1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 61
Текст из файла (страница 61)
4 441 спОсОБ Нл4ыщньшик квлдглтов 4.19 В случае равноточнык измерений доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о прп доверитель- ной вероятности и определяется неравенствами у,о < о ( уео, где у, и у, определяются из таб.шцы [19Т[ для закона ут-распределения по входным величинам и и числу степеней свободы 14. Можно для той же цели использовать таб- лицу [18Т[; при зтом т4= т ' )е .з где Хе4 и ут определяются равенствами рхх Х!) 2 ' р(Х ) Хт) 2 при числе степеней свободы я = и — т. Доверительные границы, образующие полосу. которая с любой заданной доверительной вероятностью а содержит график неизвестной истинной зависимости у = Р(х), опре- деляются неравенствами гль,(Х,.) — уп (Х,) С у(Х,) С Оь(Х,.)+уп (Х4), где о-(х ) — оценка дпсперспи величины у, определяемой ух ~) зависимостью у = 1;У,ь(х) (она завнщж оч случайных величнн— оценок коэффициентов а„).
В общем случае вычисление о-'(х) сложно, так как тре- бует знания всех корреляционных моментов а„ь. В случзе ж "г линейной ззщшимости (т = 1) о'- (х) .=.= и'- + о„' хе -'- 2~, „х. Значение у определяется пз таб,шцы [16Т[ для закона распределения Стьюдента по входным величинам и и числу степеней свободы (е =-. и — т. При равноотстоящих значешщх аргут4ег4та хг вычисление аппроксимирующего многочлена можно упростить. нспо.шзуя представление его в виде >ь (~ (.х) =- ~ Ь Р, [х,'.), 450 методы ОБРАБОтки РезультАтОВ нАБл10дГнии )Гл.!х где Р Гх') — ортогональные полиномы Чебышева: ».Л( !) ) ! л' [х' — 1) ... (х' — /+1) ) =Х( 1) ~'~»»! 1 — 1) ...1 — у+~) !.=о лт!и х = и Л= Хапал т по1 ю значениям у; и г», в и+1 опытах требуется найти реше- !чя а» системы нормальных уравнений 1»оно+ 3»!и1+ ... +8»мп = Р» (!е = 0 1 2 ° ° ° !и) де л э») л г!игж '5п !=о Р» =, ! У!гю !=о ()е, у'=О, 1, 2, ..., т); (в=о, 1, 2, ..., щ).
х „. хпи,— папбольшее и наименьшее значения хи л л с» Ъч 5»= —, с»= т у!Р „(х,'.), 5„= т Р', „(х,'), г=о ! о Оценки дисперсий коэффициентов 5» находятся по формуле на ~юи1п »» „„, Я» Значения полиномов Чебышева, умноженные на Р„л (О) лля й=1 —:5, Л=5 —:20, х'=О, 1, ..., л, приведены в таблице 130Т!. Если коэффициенты !)» Вычислены с помощью таблицы (ЗОТ), то при вычислении полиномов Р» л(х') в формуле лля Я„,(х) необходимо также учитывать коэффициент Р» „(0), выбирая ордпнаты этих полииомов пз тех же табтиц или умножая значение полинома, вычисленное по привелен!юй выше формуле, иа Р» л(0).
В ряде случаев аппроксимирующая функция, не являюцаяся многочленом, может быть сведена к нему заменой !оременных. Примеры такой замены приведены в таблице 83. Если у есть функция нескольккх аргументов ги то лля .юлучения линейной аппроксимирующей функции У = Оого+ "1г1+ -1 и лг л $б! СПОСОБ НАИЛУЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Таблица 63 К канону вняу прнвоакеся му» п,п Исяоаная функпвя Бакена перекенпия у = Ае»' у=В : = ад+а,х -= ад+а,и у= ад+пап х=!пу; ао=!пА; аа = » х = !ау; и= 1йх 1 и=— х а, у= ад+ х а, у =- ао+ .д у ад+а,и и хв (~ — оу у — Ае а = 1йу; ао= !ЯА— !д в 2а" + а,х+ аях' а!Ее !яе ад == —.
