1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Тго < о < узо, где значения у, и у,, определяюгся по таблице ]19Т] при А=-4, сс= 0,90, Имеем: у = 0,649; уз= 2,37, что дает 0,02345 < о < 0,08565. Диа.югично решаются задачи 44.1 — 44.3, 44.5, 44.9, 44.10, 44.13. Пример 44.2. Равноточные нзмерегшя некоторой вели- чины у, отвечающие ряду значений аргумента х, привези к результатам, помещенТаблвца 87 ныз1 в тггбаице 87, 457 спосоо илимспьших кплдплтов Р е ш е и и е. Переходим к аргументу а = —, чтобы 0,3 ' сделать шаг аргумента равным единице. По формулам, приведенным во введении к данному параграфу, вычисляем величины Яа, с», Ьа (Ф= О, 1, ..., 5).
Табличные значения полииомов Чебышева берем пз таолпцы (ЗОТ), Вычислеиия выполнены в таблице 88. Таблица 38 п»,о сб о,о01 ' а,о из по,о'и ипо ы> По,оп» 42 — 14 — 35 — 31 — 12 12 31 35 — 42 9 7 5 3 ! — 1 — 3 — 5 — 7 — 9 б 2 — 1 — 3 — 4 — 4 — 3 — 1 2 б 18 — 22 — 17 3 13 18 3 — 17 22 18 б — 14 1 11 б — б — 11 — 1 14 — б о 1 2 3 4 5 б 7 8 9 3,=10 3, =330 1, Ь', =- 8580 Я, =132 Вычисления иа арифмометре (клавишной вычислительной машиие) с накоплением результата дают: Яо= 10, 5 = 330, 5з= 132 5з .
8580 5» = 2860 5а = 780 со =.— — 0,530, с, = 66,802, са = — 7,497, сз —— — 14,6о9. с» — — 14 515, со = — 1,627. Для оценок коэффициентов Ьо имеем: йо — — — 0,530, !Ч вЂ” 0,20243, [Уз — — — 0,05680, Ъа — — — 0,00486, Ъ» = — 0,00508, Бз =- — 0,00209. Напомним, что если при вычислениях используются табличцне значения поликомов Чсбышева, то формула для искомого мпогочлеиа 5-й степени имеет впд у = ЬоРо о (а) + Ь»Р» о (с)+.
"зРи о (а) + — баР „, (с) + Ь»Р», д (а) + йоРа. о (а). 468 методы озглзоткн ввзхльтлтов ылзлюдении 1гл:1х Если же для вычисления полинонов Чебышева используются аналитические формулы, то найденные коэффициенты Ь„следует заменить коэффициентами Ьь = Ь,Рь „(0), где Рь „(0)— табличное значение Рь,„(г) прн г = О. Вычисляем оценку оз: л оа ти ~ (у ~ о причем для нахождения значений у, используем табличные значения полиномов Чебышева из таблицы 88.
Вычисление Я„нч выполнено в таблице 89. Таблица 89 от~а = 0,002499 Получаем: 5„ш= 0,002499, о= ~/ — """ =-0,02503. Далее по формуле а оь Р"зь нзходим; оь, = 0,007917; аь, = 0,001378; сггь = 0,002179; оь, = 0,0002702; оь, = О 0004680; оь„= 0 0008947 ° Аналогично решаются задачи 44.4, 44.6, 44.!2. 0,0 0,3 0,6 0,9 '2,7 1,300 1,245 1,095 0,855 0,514 0,037 — 0,600 — 1,295 — 1,767 — 1,91 4 1,310 1,236 1,098 0,868 0,514 0,017 --0,602 --1,263 — 1,793 — 1,908 — 0,010 0,009 — 0,003 — 0,013 0.000 0,020 0,002 — 0,032 0,026 — 0,006 0,000100 0.000081 0,000009 0.000169 0,000400 П.ОЕЮО( 0,001024 0,000676 0.000036 СПОСОБ ПЛИМСИЬШИХ КВЛДВЛТОВ 459 П р и м е р 44.3. Показания барометра-анероида А и ртут,шго барометра В при различноя температуре т приведены таблице 90.
