1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В какихпределах с вероятностью 0,95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов надо посадить, чтобы с вероятностью не менее0,975 урожай был не менее тонны?23.25. Имеется 1000 параллепипедов, у каждого из которых длинакаждой стороны может принимать значения 1/2 и 1 с вероятностями0,3 и 0,7 соответственно. Пусть V — суммарный объем этих параллепипедов. Оценить вероятность того, что 580 < V < 605.23.26. Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того,что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднемна 200 забрасываний?23.27. Предположим, что при наборе книги существует постояннаявероятность p = 0, 0001 того, что любая буква будет набрана неправильно.
После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью q = 0, 9. После корректора— автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью r = 0, 5. Найти вероятность того, что в книге со 100 тысячамипечатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.23.28. Найти вероятность того, что среди 10000 случайных цифрцифра 7 появится не более 968 раз.23.29. Сколько случайных цифр нужно взять, чтобы вероятностьпоявления среди них цифры 7 была не меньше 9/10?23.30. Монета брошена 1000 раз.
При каком k число выпадений герба лежит между 490 и k с вероятностью 1/2.23.31. При n = 14400 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Каквероятно столь большое или большее уклонение числа выпадений гербаот n/2?23.32. В жюри, состоящем из нечётного числа n = 2m + 1 членов,каждый независимо от других принимает правильное решение с вероятностью p = 0, 7. Каково минимальное число членов жюри, при которомрешение, принятое большинством голосов, будет справедливым с вероятностью не меньшей, чем 0,99?88отдел vi. предельные теоремы23.33. Берутся два сосуда A и B, каждый из которых имеет объем 1 дм3 и содержит 2, 7 · 1022 молекул газа.
Эти сосуды приведены всоприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами. Чему равна вероятность того, что через одни сутки в одномиз сосудов молекул окажется по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть больше, чем в другом?О Т Д Е Л VIIЦЕПИ МАРКОВА§ 24. Переходные вероятностиПусть случайные величины ξ0 , ξ1 , . . . принимают значения в не более чем счётном множестве {x1 , x2 , .
. .}, элементы которого называются состояниями. Последовательность ξ0 , ξ1 , . . . называется цепью Маркова, если для любого момента времениn и для любых состояний xi0 , . . . , xin выполняется равенствоP{ξn = xin |ξn−1 = xin−1 , . . . , ξ0 = xi0 } = P{ξn = xin |ξn−1 = xin−1 }.Цепь Маркова {ξn } называется однородной по времени с матрицей переходных вероятностей ||pij ||, если для любого n и для любых xi и xjP{ξn = xj |ξn−1 = xi } = pij .Матрица переходных вероятностей ||pij || является стохастической, т. е. её элементы∞Xнеотрицательны иpij = 1 для любого i.j=1В задачах 24.1–24.6 найти матрицы переходных вероятностей длямарковских цепей, описывающих следующие процессы.24.1. Пусть бросается монета, причём вероятность выпадения решетки равна p.
Определим ξn как разность между числом выпаденийрешетки и числом выпадений герба после n бросаний монеты.24.2. Бросается правильная игральная кость. Положим ξn равнойнаибольшему из чисел, выпавших в первых n бросаниях.24.3. В двух урнах размещены N черных и N белых шаров так, чтокаждая содержит по N шаров. В каждый момент времени n случайновыбирают по одному шару из каждой урны и меняют их местами. Черезξn обозначается число белых шаров в первой урне в момент времени n.24.4.
Находящаяся на прямой частица движется по этой прямой подвлиянием случайных толчков, происходящих в целочисленные моментывремени. Частица может находится в точках с целочисленными координатами 0, 1, . . . , N ; в точках 0 и N находятся отражающие стенки.Каждый толчок переводит частицу вправо с вероятностью p и влево свероятностью 1 − p, если только частица не находится у стенки. Если90отдел vii.
цепи марковаже частица находится у стенки, любой толчок переводит её на единицувнутрь промежутка между стенками. Через ξn обозначается координатачастицы после n-го толчка.24.5. Находящаяся на прямой частица движется по этой прямой подвлиянием случайных толчков, происходящих в целочисленные моментывремени. Частица может находится в точках с целочисленными координатами 0, 1, . . . , N ; в точках 0 и N находятся поглощающие стенки.Каждый толчок переводит частицу вправо с вероятностью p и влево свероятностью 1 − p, если только частица не находится у стенки. Еслиже частица находится у стенки, она навсегда остается там. Через ξnобозначается координата частицы после n-го толчка.24.6. Белую крысу помещают в лабиринт, изображенный на рисунке.
Крыса передвигается из ячейки в ячейку случайным образом, т. е.если ячейка имеет k выходов, то крыса выбирает каждый из них с вероятностью 1/k. В каждый момент времени крыса обязательно переходитв одну из соседних ячеек. Через ξn обозначается номер ячейки, в которой находится крыса после n-го перехода.12345678924.7. К рабочему, стоящему на контроле, через минуту поступаютизделия, причём каждое из них независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью p. Поступившие изделия рабочий одно задругим проверяет, затрачивая на проверку каждого изделия одну минуту. Если же изделие оказывается дефектным, то рабочий прекращаетпроверку других изделий и исправляет дефектное.