, 'а —.. — — ау аа ' " 2а' у = ад+ — + а, х у = а,+а,и+ и= .к у = ад+ апк" + л „,хад г .-еп !, „и и =.х» у = ад+ а,и+ -+ аяия + ... » — 7 хи! и хи+и »=а,+а,и Если зиачеиия л»; известиы без ошибок. а измерения у, равиоточиы, то оценки дисперсий коэффициентов и» определяются формулой -г о„= гл!», » о . где ог = ""', а глг» „есть отиошеиие алгебраического и — ш дополиеиия соответствующего диагоиа.тьиого элемента определителя системы иормальиых уравиеиий к самому определителю. При рсгиеиии свстемы без помощи определителей величииы Лг» найдутся как решения втой системы, если в пей р» заменить единицей, а Остальиые р, — нулями. Роль величии к, могут играть .гюбые фуш<ции у»(х) Некоторого аргумента .'х.
Йапример, если функция у, заданная в интервале (О, 2п), аппроксимнруется тригонометрическим многочленом Фк у = ). + „1).» сов ах+)г» гйп ))х), »=1 то при равноотстояшнх значениях аргумента х; оценки коэффициентов ).» и й определяются формулами Бесселя: до= — т,. у; ),»= гт у соз)гх; "о — и+12'-' ° +121 1 г =. о 2 жз р»= — 7 у,з)пlгх, ()с=1, 2, ..., лг), При сложной функциональной зависимости и достаточно малой области изменения аргументов г вычисления упрощаются, если разложить функцию у в ряд по степеням отклонений аргументов от их приближенного значения (например, от их среднего).
Если ошибки имеются и в величинах х,. и в велич1шах уи причем величины х; и у; подчиняются законам нормального распределения, то в случае линейной зависимости у — — ао+ а,х оценка а, есть корень квадратного уравнения г(а, — (п '-1) зе1 —; — ~г-', — (и+1) Я о~о а:,+ а,— »,г, — (и + 1)о, 2 а, — '=О, з о„ а опенка а„ находится по формуле а г~ — а ж и'1 тле о, о — дисперсии отдельных значений т* е к' у и и а = У,х» г„=~ у," (1=1, 2), —.о ' " го х, н уи о,=Д х,у, о=о Из двух корней квадратного уравнения выбираем один, исходя из конкретных условий задачи.
4б2 методы овпхвотки онзтльтлтов нлвлюдянии 1гл, гх 453 спасов наименьших квлдвлтов Решение типовых примеров П р и и е р 44.1. Прв исследовании влияния температуры т на ход хронометра са получены результаты, приведенные в таблице 84. Таблица 84 5.0 19,6 24,4 16,0 29,8 2.60 1,25 2,01 1,08 0,94 1,34 1,06 Считая справедливой зависимость г1 = пе+ и, (1 — Р51 + п, (1 — 15)'-, 1 — 15 15 и иШсм аппроксиыируюгцую функцию у = — ~„-';,'~+ Определяем коэффициенты нормальных уравнений ал и о,, выпошшя вычисления в таблице 85. Получаем: зе =- 7; з, = — 2,254; гз =,3,712; аа = 3,056; а„ = 4,122; ое = 10 28: о„-= 1 2! 51 от =- 5 017 где ге — расчетные значения величины ы, определить оценки коэффициентов пл и оценки средних квадратпческих отклоневий: о — отдельного измерения и о, — коэффициентов ал; установить доверительные интервалы для коэффициентов аь и для среднего квадратического отклонения а, характеризующего точность отдельного измерения, при доверительной вероятности а = 0,90.
