1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 44
Текст из файла (страница 44)
сдачи, если в приемнике имеется хотя бы одна пятикопеечная монета, В противном случае автомат также выключается. Известно, что монеты по 5 коп. и по !О коп. в автомат поступают с вероятностями р и д= 1 — р, Определить вероятности Р',",' (Д й = О, 1, ..., т) того, что после л требований билета в автомате будет й пятикопеечных монет, если их нач чальный запас в автомате был равен д Р е ш е н и е. ПУсть состоЯние Яг означает, что в пРиемнике автомата имеется г' пятикопеечных монет (г'=О, 1..
., лг). При 1 ~(/ ( лг — 1 возможен переход из г,г~ в Я1+т с веРовтностью Р и в (,гг, с веРоитностью (г. ПРн дости- жЕНИИ СОСтОЯНИй !',За НЛИ ()ьп КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ СОСтОЯННЯМИ поглощения, автомат отключается. Позтому рш = 1~ Р = 1> «! гьг=Р Р1 Г г Я 0=1~ 2ю ° ° ° ~ «г !) Матрица вероятностей перехода имеет вид оооо...дор 0000... 001 где Ж вЂ” квадратная матрица порядка л» вЂ” 1, а У н 1»вЂ” столбцы порядка «» — 1; 0 О ООО...ОР |ооо....до причем матрица %' соответствует несущественным состояниям Ц.
Яя ° Я Искомые вероятности являются элементами матрицы '1 О 0 (' » 0 0 1 поэтому рф=1, роо =1, рф1 =О (г=1, 2, ..., л») тп роо. =О (У=О, 1, ..., т — 1). Чтобы определить элементы матрицы )Р'", составим характеристическое уравнение Ь ,= 1 Ц~ — Ф'1 = О. Для определителей такого вида справедливо следующее рекуррентное соотношение; ~1» =)~»-»-рдй»-а 9=2 З " л»- 1) причем Л»=1, Ь» — — Х. Тогда 11 -~=А ~ — С' ардХ ~+С -з(рд)д !! 000 ... 000 ! дОрО ...
000 Одор... 000 оро...оо ~д о р ... о о ~о д о ... о о 1 0 0 =(У %'1» 0 0 1 0 0 0 Последний член получившегося уравнения равен ги-1 и~-1 м-3 2 1) ' (Ро) ' при нечетном ш и (-1) ' — (ро) й )й при четном лй. — 1~ Если произвести подстановку Х = у' Рд 1й+ — то н уравнение Ь й — 0 можно ааписать в виде ~РВ) й 1 — Н' Отсюда слелует, что 1йй=е (к=1, 2,..., лй — 1). Пойм етому характеристические числа будут Хй=2 ~Урд соз— (я= 1. 2, .... т — 1).
Матрица Ж может быть приведена к виду 11т=НУН ~. — ля где У=~ 2 агру соз — б~й~, а Н=()д.й1 — пока неизвестная матрица. Матричное равенство ФН = Нз' эквивалентно следующим урзвнеииям: Р~~з,й — ЛГГй)"й' Ч и З,й Лт-Ь й й' Ф~-ь й+ Р "~йь й = "д й) й (У=2, 3...., ю — 2; 4=1, 2...,. яй — 1).
С точностью до общего множителя решением втой си степы являются элементы й й — 1 — ~ з1п — ' (е, / = 1, /'~~ й И', й/з ~й — ~р~ ю — 1) Поэтому матрица Н=(((~) з1п Обратную матрицу Н ' можно аапнсать в виде Н '=м -! Й й=йСй~ — 1 в1п — '1. Из условия НН =й.
на (ч) 1' ходим г .одни Сй — — (/г = 1, 2, ..., лй — ц. Используя, равенство 1ег'='НЗ"Н '. получаем .т-1 Р!!е1= ~ й!1Л!Ь!а" = 1 ! 1 1 т — 1 — Ра ра 2л1! -1леа-1! -!л-а+!! ъ! /н Гул уан ,~ соз — з1п — з1п— — О! ЛЕ 61 И (1, й = 1, 2, ..., в! — 1). Для определения элементов Р!л! (/=1. 2, ..., т — 1) !о столбца Ул воспользуемся формулой Перрона. Характеристическим многочленом матрицы Ф' будет ~ Ле — еР' ~ = т-1 =(Л вЂ” 1)1 Ц (Л вЂ” Л ). Для алгебраических дополнений А„~(Л) л=! элементов определителя ~ Лев — Ф ~ получаются следующие выражения: т-у-! , А (Л), г(Л 3) Ц ~Л вЂ”.
