1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . имеют одинаковое невырожденное распределение с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти82отдел vi. предельные теоремыDξ1 , еслиS1√n > 1 = .n→∞3n22.5. Пусть ξnXимеет равномерное на отрезке [an − 1, an + 1] распределение, причём|an | < ∞. Найтиlim PnSnlim P 0 < √ < 1 .n→∞n√√22.6. Пусть ξn принимает значения n, − n и 0 с вероятностями1/2n, 1/2n и 1 − 1/n соответственно. Будет ли выполнена ЦПТ дляпоследовательности {ξn }?22.7. Пусть ξn принимает значения n, −n и 0 с вероятностямиа) 1/2n2 , 1/2n2 и 1 − 1/n2 ;в) 1/4, 1/4 и 1/2;√√√г) 2−n , 2−n и 1 − 2−nб) 1/2 n, 1/2 n и 1 − 1/ n;соответственно. Выполнена ли ЦПТ для последовательности {ξn }?22.8.
Пусть ξn принимает значения 2n и −2n с вероятностью 1/2каждое. Выполнена ли ЦПТ для последовательности {ξn }?22.9. Пусть ξn принимает значения 2n , −2n и 0 с вероятностями−(2n+1)2, 2−(2n+1) и 1 − 2−2n соответственно. Выполнена ли ЦПТ дляпоследовательности {ξn }?22.10. Пусть ξn принимает значения 1 и −1 с вероятностью (1 −2−n )/2 каждое и значения 2n и −2n с вероятностью 2−n−1 каждое. Доказать, что для последовательности {ξn } выполнена ЦПТ.22.11. Пусть ξn принимает значения nλ и −nλ с вероятностью 1/2каждое.
Выяснить, при каких значениях λ для последовательности {ξn }выполнена ЦПТ.22.12. Пусть ξn принимает 2n + 1 значений 0, ±Ln , ±2Ln , . . . , ±nLnс вероятностью 1/(2n + 1) каждое. Найти условия для констант Ln ,обеспечивающие выполнение ЦПТ для последовательности {ξn }.22.13. Пусть ξn принимает значения an , −an , и 0 с вероятностямиpn , pn и 1 − 2pn соответсвенно. Найти условия для констант an и pn ,обеспечивающие выполнение ЦПТ для последовательности {ξn }.√22.14.√ Пусть, когда n — точный квадрат, ξn принимает значения− n и n с вероятностью 1/2 каждое, при остальных n величина ξnпринимает значения −1 и 1 с вероятностью 1/2 каждое.
Выполнена лиЦПТ для последовательности {ξn }?22.15. Пусть случайная величина ηn имеет распределение Пуассонас параметром√ n. Выяснить, существует ли предел при n → ∞ отношения(ηn − n)/ n?§ 23. численные задачи8322.16. Доказать, что при n → ∞nXnk1e−n→ .k!2k=022.17. Пусть случайная величина ηn имеет биномиальное распределение с параметрами n и 1/2.√ Выяснить, существует ли предел приn → ∞ отношения (2ηn − n)/ n?22.18.
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . одинаково распределены, причём Eξ1 = 0 иDξ1 = 1. Найти предельное распределение случайных величин√ ξ1 + · · · + ξnξ1 + · · · + ξn.ηn = n 2и ζn = p 2ξ1 + · · · + ξn2ξ1 + · · · + ξn222.19. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . имеют распределение Пуассона с параметромλ. Существует ли слабый предел при n → ∞ выраженияn1 X√(ξ2i−1 − ξ2i )?n i=122.20. Пусть ξ и η — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией.
Доказать, что если величиныξ + η и ξ − η независимы, то ξ и η имеют нормальное распределение(возможно, вырожденное).22.21. Пусть ξ и η — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним значением и√конечной дисперсией.Используя ЦПТ доказать, что если ξ и (ξ + η)/ 2 имеют одинаковоераспределение, то это распределение — нормальное.22.22. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . одинаково распределены, причём Eξ1 = 0 иDξ1 = σ 2 > 0.
Сходятся ли по вероятности при n → ∞ величиныξ1 + · · · + ξn√?n§ 23. Численные задачи на использованиецентральной предельной теоремыи теоремы ПуассонаПусть Sn = ξ1 + · · · + ξn , где ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение со средним значением a и дисперсией σ 2 ∈ (0, ∞).Тогда выполнена центральная предельная теорема (ЦПТ), т. е.
для любого веще-84отдел vi. предельные теоремыственного x имеет место сходимостьZx −y2 /2eSn − an√√P<x →dy ≡ Φ(x) при n → ∞.2πnσ 2−∞Пусть независимые случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . принимают значения 1 и 0 свероятностями p и 1 − p соответственно, причём p 6 1/2. В этом случае при сравнительно больших значениях λ = np (обычно при λ > 9) используется нормальноеприближение!k − npP {Sn 6 k} ≈ Φ p,np(1 − p)а при малых значениях λ — приближение ПуассонаP {Sn 6 k} ≈kXλi −λe .i!i=0Таблицы нормального распределения и распределения Пуассона см.
