1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Составить уравнения Колмогорова для мйогомерпого марковского процесса, компоненты которого У,(г), Ут(г), ..., У„(г) удовлетворяют системе днфференцизльных уравнений — =фа(г. Уп .., У„)+с е (г), / — П о.. л Фу! (г) ,где ф~ — заданные непрерывные функции, сЛ вЂ” заданные' по'стоянные. а $Г(Г) — независимые случайные функции. обладающие свойством «белого шума», т. е. ~ (Г) =О, К (т) =б(т). Р е ш е н н е, Для составления уравнений Колмогорова достаточно определить коэффициенты а~ и б,,~ этих уравнений.
Обозначая ординату случайной функции У~(Г) в момент времени 1 через Х~, а ординату ее в момент времени т через )'г, после интегрирования исходных уравнений получим т Т ),— Х,=~ ф,(ун У;((,)...„,У„(т,)1 тг,+с,.~;,.(г,)д,; е Считая разность т — г' малой, с точностью до величин второго порядка малости, в первом интеграле ф можно вынестн из-под лизка интеграла, положивши, =г, У, = Хп Уа — Х„... , У„=Х„. что дает -)г — Х = р (т, Хн ..., Х„Н вЂ” т)+с~ ~В(6,) и ° с т. е. , =ф,(т, Хм ..., Х„)+ —,,/ и~,)Л,.
Полагая случайные величины Хп ..., Х„равными хп ° .. '..' л„, находя математическое ожидание последнего равенства и переходя к пределу при т-ь г. получим а~(т. хп ..., х„) =ф~(4, хм ..., х„). Перемножив выражения для (уу — Х~) и ()'« — Х,) и находя математическое ожидание полученного произведения, получим М [()'т — Х ) (1', — Х,) [ хм..., х„[ = =ф (г. хп..., х„)ф«(г', хп ..., х„)(т — «)'[- т +сус«1 ~ Ыт 81)Л««т = ф,(ю. х,,..., х,) ф«(г. хм..., х„)( — т) + с,с,(т — т), что после деленпя на (т — г) и церехода и пределу дает Ь««(г, хп,... х„)=с«с~ П р и и е р 40.2.
Дано первое уравнение Колмогорова для условной плотности вероятности у(г) хп ха; т, уп уз) нормального марковского процессш — + хя — — (лтх«+ 2йх ) — + — оа —, = О. дг д~' дг" 1 д«У дт дх«дх«2 дх~« Определить систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют компоненты процесса У,(Г) и У,(Г). Решение. В соответствии с принятыми обозначениями для коэффициентов уравнений Колмогорова пмеем а« = х,. а, = — й'х« — 2лх,. Ь«« — Ьж — О, Ь„= па.
Искомая система дифференциальных уравнений имеет вид' — '=ф (Г. Уп У)+ ~я~ д, (т, Уп У)$ (Г). 1=1, 2, аи« «й н=« где $ (1) — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В соответствии с обшей формулой. приведенной во вводной части параграфа, имеем ам+а'„=О а й,+а,аж=0 ~«я+й'ж= о ф« = пг г Следовательно, ; д'ыя у«з — — О, лззинп«фг«««пха,ф«з= .«гга~~, 2йхя, а искомая система уравнений имеет вид — = Уз((), дУ~ (Ф) аг ~~',~~~ = — (йзУ (6+2йУ (())+о~ (г). Исключая из второго уравнения У,(г). получим для У,(1) уравнение второго порядка — +2й — „( йзУ о~У) аУ, лУ, дР Пример 40.3.
Нормальный стационарный процесс УЩ имеет спектральную плотность ~р (гн) р 8,(гз) = где Р (х) = Ррх'".+~Зги -г + ... ( () , Я„(х) = х" + а,х" 1+ ... 4- ц, и ~ щ. а а,. и р~ — известные постоянные. Рассматривая У(Р) как 'компоненту многомерного марковского процесса, определить коэффициенты уравнений Колмогорова для этого процесса. Р е ш е ни е. Стационарная нормальная случайная функция с дробно-рациональной спектральной плотностью является решением линейного дифференциального уравнения, содержашсго в правой части «белый шум».
