1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 11
Текст из файла (страница 11)
а) Доказать, что E|ξ| < ∞ тогда и только тогда, когдаXP{|ξ| > n} < ∞.n2б) Доказать, что Eξ < ∞ тогда и только тогда, когдаXnP{|ξ| > n} < ∞.n11.38. Привести пример случайной величины ξ, у которой не существует среднего значения.11.39. Привести пример случайной величины ξ, у которой среднеезначение существует, а дисперсия не существует.11.40. Доказать, что если случайная величина ξ имеет момент порядка k, то её функция распределения F удовлетворяет соотношениюlim xk (1 − F (x) + F (−x)) = 0.x→∞11.41.
Доказать, что Eξ 2 = 0 равносильно P{ξ = 0} = 1.11.42. Пусть случайная величина ξ имеет математическое ожидание, причём E{ξ; A} = 0 для любого события A. Доказать, что P{ξ =0} = 1.§ 11. моменты5511.43. Какому условию должны удовлетворять независимые случайные величины ξ и η, чтобы D(ξη) = DξDη.11.44. Доказать, что если Eξ 2 = Eξ 3 = Eξ 4 , то случайная величинаξ дискретна и может принимать лишь значения 0 и 1.11.45.
Доказать следующие неравенства:а) Eξ 4 > (Eξ)4 ;б) Eξ 2 Eξ 4 > (Eξ 3 )2 .Когда в этих неравенствах возможен знак равенства?11.46. Пусть случайная величина ξ такова, что P{0 < ξ < 1} = 1.Доказать, что Dξ < Eξ.11.47. Пусть ξ и η — случайные величины. Доказать, что если существуют Eξ и Eη, то существует E max(ξ, η).
Верно ли обратное?11.48. Пусть ξ и η — случайные величины. Доказать, что если существуют E max(ξ, η) и E min(ξ, η), то существуют Eξ и Eη, причёмEξ + Eη = E max(ξ, η) + E min(ξ, η).11.49. Пусть ξ и η — независимые случайные величины такие, чтосуществует E|ξ + η|a , a > 0. Доказать, что существуют E|ξ|a и E|η|a .11.50. Привести пример двух случайных величин ξ и η таких, чтоEξ и Eη существуют, а Eξη не существует.11.51. Найти inf E(ξ − a)2 .a∈R11.52.
Найти inf E|ξ − a|.a∈R11.53. Пусть положительные случайные величины ξ и η независимыи имеют плотности f и g соответственно. Доказать, что если Eξ < ∞,то отношение ξ/η имеет конечное математическое ожидание тогда итолько тогда, когдаZ1g(y)dy < ∞.y011.54. Пусть случайные величины ξ и η имеют плотности f и gсоответственно; a — некоторое число. Доказать, что если f (x) > g(x)при x < a и f (x) 6 g(x) при x > a, то Eξ 6 Eη.11.55. Бросается n игральных костей. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков на всех костях.11.56.
Для группы из n человек найти математическое ожидание идисперсию числа дней в году, на каждый из которых не приходятся ниодного дня рождения.11.57. Для группы из n человек найти математическое ожиданиечисла дней в году, на каждый из которых приходятся дни рожденияровно k человек.56отдел iii. случайные величины и их распределения11.58. Для группы из n человек найти математическое ожиданиечисла дней в году, на каждый из которых приходится дни рожденияпо крайней мере двух человек. Как велико должно быть n, чтобы этосреднее было больше 1?11.59. На отрезок [0, a] наудачу брошены две точки.
Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними, а такжековариацию координат левой и правой точек.11.60. Пусть случайные величины ξ1 и ξ2 положительны и одинаково распределены. Верно ли, чтоξ1ξ2E=E?ξ1 + ξ2ξ1 + ξ211.61. Доказать, что если случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, положительны и одинаково распределены, то при k 6 nkξ1 + · · · + ξk= .Eξ1 + · · · + ξnn11.62. Пусть ξ1 , ξ2 , .
. . — независимые случайные величины, принимающие значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 − p соответственно. Найтисреднее значение и дисперсию суммы ζ = η1 + · · · + ηn , если:а) ηi = ξi ξi+1 ;б) ηi = ξi ξi+1 ξi+2 ;0, если ξi + ξi+1 — число чётное,в) ηi =1, если ξi + ξi+1 = 1.11.63. Написаны n писем, предназначенных разным адресатам. Имеется n конвертов с соответствующими адресами.
Письма в случайномпорядке вложены в конверты. Найти среднее значение и дисперсию числа писем, посланных по правильному адресу.11.64. Найти коэффициент корреляции между числом «единиц» ичислом «шестерок» при n бросаниях правильной игральной кости.11.65. Пусть r занумерованных частиц случайно размещаются в nячейках. Найти среднее значение числа пустых ячеек.11.66. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают одновременно k шаров (k 6 a + b).
