1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказать, что если P{ξ ∈ A} = 1, то g(ξn ) → g(ξ).pp16.16. Пусть ξn → ξ и ξn → η. Доказать, что P{ξ = η} = 1.ppp16.17. Пусть ξn → ξ, ηn → η и P{ξ = η} = 1. Доказать, что ξn −ηn →0 при n → ∞.16.18. Пусть g — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная на полупрямой [0, ∞) функция, причём g(0) = 0. Доказать,что условие lim Eg(|ξn |) = 0 необходимо и достаточно для того, чтобыpn→∞ξn → 0.16.19. Доказать, что ξn сходятся по вероятности к ξ тогда и толькотогда, когда|ξn − ξ|→ 0.E1 + |ξn − ξ|pp16.20. Пусть (ξn − ξ)2 → 0. Доказать, что ξn2 → ξ 2 .16.21.
Пусть {ξn } — последовательность случайных величин с нулеpвыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости ξn →0 при n → ∞ сходимостьξ1 + · · · + ξn p→ 0?n16.22. Пусть {ξn } — стационарная последовательность случайныхвеличин, причём E|ξ1 | < ∞. Выяснить условия, при которых последовательность {ξn } сходится по вероятности при n → ∞.§ 17. Слабая сходимостьГоворят, что последовательность распределений {Fn } слабо сходится к распределению F и пишут Fn ⇒ F , если для любой ограниченной непрерывной функцииg : R → R имеет место сходимостьZZg(x)Fn (dx) →g(x)F (dx) при n → ∞.RRЕсли при каждом n случайная величина ξn имеет распределение Fn , а случайнаявеличина ξ — распределение F , то используется также запись ξn ⇒ ξ. При этомусловие слабой сходимости может быть записано в виде Eg(ξn ) → Eg(ξ).17.1.
Пусть ξn ⇒ ξ и g(x) — непрерывная функция. Доказать, чтоg(ξn ) ⇒ g(ξ).70отдел iv. сходимость случайных величинp17.2. Пусть ξn ⇒ 0. Доказать, что ξn → 0.17.3. Пусть ξn ⇒ ξ. Верно ли, что ξn − ξ ⇒ 0?17.4. Пусть ξn ⇒ ξ и an → a, где {an } — числовая последовательность, a ∈ R. Доказать, что an ξn ⇒ aξ.17.5. Пусть ξn ⇒ ξ и ηn ⇒ η, причём, во-первых, ξn и ηn независимыпри каждом n и, во-вторых, ξ и η также независимы. Доказать, что:а) ξn + ηn ⇒ ξ + η;б) ξn ηn ⇒ ξη;в) f (ξn , ηn ) ⇒ f (ξ, η) для любой непрерывной функции f (x, y).p17.6.
Пусть ξn ⇒ ξ и ηn → 0. Доказать, что:а) ξn + ηn ⇒ ξ;б) ξn ηn ⇒ 0.17.7. Доказать, что сходимость по вероятности последовательностислучайных величин влечет слабую сходимость последовательности соответствующих распределений.17.8. Доказать, что из слабой сходимости распределений не вытекает, вообще говоря, сходимость по вероятности последовательности случайных величин.p17.9. Пусть ξn ⇒ c = const. Доказать, что тогда ξn → c.17.10. Пусть {Fn } — последовательность вырожденных распределений, причём Fn сосредоточено в точке xn .
Доказать, что слабая сходимость Fn ⇒ F влечет существование предела lim xn = x и вырожденn→∞ность распределения F в точке x. Доказать обратное.17.11. Пусть {Fn } — последовательность целочисленных распределений. Доказать, что Fn ⇒ F тогда и только тогда, когда Fn ({i}) →F ({i}) для каждого целого i.17.12.
Пусть F — мера Лебега на отрезке [0, 1], а распределение Fnприписываетвероятность 1/n точкам, выбранным по одной в интерваi−1 iлах,, i = 1, . . . , n. Доказать, что Fn ⇒ F .n n17.13. Привести пример последовательности распределений {Fn } иограниченной функции g таких, что Fn ⇒ F , но не выполняется соотношениеZ∞Z∞g(x)Fn (dx) →g(x)F (dx).−∞−∞17.14. Привести пример последовательности распределений {Fn } инепрерывной функции g таких, что Fn ⇒ F , но не выполняется соотно-§ 17.