2 ~у Рр соз — ) Лт1 0=1, 2...., т — 2), .-Цц .. (Л) = р.-'(Л вЂ” 1). Тогда А,',. (П ~ Лллз~ (Л,) Ц(1 — Ла) а=! (Ла — 1)1 Ц (Лл — Е ) Л=-1 т "! рде звездочка означает, что из произведения нужно выбросить 4яножитель прн й=э. Вероятности р!ф (у = 1, 2... „гл — ' 1) вычисляются аналогично. Для их определения можно также воспользоваться равенствами т-1 Рф=1 —,~~~~ р<Я 0=1, 2, ..., нг — 1) Аналогично' решаются задачи 38.11 — 38.14. Приме,р 3813. Препарат облучается потоком' радиоактивных частиц через рванью интервалы времени И, Вероят- ность того, что за время облучения препарат поглотит ат г радиоактивных частиц, определяется формулой р, = — е-», )Саждая радиоактивная частица, содержащаяся в препарате.
ва время между двумя последовательными облучениями может распасться с вероятностью д. Определить предельные вероятности числа частиц в препарате. Р е ш е н н е. Пусть состояние О! означает, что после очередного облучения препарат будет содержать 1 радиоактивных частиц 1!=0, 1, ...). За интервал времени Ьг переход мз состояния О! в Я» произойдет в том случае, если 1 — ч частиц 1ч=О, 1, ..., !) распадутся, а й — ч (й)~ч) будут поглощены препаратом. Вероятности перехода 1!»! р!„= ~~к С!р"д' " — ', е-а 1!' А~О 1, ...) т=а где р = 1 — д, а суммирование производится дб 1.
'если 1~(л, и до й, если» ( 1. В препарате возможно нахождение любого числа частиц. т. е. все состояния системы достижимые. Поэтому цепь Маркова неприводпмая. Так как вероятности рм отличны от пуля, то цепь непериодическая. Рассмотрим систему линейных уравнений ~л.", иьр0 — — и! (/=О. 1, ...). ! о Положим 0Г ) = ч! к,яу. у=о Умножив обе части системы на л!.
просуммировав по 1 от О до оо и применив формулу а — 1 раз. получим 0(л) — еаы-!)О [1 ! (я 1) ~>~ =ея!' !!1!+я!!я+" +тт~ !)011+ 1л — 1) р»3 Отсюда находим а я (е-!! О О> в 01я) ея ы !!011) в т 0(1) 1О Из сравнения двух выражений для 0(г) получаем иу — — е о 0(1), ~, (г'=О, 1, ...). (-;)' Так как ~ )ну~=~0(1)~, а произвольную постоянную О(1) >=о можно взять отличной от нуля и бесконечности, то алгебраическая система имеет ненулевое решение, причем ряд,~~ >и ~ у=о сходится.
Поэтому р> ч могут быть найдены из системы СО Ж р> р) >=р(" > (г'=О, 1, ...) Система для ро '> впало=о яична решенной выше системе для ир следовательно. р>".~=е '> О(1) ~ Ц=О, 1, ...). — (-;)' Так как ~~а~~~ р~' > =!.
то 0(1) = 1, поэтому искомые вероят>=о ности р<'>= о е о Ь)' —. (/=О. 1, ...). Аналогично решаются задачи 38.16 — 38.22. Пример 38.4. Число Х дефектных изделий в каждой независимой выборке объема М из бесконечно большой партии подчиняется биномиальному закону, т. е. Р(Х=>о)= = р =Сор"дн-» (й = О, 1, ..., А>), д= 1 — р. Воли при очередной выборке получено г дефектных изделий, то считается, что по условиям приема партия изменила свое предыдущее состояние О« на О«>., >, причем партия бракуется.
если «+г — 1)~т, н принимается, когда «+г — 1=0. Определить вероятности того, что партия будет принята, если начальное состояние партии по условиям приема Ц=1, 2, ..., т — 1). Решение. Возможны т+1 состояний партии О> (>= = О, 1... „ т).