В данном случае уравнение имеет вид — -~-~,—,-~-...~-с~„У=Р— +13~ —,+ ° ° ° +Р Ь Перейдем от уравнении и-го порядка, содержащего в правой ~асти производные от функции г (Г), к системе уравнений первого порядка, не содержащих в правых частях равенств производных от ~(г). Обозначив у(у) = У,(1), введем новые переменные, определяемые равенствами: У,=У',, У,=У,, ..., У„=У„ У =У и-т+1 и-т Ся-и ь' я-щ+2 я щ+! Са м+1Ь Ул Ул-1 са-1ь где с~ цбка произвольные постоянные. Выписанные равенства 362 1гл.
чыт маяковские ппоцсссы дают систему и — 1 уравнений первого порядка. Лля получения последнего (и-го) уравнения в нсхошюм дифференциальном уравнении и-го порядка необходимо все производные от (т' выразить через (Гт и их первые производные. Выполнив эти преобразования, получим — „" +а,уп+ ...
+а,(у,+е„"'пп+ + (еп-тп 1+агсп-и) + (Еп-тыл+а!сп — т+1+ +а,е„„)~~~-ю+ ... +(еп-1+а1еп,+азеп-з+ . + +а,еп ) ь'+(а,еп,+атея,+... +атея ) а= неь +('гй + ' ' ' +нт-1й +кто' Определяя коэффициенты е так, чтобы нз уравнения исчезли производные от $ (т), получим реку ррентные соотношения С-1 е,=бг+т и — У~ а,,ер 1=и — и,..., и — 1, 3 и-т что для последнего уравнения системы дает п-г дГГп+а(пп+ ... +ап(у,=спь, Еп=й — ~~~~ ап,с, Так как компоненты и-мерного процесса удовлетворяют системе уравнений первого порядка, в правых частях которых стоит «белый шум», то процесс является н-мерным марковским процессом. Определение козффициептов уравнений Колмогорова производится так >ке, как в примере 40.1. П р им е р 40.4. Условная плотность вероятности у (Е геп хт' т ун уа) двч мерного случайного процесса (у,(г), (уа(т) удовлетворяет уравнению дУ д — — — ЮФ вЂ” — (аМ) — — —, Ф 'и'1+ Ы)— дт ду! ду, 2 дуг 1 дп а — — — (а 'г' 1+ у1 у) = О, 2 ду где а и б — постоянные.
Определить систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции у,(Е) и уз(1). Р е ш е н н е. Заданное уравнение является вторым уравнением Колмогорова, следовательно, процесс является двумерным марковским процессом. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ЗбЗ 4 га! Коэффнциен!'ы уравнения имеют значения ? а,= — бг!г, аг= — иун ьц=РУ1+уг !ггг = и ! 1-+ у!, Ьп = О.
/',г Искомая система уравнений имеет вид †„ ' = Ф, (Г, (!Р (.га) г- )) д,. (К ин (уа),. (1), и=! -~~а= Ы, (ун (),)+Удив(г, ин и,д (г), и ! где -,(й и с,(Π— пекоррелированные случайные функции типа «белого шума» с единичной дисперсией, Согласно обшей теории, для определения К!и имеем систему алгебраических уравнений К', -+КЬ= — !" 1 1-+)'..'; б, +Г„'=-и уг)-!-)';, д„д!е + л'„д„= 0. Отсюда находим Кч,=-! !„=-1'"!!!' +Д.,„=Р ьгЧ~!! ф! — — — руе, фг = — иуР Следователшш, искомая система имеет вид — а!' + 6(1, = — ~г6 ~'1+ ().", Ею (г) "~'+ии,.=~ иУ1+и, ~ь(1).
Пример 40.5. Определить асимметрию Бк и эксцесс Ех ординаты случайной функции г. (Г), определяемой равенством — + !!!2 (г) = ьа(г), ггг. (1> а'г если ь(г) — нормальная случайная функция. ь=б, Кс(т),= =оае-Ш'1, а переходный процесс предполагается закончившимся (ср. с задачей 35.29). р е ш е и и е, Так как спектральная плотность оо! 1 ~1 (ю) = — „„а+,, мхвковсхив пгоцсссы (гл. шц 364 является дробно-рациональной функцией частоты, то ((р) удовлетворяет уравнению —.+ в".