слабая сходимостьшениеZ∞71Z∞g(x)Fn (dx) →−∞g(x)F (dx).−∞17.15. Пусть {Fn } — последовательность распределений в R. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:1) Fn ⇒ F ;2) lim sup Fn (B) 6 F (B) для любого замкнутого множества B;n→∞3) lim inf Fn (B) > F (B) для любого открытого множества B.n→∞17.16. Пусть {Fn } — последовательность распределений и пусть длялюбой ограниченной равномерно непрерывной функции gZ∞Z∞limg(x)Fn (dx) =g(x)F (dx).n→∞−∞−∞Доказать, что Fn ⇒ F .17.17.
Пусть {Fn } — последовательность распределений и пусть длялюбой финитной бесконечно дифференцируемой функции gZ∞Z∞limg(x)Fn (dx) =g(x)F (dx).n→∞−∞−∞Доказать, что Fn ⇒ F .17.18. Пусть F , F1 , F2 , . . . — абсолютно непрерывные распределенияс плотностями p, p1 , p2 , . . . соответственно. Доказать, что если pn (x) →p(x) при n → ∞ равномерно на любом компакте, то Fn ⇒ F . Верно лиобратное?17.19. Пусть ξn — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, чтоmax(ξ1 , . . . , ξn )√⇒ 0.n17.20. Пусть ξ1 , ξn , .
. . — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром 1.Положим ζn = max(ξ1 , . . . , ξn ).а) Найти предельное распределение nγ ζn при γ < 0.б) Найти такие постоянные an , что законы распределения ζn − anстремятся к невырожденному предельному закону.17.21. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, каждаяиз которых имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Положим72отдел iv. сходимость случайных величинζn = min(ξ1 , . . . , ξn ).а) Найти предельное распределение nγ ζn при γ ∈ R.б) Найти такие постоянные an , что законы распределения ζn − anстремятся к невырожденному предельному закону.17.22. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины с непрерывной функцией распределения F . Положим Mn = max(ξ1 , . . .
, ξn ) и ζn = n(1 − F (Mn )). Найти предельноераспределение ζn .§ 18. Сходимость средних и в среднемГоворят, что последовательность случайных величин {ξn } сходится в среднемпорядка α > 0 к случайной величине ξ, если E|ξn − ξ|α → 0 при n → ∞.Последовательность случайных величин {ξn } называется равномерно интегрируемой, если sup E{|ξn |; |ξn | > x} → 0 при x → ∞.n18.1. Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо порядкавытекает сходимость по вероятности.18.2. Пусть α > 0. Доказать, что из сходимости с вероятностью 1 невытекает, вообще говоря, сходимость в среднем порядка α.18.3. Пусть x ∈ R и {ξn } — последовательность случайных величинс конечными средними значениями такая, что E|ξn | → E|ξ| при n → ∞.Выяснить, следует ли отсюда сходимость E|ξn + x| → E|ξ + x|?18.4.
Пусть |ξn | 6 c < ∞ п. н. при всех n и ξn → ξ по вероятностипри n → ∞. Доказать, что E|ξn − ξ|α → 0 при любом α > 0.18.5. Пусть E|ξn −ξ|α → 0 при n → ∞. Доказать, что если 0 < β < α,то E|ξn − ξ|β → 0.18.6. Пусть ξ, ξ1 , ξ2 , . . . — неотрицательные случайные величинытакие, что Eξn → Eξ и P{ξ > ξn + ε} → 0 при n → ∞ для любого ε > 0.Доказать, что E|ξn − ξ| → 0.18.7. Пусть |ξn − ξ| 6 ηn п. н.
для любого n, E|ξ| < ∞ и Eηn → 0при n → ∞. Доказать, что ξn → ξ по вероятности и Eξn → Eξ.18.8. Пусть α > 0 и E|ξn |α < ∞ при всех n. Доказать, что следующиеутверждения эквивалентны:1) ξn → ξ по вероятности и E|ξn |α → E|ξ|α < ∞ при n → ∞;2) E|ξn − ξ|α → 0 при n → ∞.18.9. Пусть случайные величины ξ, ξ1 , ξ2 , .
