1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 48
Текст из файла (страница 48)
39.16. Электрическая линия обслуживает лг однотипных машан, кавшая на которых независимо от других может нуждаться в электроэнергии. Вероятность того, что в промежутке времени (г. 1+ 31) машина прекратит использование электроэнергии, равнз р стг+ о(Лг), а вероятность того. чтомашине потребуется энергия в том же промежутке времени. равна ХМ+ о (сгг). Определить предельнучо вероятность того„ что к линии будет подключено л машин. 39.17. Ливень космических частиц вызван попаданием в начальный момент времени в атмосферу одной частицы. Определить вероятность того, что спустя время 1 будет в частиц, если каждая частица в промежутке времени (1, 1+СъГ) с вероятностью 13 с1г.+о(бс)1 может вызвать возникновение новой частицы, нмеюшей практически ту же самую вероят-.
ность размножения. 39.18. Ливень космических частиц вызван попаданием в начальный момент времени в атмосферу одной частицы., Определить вероятность того, что в момент времени 1 будет н частиц, если каждая частица в промежутке времени (1, г+ог) с вероятностью [Х Ы+ о(Ы)1 может вызвать возникновение новой чзстнцы и с вероятностью (1ьЖ+о(М)1 может исчезнуть.
39,19. В неоднородном процессе чистого размножения (размножение без гибели) а частиц в момент С могут превратиться либо в а-+ 1 частиц в промежутке (1. г+ М) с вероятностью ),„(1)Л1+о(Л1), где Ха(1)= 1 1+ аа 1+аг' ' либо оставаться в неизменном количестве. Определить ве роятиость того, что в момент г будет ровно а частиц, 9 40. Непрерывные марковские процессы Основные формулы Непрерывный случайный процесс (г(О называется марковСким, если функция распределения г''(а„'1ап .... а„1) ордийаты процесса (,г(г) в момент ~„, вычисленная при условии, что значения ординат процесса ин иь ., „и„г в моменты времени Рн 1м ..., С„~ заданы (11 а га С...
С 1» 1 Е„), зависит только от значения последней ординаты. т. е. Иаа)ан ° ' а„1) = Г(аа'1а -г). УСЛОВНаЯ ПЛОтНОСтЬ ВЕРОЯтНОСтн Г"(аа1и„ 1) ЯВЛЯЕТСЯ ФУНК- цией г (С, х; т, у) четырех переменных, где для краткости обозначено: у(г)=Х, (.г(т)=у, с~(т. Функция г" (~, х; т. у) удовлетворяет системе уравнений Кол- могорова 1) дг" 1 даг д +а(е, х) — + — Ь(С. х) —,=0 (1-е уравнение), ~ + д [а (г, у) Я вЂ”. — —, (Ь(т, у) г1 =0 (2-е уравнение), , ') ~ ~ а к р , ь ю ' |р Фоккера — Планка нлн фоккера — Планка — Колмогорова. поскольку до его строгого вывода А.
Н. Колмогоровым оно встречалось ранее в Рабатах фнзиков-, функция у (1, х1 т, у) обладает общими свойствами плотности ' вероятности: у'(1, х; т, у))~0, ~~(1, л; т, у)Фу=1 Ф и удовлетворяет начаиьноиу условию у(Г. л1 т, у) =Ь(у — л). при т=г. Если область изменения Ординат случайной функции огра» пичема: а 4У(1) ~4Р, то кроме укззанных выше условий должны быть выполнены еще граничные условия дая функции 0(т, у)=а(т, у)У вЂ” —,— Р(т, у)У), 1 д 2 ду которую можно рассматривать как «поток вероятностиэ1 0(т, а)= 0 (т, р) =О для любого т.
Совокупность и случайных функций У, (1), ..., У„(О является марковским процессом, если плотность вероятности у (функцня распределения) для ординат Ун 1'..... 'г'„этих функций в момент времени т, вычисленная при условии, что в момент времени 1 ординаты случайных функций имели значения Хн Хм .... Х„. ие зависит от значений ординат случайных функций У,(с), ..., У„(1) для моментов времени. предшествующих 1. В этом случае функция у удовлетворяет системе многомерных уравнений Колмогорова л д/ Д + лтл а (/, хи хэ, ..., х„) — + 4Ч х/ с'=1 — Ь/!(/, х,. ха, ..., х„) я — — — — — О (1-е уравнение), '/,с=с, л дУ [- ~~1 — [а/(т.
у,, ул)Г)— / 1 л 1 тч д' — — 7 — [Ь/! (с, уп..., у„) / ) = 0 (2-е уравнение). 2 А ду/ду! /,!=! где коэффициенты а/ и Ь/ определяются равенствами ' «/(/. хн ..., хл)= 1 1пп М [() / Х/)[Х! хп Хл х ) Ь/!(/, х„..., х„)= ' = )сш „— М [(1'/ — Х/)(у! — Хс)[Хс =хи .. „Х, =х„), е-» С" а начальными условиями будут т=/, /(С, хп .... х„; т, ун ..., у)= =Ь(у, — х,)б(у! — х )... Б(у„— х„). Если дано дифференциальное уравнение для компонент марковского йроцесса (/с(/), (/т(/), ..., (/„(/), то для опре- деления коэффициентов а и Ь,, (а и Ь вЂ” в линейном случае) нужно вычислить отношение приращений ординат случайных функций [//(/) эа малый интервал времени к (т — /), найти 'условные математические ожидания этих приращений и их проиаведеннй и перейти к пределу при т-»/.