Найти математическое ожидание идисперсию числа вынутых белых шаров.11.67. Построить пример двух зависимых случайных величин, у которых коэффициент корреляции равен нулю.11.68. Доказать, что если каждая из случайных величин ξ и η принимает только два значения, то из равенства Eξη = EξEη вытекаетнезависимость ξ и η.11.69.
Найти коэффициент корреляции между ξ и ξ 2 , если:§ 11. моменты57а) P{ξ = 0} = 1/3, P{ξ = 1} = 1/2, P{ξ = −1} = 1/6;б) P{ξ = −2} = P{ξ = −1} = P{ξ = 1} = P{ξ = 2} = 1/4.Являются ли случайные величины ξ и ξ 2 независимыми?11.70. Найти коэффициент корреляции между ξ и η = e−ξ , если:а) ξ имеет стандартное нормальное распределение;б) ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ 2 .11.71. Доказать, что не существует трех случайных величин ξ, η иζ таких, что коэффициент корреляции любых двух из них равен −1.11.72.
Пусть ξ1 , . . . , ξn — случайные величины, причём коэффициент корреляции любых двух из них равен одному и тому же числу ρ.Доказать, что ρ > −1/(n − 1).11.73. Пусть ξ — случайная величина с симметричным распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции случайных величин ξ и |ξ|.11.74. Пусть случайные величины ξ и η независимы, причём P{ξ =1} = P{ξ = −1} = 1/2, P{η = 1} = P{η = −1} = 1/4, P{η = 0} = 1/2.Будут ли случайные величины ξη и ηа) независимыми;б) некоррелированными?11.75. Случайные величины ξ1 , . .
. , ξn+m (n > m) независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между суммами ξ1 + · · · + ξn и ξm+1 + · · · + ξm+n .11.76. Случайные величины ξ и η независимы и нормально распределены с параметрами a и σ 2 . Найти коэффициент корреляции величинαξ + βη и αξ − βη, а также их совместное распределение.11.77. Найти возможное распределение случайной величины ξ, еслиEξ 2n , Eξ 2n+1 и Eξ 2n+2 при некотором натуральном n являются последовательными членами арифметической прогрессии.11.78. Найти возможное распределение случайной величины ξ, еслиEξ n , Eξ n+1 и Eξ n+2 при некотором натуральном n являются последовательными членами геометрической прогрессии.11.79.
Пусть случайные величины ξ и η имеют нулевые средние значения, единичные дисперсиии коэффициент корреляции ρ. Показать,pчто E max(ξ 2 , η 2 ) 6 1 + 1 − ρ2 .11.80. Пусть случайные величины ξ и η имеют нулевые средние значения, единичные дисперсии и коэффициент корреляции ρ, 0 < ρ < 1.Найти все значения a и b, при которых случайные величины ξ − aη иη − bξ некоррелированы.11.81.
Пусть g(x) — чётная функция, а ξ — случайная величинатакая, что Eξ = 0 и существуют Eξ 2 и Eg 2 (ξ). Найти Cov(ξ, g(ξ)).58отдел iii. случайные величины и их распределения11.82. Пусть ξ и√η — случайныеpвеличины с конечными√√√ дисперсиями. Доказать, что | Dξ − Dη| 6 D(ξ + η) 6 Dξ + Dη.11.83. Пусть ξ1 , ξ1 , . . . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины со средним значением a и дисперсией σ 2 . Пустьν — положительная целочисленная случайная величина, не зависящаяот {ξn } и имеющая среднее значение b и дисперсию θ2 . Найти среднеезначение и дисперсию случайной суммы ξ1 + · · · + ξν .11.84. Случайные величины ξ1 , ξ2 , . . .
независимы и равномернораспределены на отрезке [0, 1]. Определим случайную величину ν равной тому значению k, при котором впервые сумма ξ1 +· · ·+ξk превзойдет1. Найти Eν.11.85. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеютодну и ту же функцию распределения F . Пусть x — некоторое число такое, что 0 < F (x) < 1.
Обозначим через ν(x) + 1 номер первойслучайной величины, значение которой превышает x. Доказать, чтоEν(x) = (1 − F (x))−1 .11.86. Независимые случайные величины ξ1 , . . . , ξn равномерно распределены в множестве {1, 2, . . . , J}. Определим случайную величину νравной числу различных значений среди ξ1 , . . . , ξn . Найти Eν.11.87. Пусть ξ — случайная величина, Ef (ξ) < ∞, где неотрицательная функция f (t) принимает при t > x значения, не меньшие s > 0.Доказать, чтоP{ξ > x} 6 Ef (ξ)/s.11.88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