Таблица 90 1 Л'С В, мм !' Считая, что зависимость величины В от ! н А имеет внд В = А+ а„+ а1!+ ат (760 — А), определить оценки коэффициентов ные интервалы для коэффициентов тнческого отклонения о ошибок тельной вероятности а =- 0,90. Р е ш е н и е. Обозначим лля га = 760 — А, у =  — А.
Тогда н у = пагз+ п1г1 и». построить доверитель- а„ и лля срелнего квалранзмерення В при ловерн- удобства га = 1, г, = С скомая формула примет вид + п,г,. Исходные данные при этих обозначениях представлены в таблице 91. И л Определяем значения з»7 — — ~~ г»,г, и 5» — — ~~'.~ у»г»1 1=О 1.=О (й, 7'= — О, 1, 2): а~а 10 ао1 зм 117'5 зш з»о 63,6; з11 —— 1. 02 6; зш — — зт,— — 741,97; з, =577,22; ро — — — 41,7; 51 = 494,87; рт = — 2?6,75.
Составляем систему нормальных уравнений, причем виесто 5» их чпс.товые значения пока не подставляем: 10аа+ 117,5а1 + 63,6аа =ра, 1! 7,5а, + 1902 59а, + 741,97 на = рн 63,6ае+ 741,97а, + 577,22ая = рт. 1О,О 6,2 6,3 5,3 4,8 749,0 746,! 755,6 758.9 751,7 744,4 741,3 752,7 754,7 747,9 3,8 !7,! 22,2 20,8 21,0 757,5 752,4 752 5 752,2 759,5 754,0 747.8 748,6 747,7 755,6 460 методы оьвхвотки визультлтов нлвлюдвннп !гл гх Т аб лица 91 у ю —,'юю ет ! в~нч 5нпп = 0,8649 Ре!пая зту систему уравнений методом исключения, получаем; аз= — 0 60769о + О 022895 — 0,037545з а, = — 0 022895о+ 0 0019165.
+ 0 00005915„» а = — 0,037545з+ 0,00005915!+ 0,0057928а Подставляя в зти выражения числовые значения рю найдем а; коэффициенты при !1я в выражении для а представлЯют собой значсниа Лул у: ае= — 3,621; а,= — 0,01041; аз= — 0,06719; Ие „= 0,6076; Л'ь, = 0.001916; М,, = О,ООо792. Далее находим: 9„,ь, = 0,8649 (см. табл. 9!); оз =- 0,12356; о = 0,3515; о,„= 0,07508; о„, .= О,'272; о,, = 0,0002368; о„, =- 0,0154; о,„=- 0,0007156; о„=- 0,0268.
Строим доверительные интервалы для козффицнентов аа и для среднего квадратического отклонения о, характеризующего точность отдельного измерения, используя распределение о 1 1 2 1 3 1 4 1 ! 6 1 7 1 8 1 1О,О 6,2 6,3 5,3 4,8 3,8 17,1 22,22 20,8 21,00 11,0 13,9 3,44 1,1 8,3 2ко 7,6 7,о 7,8 О,'5 — 4,6 — 4,8 — 3,9 — 4,2 — 3,8! — 3,5 — 4,6 — 3,9 — 4,о — 3,9 — 3,725 — 3,686 — 3,687 — 3,676 — 3,671 — 3,661 — 3,799 — 3,852 — 3,838 — 3,840 — 0,739 — 0,934 — 0,228 — О,О74 — 0,558 — 0,168 — 0,511 — 0,504 — 0,524 — 0,034 — 4, 46 — 4,62 — 3,92 — 3,75 — 4,23 — 3, 83 — 4,31 — 4,36 — 4, 36 — 3,87 спОсов нлиыеньшпк кв»ДРАТОВ 461 Стьюдента глля и„— таблица 116Т)) и 2»-распределение (для о — таблица ~19Т) ).
