1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Пусть {ξn } — последовательность независимых одинаковораспределённых случайных величин с общей функцией распределенияF . Пусть ν — положительная целочисленная случайная величина, независящая от {ξn } и имеющая производящую функцию ϕ. Доказать,что функция распределения случайной величины max(ξ1 , . . . , ξν ) равнаϕ(F (x)).13.12. Пусть {ξn } — последовательность целочисленных неотрицательных независимых одинаково распределённых случайных величин спроизводящей функцией ϕ. Пусть ν — положительная целочисленнаяслучайная величина, не зависящая от {ξn } и имеющая производящуюфункцию ψ. Найти производящую функцию суммы случайного числаслагаемых ξ1 + · · · + ξν .§ 14. Безгранично делимые распределенияГоворят, что случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение,если для любого натурального n найдутся независимые одинаково распределённыеслучайные величины ξ1 , .

. . , ξn такие, что распределение суммы ξ1 + · · · + ξn совпадает с распределением ξ.14.1. Пусть случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение. Доказать, что при любых вещественных a и b распределение случайной величины aξ + b также безгранично делимое.14.2. Доказать, что слабый предел последовательности безграничноделимых распределений безгранично делим.14.3. Пусть ϕ(t) — характеристическая функция безгранично делимого распределения.

Доказать, что для любого c > 0 функция ϕc (t)также является характеристической функцией безгранично делимогораспределения.64отдел iii. случайные величины и их распределения14.4. Пусть ξ и η — независимые случайные величины с безграничноделимыми распределениями. Доказать, что распределение случайнойвеличины ξ + η также безгранично делимое.14.5. Пусть ϕ(t) — характеристическая функция безгранично делимого распределения. Доказать, что функция |ϕ(t)| также являетсяхарактеристической функцией безгранично делимого распределения.14.6.

Доказать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения нигде не обращается в нуль.14.7. Доказать безграничную делимостьа) распределения Пуассона;б) нормального распределения;в) распределения Коши;г) Γ-распределения;д) показательного распределения;е) распределения хи-квадрат.14.8. Пусть ϕ(t) — характеристическая функция. Доказать, что длялюбого λ > 0 функция eλ(ϕ(t)−1) является характеристической функцией безгранично делимого распределения.14.9. Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждоеиз слагаемых также распределено по закону Пуассона.14.10.

Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по нормальному закону, токаждое из слагаемых также распределено по нормальному закону.14.11. Доказать, что равномерное на отрезке распределение не может быть безгранично делимым.14.12. Доказать, что невырожденное безгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке.14.13. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, причёмξ имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать,что случайная величина ξ + η не может иметь безгранично делимоераспределение.14.14.

Выписать в явном виде последовательность сложных пуассоновских законов, которые сходятся к нормальному распределению.Показать, что само нормальное распределение не является сложнымпуассоновским.О Т Д Е Л IVСХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ§ 15. Сходимость почти наверноеГоворят, что последовательность случайных величин {ξn } сходится почти наверное (с вероятностью 1) к случайной величине ξ и пишут ξn → ξ п.

н., еслиP{ω : ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞} = 1.15.1. Пусть ξn → ξ п. н. Доказать, что:а) |ξn | → |ξ| п. н.;б) ξn2 → ξ 2 п. н.15.2. Пусть ξn → 1 и ηn → 1 п. н. Доказать, что11в) ξn + ηn → 2 п. н.а)→ п. н.;ξn + ηn2б) ξn ηn → 1 п. н.;15.3. Пусть ξn → ξ п. н. и g(x) — непрерывная функция. Доказать,что g(ξn ) → g(ξ) п.

н.15.4. Пусть ξn → ξ, ηn → η п. н. и g(x, y) — непрерывная функция.Доказать, что g(ξn , ηn ) → g(ξ, η) п. н.15.5. Пусть ξn → ξ и ξn → η п. н. Доказать, что P{ξ = η} = 1.15.6. Пусть (ξn − ξ)2 → 0 п. н. Доказать, что ξn2 → ξ 2 п. н.15.7. Доказать, что ξn → ξ п. н. тогда и только тогда, когда длялюбого ε > 0P{|ξn − ξ| > ε для бесконечно многих n} = 0.15.8. Доказать, что последовательность случайных величин сходится с вероятностью 1 к некоторой случайной величине тогда и толькотогда, когда она фундаментальна с вероятностью 1.15.9. Доказать, что ξn → ξ п. н.

тогда и только тогда, когда длялюбого ε > 0P sup |ξi − ξ| > ε → 0 при n → ∞.i>n66отдел iv. сходимость случайных величин15.10. Доказать, что последовательность случайных величин {ξn } свероятностью 1 фундаментальна тогда и только тогда, когда для любогоε>0P sup |ξn+i − ξn | > ε → 0 при n → ∞.i>115.11.

Пусть {ξn } и {ηn } — две последовательности случайных величин такие, что для любого ε > 0∞XP{|ξn − ηn | > ε} < ∞.n=1Доказать, что если ηn → a п. н., то ξn → a п. н.15.12. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин такая,что для любого ε > 0∞XP{|ξn − ξ| > ε} < ∞.n=1Доказать, что ξn → ξ п. н.15.13. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и ξn → 0∞Xп.