. . таковы, что ξn ⇒ ξ иDξn → Dξ. Доказать, что Eξn → Eξ.18.10. Пусть ξn ⇒ ξ. Доказать, что lim inf Dξn > Dξ.n→∞§ 18. сходимость средних и в среднем7318.11. Пусть последовательность {ξn } случайных величин равномерно интегрируема. Доказать, что sup E|ξn | < ∞.n18.12. Пусть последовательность {ξn } случайных величин такова,что sup E|ξn |1+δ < ∞ при некотором δ > 0. Доказать, что эта последоnвательность равномерно интегрируема.18.13.
Пусть {ξn } — последовательность случайных величин. Доказать, что следующие условия эквивалентны:1) последовательность {ξn } равномерно интегрируема;2) существует неотрицательная функция f (x) такая, что f (x) → ∞при x → ∞ и sup E|ξn |f (|ξn |) < ∞.n18.14. Пусть последовательность {ξn } случайных величин такова,что P{|ξn | > x} 6 P{|η| > x} для любого x > 0, причём E|η| < ∞.Доказать, что {ξn } равномерно интегрируема.18.15.
Пусть {ξn } — равномерно интегрируемая последовательностьслучайных величин такая, что распределение ξn слабо сходится к распределению случайной величины ξ. Доказать, что существует Eξ и чтоEξn → Eξ при n → ∞.18.16. Пусть {ξn } — последовательность неотрицательных случайных величин с конечными средними значениями такая, что распределение ξn слабо сходится к распределению случайной величины ξ иEξn → Eξ < ∞ при n → ∞. Доказать, что эта последовательностьравномерно интегрируема.18.17.
Пусть ξ, ξ1 , ξ2 , . . . — неотрицательные случайные величинытакие, что ξn → ξ по вероятности и Eξn → Eξ < ∞ при n → ∞.Доказать, что E|ξn − ξ| → 0.18.18. Пусть ξn ⇒ ξ при n → ∞. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:1) последовательность {ξn } равномерно интегрируема;2) E|ξn | < ∞, E|ξ| < ∞ и при n → ∞E max(0, ξn ) → E max(0, ξ),E min(0, ξn ) → E min(0, ξ).18.19. Пусть независимые случайные величины ξ1 , ξ2 , . .
. одинаково распределены и имеют конечное среднее значение; положим Sn =ξ1 + · · · + ξn . Доказать, что последовательность случайных величин{Sn /n, n > 1} равномерно интегрируема.p18.20. Пусть ξn → ξ, причём lim sup E|ξn | 6 E|ξ| < ∞. Доказать, чтоn→∞последовательность случайных величин {ξn } равномерно интегрируемаи lim E|ξn − ξ| → 0.n→∞74отдел iv. сходимость случайных величинp18.21. Пусть ξn → ξ, причём lim sup Eξn2 6 Eξ 2 < ∞.
Доказать, чтоn→∞последовательность случайных величин {ξn } равномерно интегрируемаи lim E(ξn − ξ)2 → 0.n→∞ОТДЕЛ VЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛВсюду в настоящем отделе через Sn = ξ1 +· · ·+ξn обозначается частичная суммапервых n элементов последовательности случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . . Пусть Eξnсуществует при любом n. Говорят, что для последовательности ξ1 , ξ2 , . . . выполнензакон больших чисел (ЗБЧ), если при n → ∞Sn − ESn p→ 0.n§ 19. Независимые одинаково распределённыеслагаемыеВ настоящем параграфе всюду предполагается, что {ξn } — последовательностьнезависимых одинаково распределённых случайных величин.19.1.
Пусть f : [0, 1] → R — непрерывная функция. Доказать, чтополиномы Бернштейна nXiCni xi (1 − x)n−iBn (x) =fni=0стремятся к f (x) при n → ∞ равномерно по x ∈ [0, 1].19.2. Пусть f : [0, ∞) → R — непрерывная ограниченная функция,K — компакт в [0, ∞). Доказать, что полиномы ∞Xi (nx)i −nxeBn (x) =fni!i=0стремятся к f (x) при n → ∞ равномерно по x ∈ K.19.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
