определить вероятности рф (ю', Уг = О, 1, 2, 3) того, что после и очередных туров в дальнейших соревнованиях от команды будут участвовать й спортсменов, если Ио этих туров в соревнованиях участвовали г' членов команды. 38.6.
Автоматическое устройство может работать, если из обшего числа М однотипных элементов вышло из строя не больше т — 1 элементов, которые могут выходить из строя только во время цикла работы устройства. Известны вероятности ры перехода системы за один цикл из состояния ф в состояние Я„, где в качестве номера состояния взято число вышедших из строя элементов. так что прн А (1 ргл — О (А й =О, 1, ..., и), рм =1. Доказать, что вероятности перехода рф за и циклов, в течение которых не производится замена неисправных элементов, при различных веРоЯтностЯх Рь=рлл (1г=О, 1, ..., лг) опРеделЯютсЯ фоР- мулами: ф'~ = р" (й =О 1 лг), .
при 1 й рф=О (1. й=О, 1, .... ш), а при й)1 л чт ( )— ~~,(Р.— Р)(Р;Рг„)" (и,— Р„-~)(Р,— Р»ь ) ". " (Р» — Ра-д(Р» Рл) где Рл ььг Рь г+а Рг г+» " ° Рь «-~ Ргл Рг+г — л Рг+и г+» Рг+ь г+а "° Рг+ь*-~ Рг+ь л О Рг+» — Х Рни г+а " Рг+иа-г Рг+вл Олг (Ч О О "° Рл-ил-г Ра-ь» О О О - Ра-~ — л Рл-ьь 38.7. Доказать. что если в условиях предыдушей задачи Рлл = Р (гг = О, 1, ..., ш — 1), то Р! ю 1 Р(и) ° (й О им при 1>Ф рф=0 (1, 9 =0, 1, ..., ш), а при *>1 (ю-а+1 — 1)1 1 Ла-' (ю «1 1,~да-г А=в где Оа ().) определяется формулой из условия предыдущей задачи при р„= р (в=0, 1, ..., т — 1). 38.8.
Из урны, содержащей Ф шаров белого и черного цвета, одновременно извлекают ш шаров. Извлеченные черные шары возвращают в урну, а белые заменяют на черные. Всего белых шаров в урне было и, а после нескольких извлечений осталось 1. Определить вероятности рф (й л= ='О, 1 ..., т) того, что после дополнительных и извлечений в урне останется и белых шаров. Рассчитать этн вероятности при Лг=б, т= 3. 38.9.
Прн данной серии выстрелов каждый стрелок группы с равной вероятностью получает любое количество очков от Ж+ 1 до М+ ш. Определить вероятность того, что среди следующих п стрелков из этой группы хотя бы один стрелок получит М+ и очков, если наибольшее число очков, полученных предыдущими стрелками, равно' И+1 (/г)~1= 1, 2, ..., лг). 38.10. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал 1 между центрами расположены вертикально одинаковые цилиндры с радиусом основания г. Перпендикулярно этой линии бросаются шары радиуса )с, причем пересечение ~инин движения шара с прямой АВ равновозможно в любой части участка длины Е, на котором стоят т цилиндров. Расстояние между центрамн цилиндров 1> 2 (г+)г); каждое столкновение шара с цилиндром приводит к уменьшению "исаа цилиндров на один.
Определить вероятности рф (1, и = 1, ..., т) того, что после очередных а бросков останется в цилиндров, если до этого пх было б 38.11. В области О, разделенной на т равновеликих частей, последовательно ставятся точки, положение каждой нз которых равновозможно в любом месте области й. Определить вероятности р1ю (д А = 1, 2, ...; гл) того, что после га постановки новой серии из и точек число частей области О, в которых имеется хотя бы одна точка, увеличится с 1 до й, 38.12. В моменты тн 1з, сз, ... судно монгет изменять направление движения, выбирая один из т курсов: Я„ Вероятность ры того, что в момент 1, судно изменит курс !е! на Яр равна р!! — — а !+1+!, причем а„„а =аз + О (й 1.