н. Доказать, что рядP{|ξn | > 1} сходится.n=115.14. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин. Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности положительных чисел {εn }∞XP{|ξn+1 − ξn | > εn } < ∞,n=1то последовательность {ξn } с вероятностью 1 сходится к некоторой почти наверное конечной случайной величине.15.15. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин. Дока∞Xзать, что если рядEξn2 сходится, то ξn → 0 п. н.n=1∞X15.16. Пусть ξ, ξ1 , ξ2 , . . . — случайные величины такие, что рядE|ξn − ξ|a сходится при некотором a > 0.

Доказать, что ξn → ξ п. н.n=115.17. Пусть последовательность независимых случайных величинξn сходится с вероятностью 1. Доказать, что дисперсия предела равнанулю.15.18. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — последовательность независимых случай-67§ 15. сходимость почти наверноеных величин таких, что Eξn2 < σ 2 и Eξn = 0. Доказать, что рядсходится с вероятностью 1.15.19. Доказать, что ряд∞X∞Xξnn2n=1ξn из некоррелированных случайныхn=1величин сходится в среднеквадратичном тогда и только тогда, когда∞∞XXсходятся рядыEξn иDξn .n=1n=115.20. Доказать, что радиус сходимости R случайного степенного∞Xрядаξi z i , коэффициенты ξi которого независимы, есть константаi=0(почти наверное).15.21. Доказать, что радиус сходимости R случайного степенного∞Xрядаξi z i , коэффициенты ξi которого независимы и имеют одинакоi=0вое невырожденное распределение, равен 1 или 0 в зависимости от того,конечен или бесконечен момент E ln(1 + |ξ0 |).15.22.

Пусть ξ1 , ξ2 . . . — независимые случайные величины, имеющие распределение Коши. Доказать, чтоξ1 + · · · + ξn= ∞ п. н.,lim supnn→∞а при α > 0ξ1 + · · · + ξn= 0 п. н.lim supn1+αn→∞15.23. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют∞ YnXравномерное распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что рядξin=1 i=1сходится п. н.15.24. Пусть независимые одинаково распределённые случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . принимают значения в множестве {1, 2, .

. . , J}, причём p(k) = P{ξ1 = k} > 0 при любом k ∈ {1, 2, . . . , J}. Обозначим черезnXNn (k) =I{ξi = k},i=1число элементов ξ1 , . . . , ξn равных k; положимJYηn =(p(k))Nn (k) .k=1Доказать, что n−1ln ηn сходится п. н. и найти предел.68отдел iv. сходимость случайных величин§ 16.

Сходимость по вероятностиГоворят, что последовательность случайных величин {ξn } сходится по вероятpности к случайной величине ξ и пишут ξn → ξ, если для любого ε > 0 имеет местосходимость P{ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| > ε} → 0 при n → ∞.16.1. Доказать, что из сходимости почти наверное вытекает сходимость по вероятности.16.2. Доказать, что если ξ1 6 ξ2 6 . . . и ξn сходятся по вероятностик ξ, то ξn сходятся к ξ п.

н.16.3. Доказать, что из сходимости по вероятности не вытекает, вообще говоря, сходимость почти наверное.16.4. Доказать, что если ξn сходятся по вероятности к ξ, то ξnk → ξп. н. при k → ∞ для некоторой подпоследовательности индексов nk .16.5. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы. Доказать,∞Xчто если рядξn сходится по вероятности, то он сходится и п.

н.n=116.6. Доказать, что ξn сходятся по вероятности к ξ и ηn сходятся повероятности к η тогда и только тогда, когда случайные векторы (ξn , ηn )сходятся по вероятности к (ξ, η).p16.7. Пусть ξn → ξ. Доказать, что:ppа) |ξn | → |ξ|,б) ξn2 → ξ 2 .pp16.8. Пусть ξn → 1 и ηn → 1. Доказать, что1p 1pа)→ ;в) ξn + ηn → 2.ξn + ηn2pб) ξn ηn → 1;1 p 1p16.9. Пусть ξn → ξ, причём P{ξ = 0} = 0. Доказать, что→ .ξnξ16.10. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин, причём ξn принимает значения e−αn и eαn с вероятностями 1 − e−βn и e−βnсоответственно.

При каких значениях α и β имеет место сходимостьpξn → 0?p16.11. Пусть ξn → ξ и g(x) — равномерно непрерывная ограниченнаяpфункция. Доказать, что g(ξn ) → g(ξ).p16.12. Пусть ξn → ξ и g(x) — непрерывная функция. Доказать, чтоpg(ξn ) → g(ξ).pp16.13. Пусть ξn → ξ, ηn → η и g(x, y) — равномерно непрерывнаяpограниченная функция. Доказать, что g(ξn , ηn ) → g(ξ, η).69§ 17. слабая сходимостьpp16.14. Пусть ξn → ξ, ηn → η и g(x, y) — непрерывная функция.pДоказать, что g(ξn , ηn ) → g(ξ, η).p16.15. Пусть ξn → ξ и g(x) — функция, непрерывная во всех точкахpмножества A.

Характеристики

Список файлов книги