в Приложениях.23.1. Известно, что левши составляют в среднем 1%. Оценить вероятность того, что по меньшей мере четверо левшей окажется средиа) 200 человек;б) 10000 человек.23.2. В некоторой группе людей дальтоники составляют 1%. Как велика должна быть случайная выборка, чтобы вероятность присутствияв ней хотя бы одного дальтоника была не меньше 0,95?23.3. В задаче 23.2 найти вероятность того, что среди 100 человека) нет дальтоников;б) дальтоников два или больше.23.4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001.Для поражения цели необходимо не менее двух попаданий. Произведено5000 выстрелов.
Найти вероятность поражения цели.23.5. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 10 тысяч новорожденных число мальчиков будет не больше, чем девочек?23.6. В стране насчитывается 10 млн. избирателей, из которых 5,5млн. принадлежит к партии А, и 4,5 млн. принадлежит к партии В.Назначаются жребием 20000 выборщиков. Какова вероятность того, чтобольшинство выборщиков окажется сторонниками партии В?23.7. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее 3 семянсорняков; не более 16 семян сорняков; ровно 6 семян сорняков?23.8. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.23.9. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность сме-§ 23.
численные задачи85рти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причём каждый застрахованный внес 1 рубль20 копеек страховых взносов за год. В случае смерти застрахованногостраховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Каковавероятность, что:а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;б) его доход превысит 6000 рублей; 4000 рублей?23.10. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак)равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук.
Чему равнавероятность того, что:а) в коробке не окажется бракованных сверл;б) число бракованных сверл окажется не более 2?Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку длятого, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, в ней было не менее 100исправных?23.11. Сколько изюминок в среднем должны содержать калорийныебулочки для того, чтобы вероятность наличия в булочке хотя бы однойизюминки была не менее 0,99?23.12. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа.Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно бытьв каждом гардеробе для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 всезрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который онивошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая паранезависимо от других выбирает с вероятностью 1/2 любой из входов.
Насколько можно будет сократить число мест в гардеробе, если зрителибудут приходить поодиночке и также независимо друг от друга с равнойвероятностью выбирать любой из входов?23.13. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз вмесяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одногораза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).23.14. Некоторая машина состоит из 10 тысяч деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью pi , причём для n1 = 1000 деталей p1 = 0, 0003, для n2 = 2000деталей p2 = 0, 0002 и для n3 = 7000 деталей p3 = 0, 0001. Машина неработает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятностьтого, что машина не будет работать.23.15.
Для проверки влияния нового лекарства на кровяное давление у 100 пациентов было измерено давление до и после приема ле-86отдел vi. предельные теоремыкарства. При этом оказалось, что в 32 случаях давление после приемалекарства повысилось, а в 68 случаях понизилось. Можно ли считатьустановленным, что это лекарство влияет на кровяное давление? Какова вероятность, что чисто случайные колебания давления вызовут неменьшее отклонение от 50?23.16. Игральная кость брошена 1000 раз. Найти пределы, в которых с вероятностью не менее 0,99 лежит суммарное число очков.23.17.
Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая сумма выпавших очков не превысит 700. Оценить вероятность того, что дляэтого потребуется более 210 бросаний; менее 180 бросаний; от 190 до 210бросаний?23.18. Оценить вероятность того, что число выпадений единицы при12000 бросаний игральной кости заключено между 1900 и 2150.23.19. При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмерку — 0,1; в семерку — 0,05;в шестерку — 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятностьтого, что он набрал более 980 очков; более 950 очков?23.20.
При составлении статистического отчета надо сложить 104чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10−m . Предполагая, что ошибки, возникающие при округлении чисел, взаимно независимы и равномерно распределены в интервале (−0, 5 · 10−m , 0, 5 · 10−m ),найти пределы, в которых с вероятностью не менее 0,997 будет лежатьсуммарная ошибка.23.21. Мера длины фут, как видно из названия, — длина ступни. Но,как известно, размеры ног бывают разные.
Немцы в XVI в. выходилииз положения следующим способом. В воскрестный день ставили рядом16 первых вышедших из церкви мужчин. Сумма длин их левых ступней делилась на 16. Средняя длина и была «правильным и законнымфутом». Известно, что размер стопы взрослого мужчины — случайнаявеличина, имеющая нормальное распределение со средним значением262,5 мм и квадратичным отклонением σ = 12 мм.
Найти вероятностьтого, что два «правильных и законных» значения фута, определенныхпо двум различным группам мужчин, отличаются более чем на 5 мм.Сколько нужно было бы взять мужчин для того, чтобы с вероятностьюне менее 0,99 средний размер их ступней отличался от 262,5 мм менеечем на 0,5 мм?23.22. На улице стоит человек и продает газеты. Предположим, чтокаждый из проходящих мимо людей покупает газету с вероятностью1/3.
Пусть ξ означает число людей, прошедших мимо продавца за время,пока он продавал первые 100 экземпляров газет. Найти приближенное§ 23. численные задачи87распределение ξ.23.23. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0,2; 4 с вероятностью 0,4; 3 с вероятностью 0,3 и 2 с вероятностью 0,1.
За времяобучения он сдает 40 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 лежит средний балл студента.23.24. Урожайность куста картофеля равна 0 кг с вероятностью 0,1;1 кг с вероятностью 0,2; 1,5 кг с вероятностью 0,2; 2 кг с вероятностью0,3; 2,5 кг с вероятностью 0,2. На участке посажено 900 кустов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