Р е ш е и не. Составляем нормальные уравнения лля нахождения коэффициентов а„и Л» „. Для уменьшения значений коэффициентов нормальных уравнений вводим переменную 454 методы овялвоткн яезкльтлтоз нлвлюденпп 1гл. гх Таблица 85 „4 ! ч, ах о =- =а,а61 и З,гав =6,Ь1 = 6,6166 ю 1,2164 о т Система нормальных уравнениИ принимает вид 7ао+2,254а,'+ 3,7!2а'= оа' 2,254ао+ 3,7!2а,'+ 3,05Ба,, '= о,, 3,712ае.+ 3,056а,'+ 4,!22а', = о, Решая эту систему уравнений методом исключения неизвестных и не подставляя числовых значений о„, получим: аз — — 0 2859оа+ 0,098бп1 — 0,33 14 пи а,' = 0,098бо + 0,7248и, — 0,6260от а,' = — О, 33! 4оо — 0,6260т1+ 1,005!от Подставляя зиачення ою найдем: а'=1,404; а,'= — 1,246; а,' = 0,8741.
Величины Я„ь являются коэффициентами при ол в каждом нз полученных равенств для а,'„т. е. Л46 6=0,2869; Л1 1 — — 0,7248; М1 е — — 1,005!. Вычисляем значение 5 „, необходнмое для нахождеюи оценок дисперсии отдельного измерения у1 н дисперсий коэффициентов аю сводя вычисления в таблицу 86. -0,667 — 0,360 0,067 О,ЗО7 0,6277 0,987 1,2ЯВ 0,4449 0,1296 0,0045 0,0942 0,3931 0,9742 1,6718 — 02967 — 0,0467 О, 0003 0,0289 0,2465 0,9615 2Л617 О,!979 0,0168 0,'ОООО 0,0089 О !566 0,9490 2,7949 2,60 2,01 1,34 1,Об 0,94 1,06 1,25 — 1,7342 -0,7236 0,0898 0,3316 0,5894 1,0462 1,6!62 1,1567 0,2605 0',0060 0,1017 0,3695 1,0327 2,0898 СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Таблица 86 8„иа = 0,005223 Получаем Оаоа =-0,005223.
Да,тее находим: о'= — """ =0,001306; о=0,03614; о, =.44о,оо =0,0003746; о =0,0009464; о = 0,0013121 ао аг ат о = 0,01936; о = 0,03076; о = 0,.03623, 'о ' ' а1 Возвращаясь к аргументу г', получим ю = ао+ а, (т — 15)+ аа 11 — 1ог1', а = — = — 0,083061 1 15 ао = а' = 1,404; ао = -ба — — 0.003885, и соответствующие оценки средних квадратических отклонений оа ° 'л' о аг о — О = 0,01936; о = — = 0,001291; аг 15 аз о, = —, = 0,0001610.
а, — 15а— 0 2,2352 1 1,8527 2 1,3207 3 1,0217 4 0,6230 5 0,1745 6 — 0,2067 0,3889 0,1133 0,0039 0,0823 0,3436 0,8515 1,4613 2,624 1 966 1 325 1,104 0,9б7 1,026 1,255 — 0,024 О 044 0,015 — 0,024 — 0,027 0,034 — 0,005 О,ООО576 0,001936 0,000225 0,000576 0,000729 0,001156 О,ОООО25 456 мнтОды ООРлиотки РезультлтОВ нлзлюдений (гл.!х Находим доверительные интервалы для коэффициентов ал при доверительной вероятности а = 0,90.
Используя таблицу ]16Т], по входным величинам а н числу степенен свободы )г = и†па= 4 находим у = 2,132. Доверительные интервалы для а„г ое — '1ючл < аа < аь + уоа приннмаюг вид 1,363 < аз < 1,446, 0,08031 < а, < 0,08581, 0,003542 < аз < 0,004228. Находим доверительный интервал для среднего квадрати- ческого отклонения о, характеризующего точность отдельного измерения: Подобрать многочлен 5-и степени, приблпьхенно представляющий зависимость у от х в интервале значении х ]О; 2,7], используя оргогоиальные полиномы Чебышева; оце- О,О 1,300 (! 1,5 О,З 1,245 .: 1,8 ОД 1,095 1 2,1 0,9 0,855 1~ 2,4 1.2 0,514 ]~ 2,7 0,037 — 0,600 — 1,295 — 1,767 — 1,914 нить точность отдельного измерения, характеризу- емого средним квадратиюским отклонением о, и пайги оценки средних квадратичесюгх огклонений козффнциеитов Ьл прн полиномах Чебышева )лк «(л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