2...,. т), ~~.", а„ = 1. Определить в=1 вероятность р<Гь! того, что прн Ф„ ( 1 ( 1„„! направление движения судна будет 1;>ю если начальное направление было 1,!1 (У, й = 1, 2, ..., и). Найти эту вероятность при и= со. 38.13, Рассмотреть следующую схему процесса диффузии при наличии центральной силы. Частица может находиться только на отрезке АВ в точках с коордннатамн хл —— хл+ И (А=О, 1, .... т), где х =хв, перемешаясь скачками в соседнкно точку, причем по направлению к точке А из х! с вероятностью //гп, л по направлению к точке  — с вероятностью 1 — —. Определить вероятности р!лв! (О я = т ' и = О, 1, ..., и) того, что после и скачков частица будет в точке жю если вначале она была в точке х!. 38.14. Условия задачи такие же.
как в примере 38.2. но автомат не выключается. В тех случаях, когда в приемнике нет пятикопеечных монет, а поступает монета достоинством в !О коп., или имеется т пятикопеечных монет и поступает пятикопеечная монета, автомат возвращает последнюю поступившую монету, не выдавая билет. Опрелелить вероятности р!лв! (1, я=О. 1, ..., т) того. что после и требований билета в приемнике будет 1г монет по б коп., если вначале их там было б 38.15. Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишени, причем после каждого попадания стреляет А.
а после каждого промаха стреляет В. Право первого выстрела стрелкам предоставляется на тех же условиях по результату предварительного выстрела. который производит наудачу выбранный стрелок. Определить вероятность поражения мишени п-м выстрелом независимо от предылуших попаданий, если вероятности поражения мишени при каждом выстреле для этих стрелков рзвны соответственно а и р.
38.18. Дана матрица д'='1Р, 1 вероятностей перехода, которая непринолима, непериолическая и лважды стохастическая, т. е. суммы элементов каждого столбца и каждой строки равны елинице. Определить прелельные вероят* ности Р<. ' 0= 1, 2... „гл). 1 38.17. лг белых и лг черных шаров перемешаны и поровну распределены между двумя урнамн. Из каждой урны наудачу извлекается один щар и перекладывается в другую урну. Найти вероятности рффи (й л = О, 1...., гп) того, что после бесконечного числа таких обменов в первой урне окажется Ф белых шаров, если вначале там было ! белых шаров. 38.18. Отрезок АВ разделен на и равных интервалов. Частица может находиться только в серединах интервалов, перемешаясь скачками на величину интервала по направлению к точке В с вероятностью Р, а по направлению к точке А— с вероятностью д=1 — Р.
В крайних точках отрезка АВ имеются отражающие экраны, которые при достижении частицей точки А и В возвращают ее в исходное положение. Определить предельные абсолютные вероятности Р' ~ '(л = =1, 2, ..., т) нахождения частицы в каждом интервале. 38.!9. Даны следующие вероятности перехода для цепи Маркова с бесконечным числом состояний: ! Р = —, Р ье = — 11=!. 2 ...). н !! ! 1 се1 !+! Определить предельные вероятности Р Ц=1, 2, ...), 38,20, Вероятности перехода для цепи Маркова с бесконечным числом состоЯний опРелелаютса Равенствами Рн —— и, Рь ~~ =Р=1 — д 11=1, 2, ...).
Определить предельные вероятности Р( 0 11=1, 2....). 38.2!. Цепь Маркова с бесконечным числом состояний имеет слелующие вероятности перехода: 2 ' Р!т 2 Рп Т Рь~+~ ' ! ' ' '*')' Опрелелить предельные вероятности рф>(1. л =1. 2, ...); 38.22. Случайное блуждание частицы происходит на положительной части оси Ох. Частица, перемешаясь на один шаг гь вправо с вероятностью а, влево с вероятностью р или.оста« лаясь на месте, может находиться только в точках с коорли- натамн х (/= 1, 2, ...). Из точки с координатой х, = Л частица перемещается вправо с вероятностью а или остается на месте с вероятностью 1 — а. Определить предельные вероятности перехода р<„' 1 ()а = 1, 2,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
