1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 36
Текст из файла (страница 36)
32.22. Случайная функция 6 является вещественной, нормальной и стационарной, 0 = О. Найти корреляционную функцию Х(Г) = ай(Г)+Ь9+сба(Г), где а. Ь, с — вещественные постоянные. 32.23. Возмущающий момент, действующий на ротор ги. роскопического прибора, установленного на корабле, связан с углом крена 6(г) н углом дифферента Ч'(г) корабля соотношением М (г) = абаз (!) + Ь т'(г)+ сд (г) Ч'(г).
Определить корреляционную функцию М(г), если Ке(т) и Ке(т) известны, г?ее(т)==0, а 6(г) и Ч" (г) нормальны. 32.24. Дано К„(т) = е-«'". Опрелелнть корреляционную функцию К„(т), если У (г) = Х (г) + — „ ах (г) 32.25. Дано К (т) =ае-«! «1~!+а!т!+ — аята). 1 Определить корреляционную функцию связи меягду Х(г) Ф'х (г) и —, «г' 32.26. Лана корреляционная функция К„(т).
Определить К„(ти т,), если У(!)=а(г)Х(г)+Ь(г) „,, где а(г) и саХ (Е) Ь(г) — числовые (не случайные) функции. 32.27. Дано у(г)=~ха)аЬ о Существует ли отличная от нуля функция Х($), при которой У(г) является стационарной случайной функцией? 32.28. Является ли функция Е(!) =Х(г)+ У стационарной в широком смысле слова, если Х (Г) — стационарная случайная функция, а !'. а) случайная величина. не связанная с Х (Г); б) У = Х (ге) Р 32,29. Определить дисперсию ошибки У(г) «невозмущае. мойя гироинерционной системы через час после ее включения, если У(1) определяется уравнением — +теУ(г) =Х(г). где т — 1,24 ° 10 сек.
' — частота М. Шулера, а Х(г)— ошибка акселерометра, которую можно считать стационарной нормальной функцией времени, к=0, К (с) =озе-е1т[ а =0,01 —,, а=0.1 сек. М -1 к ' сел' ' 32,30. Угловые отклонения а и [1 свободного гироскопа, используемого в качестве указателя вертикали на качающемся корабле, приближенно определяются системой уравнений Уф — Ни = — 1г, эйп [Ч' (1)[. У~ц+НР=Аезйп ФИ)1, где моменты ипеРцни Ун тю кинетический момент РотоРа Н и коэффициенты сухого трения Й, и нз — постоянные, а угол крена корабля 8(1) и угол дифферента Чг(Р) можно считать стационарными нормальными функциями времени, корреля- ционные функции которых даны.
Определить [) [а(Р)[ и С) [р(1)[, если Ф велико. 1 указание. Ввести новую функцию у(г)==а(г)+ Уд Н Н +=3(1) ч= —, 1т= —, и заменить айп[Чг(Д)[ и рд г,' ада[6(г)[ интегралами, как в примере 32.2. 32.31. Определить дисперсию функции с (Ф), определяе- мой уравнением д (С) + ат [1+ у (С) [ с (г) = Х (1), с (О) = О. где Х(г) и г'(г) — независимые стационарные нормальные функции, математические ожидания которых равны нулю, а корреляционные функции даны.
ф 33. Задачи о выбросах Основные формулы Выбросом случайной функции Х(1) за данный уровень а называется пересечение (снизу вверх) графиком этой функции горизонтальной прямой. отстоящей от оси 1 на расстоянии а. Вероятность гого, что выброс произойдет в бесконечно малом интервале времени ((Г, расположенном вблизи точки Г, равна р (а ~() ((Г; временная плотность вероятности р (а ( Г) выражается через дифференциальный закон распределения у(х. о(Г) ординаты случайной функции Х(Г) и ее производной У(Г)=Х(Г), вычисленный для момента времени Г: р(а ~г) =~у(а, я(~ г)о((о. о Временная плотность вероятности пересечения случайной функцией уровня а сверху вниз о р, (а ~ г) = — ~ у (а. т(] Г) о ((т(.
Для нормальных функций (а-хя о 2 р(а]Г)= — — 'е 2'( "х (а-хя 2 ' .У Кх(х() М,а(а Для нормальных стационарных функций (а-а(а р (а ( г) = р, (а ~ г) = р (а) = — е 1 тая а„ 2и ох '. Среднее число выбросов л, стационарной случайной функции а единицу времени равно р (а). Среднее число выбросов стационарной функции в течение промежутка времени Т равно М =у р (а).
Средняя длительность выброса т, стационарной случайной функции ~ у(л)ел а р (а) где у (х) — плотность вероятности ординат случайной функции. для стационарного нормального процесса ш-уя — яих ~1 ф(л «)~ Аналогичные формулы для нестационарных процессов: У ~ У (л 1 г) ел М си А7 = ~ )'оу (а. о1г)г7тггИ. П а то = г ~ ~ оу (л, о ~ е) ло лг о о о о Решение типовых примеров П р и и е р 33.1. Определить, сколько раз в среднем в течение времени Т=10 мнн.
угол крена корабля 8(У) на качке будет принимать нулевые значения, если 0=0, Ко (т) = ае-од1'11тсоз 0,7т + — и! и 0,71т ~) . 1 7 где т выражено в секундах, 8(7) — нормальная случайная функция. Решение. Среднее число выбросов за нулевой уровень 1 ох 1-à —- р (0) = — —" = — 1' — й (0). 2л о„ 2а К задаче о выбросах сводятся задачи определения среднего числа максимумов случайной функции (выбросы производной за нулевой уровень) и некоторые другие задачи. При малом среднем числе выбросов в течение интервала времени Т вероятность Я непоязлення ни одного выброса за этот промежуток времени может быть приближенно оценена по формуле Я= е ~и, т. е. число выбросов з данном интервале времени приближенно можно считать подчиняющимся аакону Пуассона.