Всякому многомерному уравнению Колмогорова соответст. вует система дифференциальных уравнений для компонент процесса д// Л вЂ” дУ'-=ф!(/, (/, „, [/„).+ '~ й,.(/, ип ..., (/„Д.(/). сл=! !л 1,2,...,«, где $ (г) — взаимно независимые случайные функции с независимыми ординатами («белый шум»), корреляционные функции которых К (т)=Ь(т), а функции ф и р) олнозначно определяются системой уравнений Для решения уравнений Колмогорова могут быть использованы общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа (ель, например, (24)).
Когда аг и Ььч являются линейными функциями ординат У~(1), решение может быть получено, если от плот,ности вероятности у'(1, хн .... х„; т, уы ..., у„) перейти к характеристической функции Е(гм ..., л„)= Р(а(хгУ~+ +» У )1 Х Х У(г, хн ...,х„; т, у,, ..., «„) пу,...пу„, для которой имеет место линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, решаемое общими метолами (см., например, Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934). В том случае, когда коэффициенты ап дг не зависят от Ф, имеет смысл задача нахождении стационарных решений уравнений Колмогорова. Для отыскания стационарного решения второго уравнения Колмогорова нужно положить — = 0 ду дт и искать решение полученного уравнения з виде функции только ум ум ..., у„. В частном случае одномерного марковского процесса решение получается в квадратурах.
Любой стационарный нормальный процесс, обладающий дробно-рациональной спектральной плотностью, можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса. Вероятность )р'(Т) того, что ордината одномерного марковского процесса в течение времени Т =т — г после момента времени Р, для которого задана плотность вероятности ординат случайной функции Дз(х), ни разу не выйлет за пределы интервала (а, р), определяется равенством %'(Т)= ~ еа(т, у)г~у, т=8+Т,. а где плотность вероятности чв(т, у) является решением второго уравнения Колмогорова при условиях: тв(т у)=Уз(у) прн.т=Фг, тв(т, а)=ге(т, б)=О црн т>Ф.
3 частном случае, когда начальное значение ординаты задано. уз(у) =б(у — х). Плотность вероятности у (Т) времени цребывания случайной функции в интервале (а, б) определяется равенством У(Т) —, и'у, Т = т — г. где(т, у) . а Среднее время пребывания Т случайной функции в интервале '(а, р) связано с тв(тг у) .
соотношением Т = ~ у(г(Т) г)Т. о При ачьсо, ()=со последние формулы дашт: вероятность ак'(Т) пребывания случайной функции выше заданного уровня а, плотность вероятности Г" (Т) времени выброса и среднее времн выброса Т. Среднее число выбросов за уровень а в единицу времени для одномерного марковского процесса равно бесконечности, однако сРеднее число выбРосов в елиннцУ вРемени п(та) Лла .выбросов. длительность которых больше те ) О, конечно и лля стационарного процесса определяется формулой СО п(тз) = у (а) ~ (те у) гу а гле У(а) — плотность вероятности для ординаты процесса, ~затая при аргументе а, п(т, у) — решение второго уравнения Колмогорова для'СЛучайиого процесса при уеловиях: х<,4 о(ае у>=0„ъ>~г,.п(т;.е) ч б(т — г)." что эквивалентно решению уравнения для преобразования тс(р, у) Лапласа — Карсона.
Для. стационарного процесса сд Г) д — 1 — ~- — (до) — ао1 = ро.о= р при у =а, о = 0 при у=со. ду (2 ду Йзображение й(ге) равно 1 д(аа) с и(р) = — — У (и) ( + У (и) и (а). р ду Вероятность )Р (Т) того. что ордината (с',(г). компоненты мноГомерного марковского процесса не,выйдет аа пределы интервала (а. р), если в начальный момент закон распределе- .ния компонент процесса у,(с). уз(т), ..., (Г„(с) известен, определяется равенством со со )Р'(Т)= ) " ) ) тв(т Ур" У.)г(У "лУа-1оУ. Т='г — с, где ев(т, у,...., у„) — плотность вероятности для компоненты процесса попасть к моменту времени т в элемент объема ду,...сгу„прн условии, что за интервал времеви (с, т) орднната СГ,(г) нн разу не вышла за пределы интервала (и, и).
Функция тв(т, у,, у„) является решением второго уравнения, Колмогорова при условиях: ( у " ' у.) = Уе(у " - у.) Ч мс(т, а, у,, ..., у„)=тв(т, р, у,, ..., у,)=О'при г' 1. Плотность вероятности у(Т) времени пребывания компоненты (ут(т) в интервале (и, р) определяется формулой со со у(Т) ~ ~ ~'двс(т, Уа ° ° ' Уа) -со -со а Т= г — Р. 'В последней формуле ег может быть равно — оо илн р равно +со, что будет соответствовать вероятностям пребывания не выше или не ниже заданного уровня. ' решены'е типовых примеров Пример 40.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