= о [р- — '- (р). дь / в дг = 1' где «(Р) — «белый шум» с нулевым математическим ожида- нием и единичной дисперсией. Поэтому, введя в рассмотрение двумерный случайный процесс с компонентами (р,(р) =Е(р), ср (р) =((р), для условной плотности вероятности у(р, хн х«; т, ун уе) этого процесса получим второе уравне- ние Колмогорова в след)чешем виде: — + —.
[(у.; — Рр-у,) р1 — а — (уз р') — о — „= О, д д д'-'У дт ду~ ду« ду.' Для установившегося режима у(р, хн х«; т, ун уе) =у'(уг у,) и уравнение Колмогорова примет вид — [(уз — Рр у,) (] — а — (У,У) — ао- — „= О. д « « д е д'У ду ду. ду., По условшо задачи необходимо определить начальные мо- менты ирр орлинаты функции Г, (т) до четвертого вклю ш- тельно. Искомые моменты связаны с двумерной плотностью вероятности у (ун уе) соотношением % ОЭ [ У[.г(У« У«) рру~ ррут=- ] Хр(уз) рру« где обозначено Ур(У«) = ] У»Р (Ур У«)«РУ~ Умножив обе части уравнения Колмогорова на у', интегрируя н полученный результат по ур в бесконечных пределах и учи- тывая, что ,1 У[Ы(-'.е —" Ш МРУ =- ОО ОЭ = ур[у«« вЂ” а«у,]у[у, у,]] -р ~ ур ~(у«-агу,трр«рун уа) ',-= = Ре Рйр(у«) Рузхр 1(уг) напякпывныа марковские пяоцкссы Збб получим рекуррентное соотношение между К,(уг) и Х,,(уг): ао2 —:+а — ту Х) — «ЧХ = — (утХ ~,2 л 1 г 1) 1 '2 1-1' Уг Уг умножая обе части последнего равенства последовательно на 1, у';, уг и уб после интегрирования по частям и отбрасывания обращающихся в нуль внеинтегральных членов получим ряд равенств: 1 7' УгХ1 1(уг)г(уг, 2 2 лггег = «2(«гг ( 2о) '1 ! УгХ1 1(уг)с2уг 1 2по лгг 1+1 б 1+г «'(«Ч+4а) [(1+1) «г (-2а) 1 7 УгХ1-1(уг) )г+ 2аог (6«2 + 7«Ч+ 4о) + 1 1 глгч1 ° (1 + 1)(1 + 2) «'(«Ч+ба) («Ч+ «2+4а) [«' (1+2) +2а) )' со )~ ~1 [ УгХ,, (у,) (У, + 2аа [(1З«2+7«Ч+ 4а) («2Ь+ба) -(-16«2 («Ч [ «2( 2а) (1+2)) вЧ (1+1) (1+2) 60р'ар — -)+ [- ~1+1 ~.
Положив в этих равенствах 1=1, поручни возможность выразить четыре начальных момента через ур(уг). Вследствие нормальности функции )'2(т) = гь(т) СО У х (уг) = / У(у~ у) луг=У(уг) ==. р 212 1гл. щм млвковскив паоцвссы Следовательно, все интегралы, входящие в предыдущие раве!гства, вычисляются, и мы получим ответ, совпадающий с ответом залачн 35.29, решенной более сложным образом. П р и м е р 40.6. Определить условную плотность вероятности Г"(Г, хн ..., х„; т, уц ..., у„) многомерного марковского процесса, если во втором уразнецин Колмогорова коэффициенты л, = сопя!.
коэффициенты а, — линейные функции у>! л а,=а!.+~.",аоур г, у'=1, 2, ..., а, т=! а область изменения у! есть ( — со, со). Р е ш е и и е. В соответствии с условием задачи регию!пе уравнения должно быть найдено прн начальном условии у= ДЬ(у! — х,) прн т=1 !"! и прн условии, что функция г' обращается в нуль прн 1уг~ — > оо, а ) ... / у'с(у!... г(у„=1 ддя любого т. Переходим от плотности вероятности г систез!ы случайных величин Ги Уа, ..., У„к характеристической функции Для этого умножаем обе части второго уравнения Колмогорова на ехр 1 ~ лгу! н интегрируем по уп ум ..., у„в бес!=! конечных пределах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