Число степеней свободы 7» = и — и =. 7, доверительная вероятность и = 0,90. Находим: у = 1.897, у, =- 0,705, уа = 1, 97. Доверительные интервалы для а»: ໠— уо, ( а» ( гг» + уоч, принимают зпд: — 4,14! ( аа ( — 3,101. — 0,0396 п, < 0,0188, — 0,1180 < аа . 0,0164, а для среднего квадратического отклонения о у о ( о < уто нли 0,2478 < о < 0,63!6. Пример 44.4. В таблице 92 приведены значения хн у, и «веса» ртг характеризующие точное гь измерения у; при данном значении х;.
Таблица 92 т — 0.5 — 1,0 — 1,5 — 2,0 4,55 8,85 15,70 24,40 1,0 1,0 0,5 0,25 Считая, что зависимость у от х представляется многочлеиом второй степени вида у= а +а,х+а.х', найти оценки дисперсий отдельных измерений у, и дисперсий коэффициентов а 1й = О, 1, 2).
Постропть доверительные границы для неизвестной истинной зависимости у = Ртх) при доверительной вероятности а = 0,90. 1,5 11 0,7 0,3 — 0,1 6,20 3,45 2,00 1,80 2,40 а.ь~ 1 1,0 ', 462 митоды оввлвотки вцзультлтов нлвлюдеу!ин !гл, гх .у. ! „з а у!х! у,а! 225 1,21 0,49 0,09 0,01 0,25 1,00 О!2 4.00 1,5 1,1 0,7 0,3 — 0.1 — 0,5 — 1,0 — 1,5 -2,0 9.3 00 3,795 1,4 00 О. 540 — 0,240 — '2,275 — 8 8'л0 — 23,550 — 48,8 00 6,20 3,45 2,00 1,80 2,40 4,55 8,85 15,70 24,40 5,0625 !,4641 0,2401 0,0081 0,0001 0,0625 1,0000 5,0625 16,0000 3,375 1,Ъ31 0,343 0,027 — 0,001 — 03 25 — 1,000 — 3,375 — 8.000 13,950 '4,174 0,980 0,162 0,024 1,!38 8,850 35,325 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,50 1,ОО 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,25 Г!олучзети у,',= — 72250; з'=О; "1 а' =- 6,300; 'а л,'= — 1,425; г' = 11,837; оо — — 40,100; о,' =.
— 24,955; и,', = 64,366. Составляем систему нормальных уравнений: 7.250ао+ О + 6,300аз —— 40,100, О + 6,3ООа, — 1,425аа —— — 24,955, 6,300ао — 1,425а, + !1,837ае — — 64,366. Находим числовые значения определителя системы о н алгебраических дополнений Ь„; элементов гГ». = з„' . этого лу лч.т определителя: Л = 275,87; Ьоо — !'2,54; Ьи =- 46,12; Ь,з = 45,68; Ьо! = Ь!о =- 8 98' Ьот =-'Ьао = 39 69' Ь!т = бы —— 10,33. Вычисляем оценки коэффициентов а»! Ьло! о+ Ьиц! + Ьлгцт ад= д ! получаем ао — — 2,096; а, = — 3,068„' иа — — 3 955 Решение.
Вычисляем величины а н о' для системы нормальных уравнений с учетом «веса» кгокдого измерения. выполняя вычисления в таблице 93. Таблица 93 463 спОсОБ т!Ана!Вньшнх кВАдРАтОВ Находим О22!„, выполняя вычисления в таблице 94: Лил 2 —. ~~'.2 рт (у, — а — а,х, — аех';.'~ = 0,2208, г=о Таблица 94 52и222 = О 2208 отделы!ых измерений от Вычислаеи оценки дисперсий по формуле оа а2И!И л — т 1 Р! получаем: оет — — о = 0,0368 0 5 — — 0,0736; са =- оа = о' = — от = оа = оа =.. О, 0368; 2 ! а 4 Б а оа! -— — О, 1472.