Формулы для среднего числа выбросов и среднего времени выброса обобщаются и иа случайные функции нескольких переменных. )г о Так как й(т) — (ОТг+0,1э) е-з'!'! (соя 0,7т — — з!пО 7~т~), 1 то р (О) = — „~/ 0,50 = О, 1124 сек. '. 2Ж а число выбросов за 10 мин. Дз — — 600 . 0.1124 = 67,5. Искомое число равно 2Ме — — 135. Пример 33.2. Угол крена 9(г) и угол дифферента Ч'(г) — несвязанные нормальные случайные функции.
корреляционные функции которгях заданы формулами Кз (т) = 25е ' "'(сов О,Тт+ 0,1з!п07) т!) град', Кз (т) = 12,5е з' ".' (соз ')г 2 т+ 1О г )Г2 сб и '1/ 2 ) т ~ ) градз, ~ оу(а, и) ао з где о(г)=— ггт (!) Ф для нахождения плотности вероятности 7'(т) необходимо пРоинтегрировать плотность вероятности системы нормальных случайных величин т)(!), Ч'(г) по области т~( у'Ог+грг~( ~(т+гЬ, что легко осуществляется, если от прямоугольных координат О, ф перейти к полярным т = у~ Ог+ ф ф = агс!3 —, Ф 8' где т выражено в секундах, а математические ожидания 0 и ф равны О. Определить среднее время пребывания мачты корабля вне конуса, ось которого вертикальна, а угол, составленный образующей с осью конуса, равен 2', если отклонение мачты от вертикали т можно определять по приближенной формуле т )Я2+ тра Р е ш е н и е.
Отличие от предыдущего примера заключается в том, что исследуемая случайная функция т(Г) не является нормальной. Поэтому необходимо применить общую формулу СО ~ Г" (т) ат ге Выполнив интегрирование. будем иметь е-о,ззт7е (О 01чз), 12,57 2 где 1е(г) — функнии Бесселя первого рода от мнимого аргумента. Для получения у(ч, о) необходимо проинтегрировать плотность вероятности системы взаимно независимых случайных величин !о(г), 6(г), Ч" (г), Ч'(!) по области изменення ее аргументов, для которой выполняются условия о ~< — ~УОз+фг~<о+ деч ч < )УОг+ фг < ч+аъч. Это интегрирование удобней выполнить, если от О, О, $, ф перейтн к переменным интегрирования ч, о = т, ф, ф.
Учитывая опрелелнтель Остроградского — Якоби преобразования. получим гл о» л. е-, " !' / *Р( — '[('" !-~)'Ч+ (в сов ф — тфз!пф)з, (вз!Йф+чфсозф) )1 е — б. В условиях задачи аз=о'.=12,5 града/сект, повтому е в двойной интеграл упрощается и может быть вычислен: У'(т. о) = . е гз ' ге(0,01м~). 62,57 2п Тогда ~ ог (2, о) дф= е з!г!' (О 04) 25 о Полстановка полученного результата и плотности вероятности г'(т) в формулу для т дает г' и ~ е ™и!~ (0,01ч ) ет 2 бе 0 !ге (0,04) Так как в теории функций Бесселя доказывается. что е отг1о(счг)чгЖ= — ! е оЧо(сх)г(х= о ог 2 2 г' Ог — с' о то интеграл, стоящий в числителе. можно представить в виде е-оозчт (0,0)тг) ч г(ч= 3 — / е-одзч7 (О,О)чг) ч с1ч. 23 о г о В последнем интеграле значение аргумента у функции Бесселя при верхнем пределе весьма мало.
Поэтому, пользуясь разложением функции Бесселя в ряд "(а)=1+6)'+(21)г®'+ ++(а1)г(2)"+ ' по.гучим г -о,аье р ) чо ) р,~ч (1 е-о,гг) "1 10~ Ъ 1 4 ' "3 006 о го 1 г' ( -- О,П31) 3 -"" (1+0,0004+ ...) Пример 33.3. Определить среднее число максимумов нормальной случайной функции Х (г), нрвходящееся на единицу времени. если К (т)=аЕ-оГт11СОЭрт+ — З1ир)т~), Х=СОПВ1, Х У Решение. Случайная функция Х(г) имеет максимум.
если ее производная Х(1) имеет выброс за нулевой уровень (сверху вниз), т. е. 1 а- )га2+Рз т =р (а)= — — '= 2н а, 2н е Задачи 33.1, Определить среднюю длительность выброса нормальной случайной функции Х Щ за уровень а = 2 слг, если л= — 8 слг, а Кл(т)=100е-ед~'1(1+0,11т!) сига, где т выражено в секундах. 33.2.
Среднее число выбросов нормальной стационарной случайной функции за уровень а = л в одну секунду равно 0,01. Определить дисперсию скорости изменения этой функции, если дисперсия самой функции равна 64 слгз. 33.3. Корреляционная функция угла крена корабля 9 определяется формулой Кз (г) = Ье-з1'1~сов рт+ — з1п 5 ~ т ~ ) . р Считая процесс качки нормальным, определить. сколько раз в среднем за 20 мин. хода корабля угол крена будет выходить за пределы + 25', если 0 = О, Ь = 100 арада.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