При достижении состояния Я, партия принимается, а при достижении >~ †бракует. Так как эти два состояния являются состояниями поглощения, то Р =1, Р „= 1. Когда / чь О и / чь лз, Р1,+/ 1 — — Р/ Ц = О, 1..., т-1 .... л! — /). Р! =1 — ~~ р/ (/=1. 2, ..., лз — 1). /=о Матрица вероятностей перехода 1 О О О ... О О О Ро Р1 Рз Рз ° ° ° Рт-2 Р -1 Р1, т О Ро Р! Рз Р -з Р -2 Рз Ро Р1 ° ° ° Рт-о Р -з Рз, т О О О О,.
Р1,. Рз Р2-кт О О О О ... Ро Р1 Рт-з,т , О О О О ... О О 1 Искомые вероятности р Ц= 1, 2...., !и — 1) являются вероятностями перехода из несущественных состояний ф. Яз, ..., Ят 1 В СУЩЕСТВЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЯО И ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ с помощью алгебраической системы т-1 Р,, = Х Р„Р.„+Р., У=1. 2, ".. в! — 1), ч=! которую можно записать.в вгще т-1 (Р1 — 1)Р„+ Х РаРы — Р т-1 Р,Р... + (Р, — 1) Р +. ч'„Р„„,Р„= О О=ге! (г=2. 3, ..., лз — 1). Определитель Л ! зтои системы находится с помощью рвкуррентной формулы Ь /1Р! 1)/~т-г-1 ~' " 1) Р/Ро т-г / 1' .
/ /! /=2 (г = 1. 2, ..., яз — 1), где Л = 1. Искомые вероятности определяются равенствами Л 1 Дп-Г-1 р =( — 1)трет '" ~ ' 0=1, 2, ..., вг — 1), л -» Аналогично решаются залачи 38.23 — 38.25. П р и м е р 38.5. Автомашина используется лая перевозки грузов между 2вг пунктамп. которые расположены на кольцевой трассе, Грузы перевозятся из каждого пункта только в следуюшнй с вероятностью р или в предыдушнй с вероятностью д=1 — р. Определить вероятности р~ф (Г', Ф= у» = 1, 2, ..., 2т) того, что после и перевозок автомашина из г'-го пункта перейдет в к-и. Найти эти вероятности при и-ьоо и вычислить средние предельные вероятности перехода.
Р е ш е н и е. Пусть нахожление автомашины в у-и пункте — состояние Ц (У= 1, 2, ..., 2нг). Вероятности перехода: рй1+ь — — р (/= 1, 2, ..., 2вг — 1), ' рАЛ„,=д . (у=2, 3, ..., 2⻠—.1). Рт»ьг=р рци»=д' Яатрица вероятностей перехода 0 р 0 0 ... 0 0 д д о р о ... о о о 0 д 0 р ... О О О оооо ... о р о 0 О 0 0 ... д О р р о о о ... о д о Введем матрицу и= йЬу»1~ = 'па<1-П~»-Нй порялка 2т, в которой с=в"д . Непосредственным перемножением получаем.
что д'О=Н ~;(ре»-'+де-(»-н)бу»й, поэтому характеристическими числами матрицы»2' будут Х» = ре» '+ +де-(»-О (8 =1, 2, ..., 2нг). Наибольшие по абсолютной величине характеристические числа Х„ = 1 и Х +, — — — 1 простые, поэтому цепь пернолн- ческая с периодом и= 2 Обратная матрица Н ' =1/)(/„))~ 2Ф ))е-(у-))(а-пц. Из равенства /Р'"=НЗН ', где /"='1)ьаЬ/а~ находим зш р(ч) — ' у [ре(» -4) ~ )/е-(» -1))» е(»-1)(/-а) 1 чч /л 2е 2» что можно написать в виде р(ч) — [1 ~ ( 1)ч+/-~1~~~~~(ре»-) ~ пе-(» н)ч ~»-))(У-а) / 2е »-1 У, /) = 1, 2, ..., 2е). В сумме все слагаемые. кроме первого.
по модулю меньше единицы, поэтому при и-ьоо /у'а, 2е ~ +~ Отсюда следует. что — если /+и — четное число, .1)ш /)(зач) — щ ' УФ О, если /+й — нечетное число; д 1[у /)(ел+1) — е .' — если / + Уз — нечетное число, уа .О, если /+А — четное число. Последние равенства можно записать, не используя выраже- ние для р(а), так как цепь неприводнмая, а переход за один /»' шаг из группы С состояний с нечетными нокерами всегда "Рнводит к группе С, состояний с чеп)ыми номерами и на- оборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