Оценки дисперсий коэффициентов аа и их корреляционных моментов находятся по формулам 5 22 бал ое 2„Л Л2 Л а2и!и ба/ К а,,а 22 — т Д Имеем. о' = 0,009336; ое = 0,005936; от =. — 0,005879; а2 а2 22 Ка... = — 0 001!56; К„а, = — 0,005108: К..., = 0 00!329, О 1 4 5 6 8 6,20 3,45 2,00 1,80 2,40 4,55 8,85 15,70 24,40 — 2,5044 — 1,2775 — О,ОО07 1 1762 2,4030 3,6298 5,1634 6,6970 8,2305 8,8945 4.7833 1,9370 0,3558 0,0395 0,9883 3,9531 8,8945 15,8124 6,390 3 а206 1,886 1,532 2,442 4,618 9,116 15592 24,043 — 0,190 — О 02аб 0,1!4 0,268 — 0,042 — 0,068 — 0.266 0.108 0,357 0,0351 0,0031 0,0130 0,0718 0,0018 0,0046 0,0708 О,ОИ 7 О,\274 464 методы оволвотки оизкльтлтов нлглюденнп !гл.
!х Вычисляет? оценку дисперсии Ф (х) величины у по формуле У ог(х) =-ог +о'-' хг — о'-' х'+ 2К, х+2А; хг+2К„„хз или о,,(х) = 10 5(933,6 †2,2х †4,0х -+265,8х + 587,9х"). Значения оь(х,.) для всех х! вычислены 0 таблица 95, Таблица 95 и Д Строим донеригельные границы д.?я неизвестной истинной зависимости у =- У'(х)! у.— уо (х!) С у ( у;+То„(х;), где у определяется нз таблицы 116Т] по входным величинам а= 0,90 и числу степеней свободы 1! =- л — гл = 6: у = 1,943.
Доверительные границы для у вычислены в таблице 95. Аналогично решаются задачи 44.7, 44.8, 44.11. П р и и е р 44.5. Электрическое сопротивление молибдена р в зависимости от температуры Т 'К характеризуется данными таблицы 96. Считая справедливой линейную зависимость вида р= ао+ о,Т, 1,5 1,! 0,7 о,з -о',! — од 7?1,8 664,? 1Ю6,7 !ГИ(2 1!64,8 НВО,'1 1396,'О -46З.Π— 209,7 -38,5 -4.3 — 107,0 — 4ж',Π— 963,0 — !?!г,'о 69?Д Ззз,в М,2 7,3 о,з 265,8 697,1 2126,4 2ГО6,2 860',7 н?,'г 4,8 од 36',7 53?,9 2976,2 9406,4 о,озо! О,О!375 о,'ооям О,'Оовввв 0,00953 О,'О!О!2 О,ОЫ ОО О',О419? О,!!г!7 О,!87 О,Н? о,овв О,'092 О,О91 1(!01 О,'126 о',гоо',ззз 6,ЗОО з,'вм 1',886 1,532 2,442 47НВ 9,!16 15,592 247иЗ в,огз 3,279 1,715 в',вп ! 5,194 3,'з!г 6,753 3,733 2;057 9,'361 465 СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 4 44! определить коэффициенты аа н а, по способу наименьших квадратов.
Ошибки измерения р и Т характеризуются соответственно средними квадратическими отклонениями ор — — 0,8 и а„= 15'. Найти наибольшее отклонение расчетной величины о от опытной. Таблица 9о р, оооо.и.о.» р, .»»оо! ори 37,72 32,09 28,94 1489 1286 1178 Р е ш е н и е. Вычисляем величины з„, гл !74 = 1,2), ОР выполняя вычисления в табт,це 97.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