На это он тратитеще 5 минут. Является ли цепью Маркова величина ξn — число изделий, скопившихся у рабочего через n минут после начала работы?24.8. Пусть ξn определено, как в предыдущей задаче, а νn — время,уже затраченное рабочим на проверку и ремонт изделия, которое в данный момент обслуживает рабочий. Является ли цепью Маркова вектор(ξn , νn )?24.9. Точки A1 , . . . , An представляют собой вершины правильногоn-угольника. Некоторая частица совершает случайное блуждание по§ 24. переходные вероятности91точкам A1 , . . . , An . Является ли цепью Маркова последовательностьположений частицы, если частицаа) совершает детерминированное движение по часовой стрелке;б) в начальный момент случайно выбирает направление по или против часовой стрелки и далее постоянно движется в выбранном направлении;в) из любой точки Ai , i 6= 1, с вероятностью p сдвигается по часовойстрелке, а с вероятностью 1 − p — против часовой стрелки в соседнююточку.
Попадая в точку A1 , частица возвращается в ту точку, из которойона пришла в A1 .24.10. Частица совершает случайное блуждание в плоскости по целочисленным точкам (i, j) таким, что 0 6 i, j 6 N . Из любой внутреннейточки указанного квадрата частица с равными вероятностями, независимо от её предыдущего движения, переходит в одну из соседних точек.Является ли цепью Маркова последовательность положений частицы,если при выходе на границу дальнейшее движение частицы подчиняется правилу:а) движение частицы по границе квадрата детерминированно по часовой стрелке;б) частица возвращается в ту точку, из которой она вышла на границу;в) частица выбирает случайным образом направление на границе идвижется по границе в выбранном направлении.24.11.
В начальный момент времени в урне имеется n0 белых и m0черных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме выборабез возвращения извлекается один шар. Пусть nk — число белых и mk— число черных шаров в урне в момент времени k. Какие из указанныхниже последовательностей образуют цепь Маркова, а какие нет:а) nk ;г) пара (nk , mk );1б) nk − mk ;д) nk − mk +.nk + mk + 2в) nk + mk ;24.12. Электрон может находиться на одной из счётного множестваорбит в зависимости от наличной энергии. Переход с i-й орбиты на j-юпроисходит за одну секунду с вероятностью ci e−α|i−j| .
Найти:а) постоянные ci ;б) вероятности перехода за две секунды.24.13. Пусть {ξn } — простое случайное блуждание в Z, т. е. цепьМаркова с переходными вероятностями pi,i+1 = p и pi,i−1 = 1−p. Найтивероятности перехода за n шагов.92отдел vii. цепи маркова24.14. Пусть {ξn }∞n=−∞ — стационарная последовательность, членыкоторой принимают лишь значения 0 и 1. Положим∞Xξn−iηn =.2i+1i=0Доказать, что {ηn } является цепью Маркова. Найти её переходные вероятности, если:а) случайные величины {ξn } независимы;б) случайные величины ξn и ξm независимы при |n − m| > 2.24.15. Пусть ξ0 , ξ1 , . .
. — независимые случайные величины, принимающие значения 1 и −1 с вероятностью 1/2 каждое. Доказать, чтоξn + ξn+1случайные величины ηn =не образуют цепь Маркова.224.16. Пусть независимые случайные величины ξ0 , ξ1 , . . . принимают значения 1 и −1 с вероятностями p и 1 − p соответственно. Будут лицепями Маркова следующие последовательности случайных величин:а) ηn = max ξi ;06i6nб) ηn = ξn ξn+1 ;в) ηn =nYξi ;i=0г) ηn = ξ1 + · · · + ξn ?24.17. Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли. Положим ξn = 1, если испытания с номерами n − 1 и n привели к успеху, иξn = 0 иначе.
Доказать, что случайные величины ξn не образуют цепьМаркова.24.18. Пусть {ξn } — стационарная цепь Маркова, принимающаялишь значения 0 и 1, с матрицей переходных вероятностейpqP =, 0 < p < q < 1, q = 1 − p.q pПоложим ηn = 1, если (ξn , ξn−1 ) = (1, 1) или (0, 0), и ηn = 0 иначе.Доказать, что случайные величины {ηn } независимы и одинаково распределены.24.19.
Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей вероятностей перехода за два шага некоторой цепи Маркова?§ 25. классификация состояний93§ 25. Классификация состояний.Эргодичность цепейОпределить число состояний цепи Маркова, классы эквивалентности и периодичность различных состояний, если матрица переходныхвероятностей равна0 1/2 1/21/2 1/3 1/625.2.
1/2 0 1/2 .25.1. 1/2 1/3 1/6 .1/2 1/2 01/2 1/3 1/60 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 025.4. 25.3. 0 1 0 0 . 1/2 1/2 0 0 .1/3 0 2/3 01/3 1/3 1/3 01/3 2/3 0 0 0 0 2/3 1/3 0 0 0 0 0 0 1/4 3/4 0 0 .25.5. 0 0 1/5 4/5 0 0 1/4 0 1/4 0 1/4 1/4 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/61 0 0 0 0 0 0 3/4 1/4 0 0 0 0 1/8 7/8 0 0 0 25.6. 1/4 1/4 0 1/8 3/8 0 . 1/3 0 1/6 1/6 1/3 0 0 0 0 0 0 125.7. Дать классификацию состояний цепи Маркова с матрицей переходных вероятностейp 1−p 0 00 0 p 1−pp 1 − p 0 0 .0 0 p 1−pЭргодичны ли цепи Маркова со следующими матрицами вероятностей переходаза один шаг:0 11 025.8..25.11..1 01 01 01/2 1/225.9..25.12..0 10 11/2 1/225.10..1 094отдел vii.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
