1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 18
Текст из файла (страница 18)
цепи маркова25.13. Пусть {ξn } — цепь Маркова со значениями в Z+ и с переходными вероятностями j−i −λλ e /(j − i)!, если j > i,pij =0иначе.Доказать, что цепь {ξn } не имеет инвариантного распределения.25.14. Пусть {ξn } — случайное блуждание с отражением в точках0 и N , т. е. цепь Маркова со значениями в {0, . . . , N } и с переходнымивероятностями pi,i+1 = pi,i−1 = 1/2 если 0 < i < N , p0,1 = pN,N −1 = 1.Доказать, что цепь {ξn } эргодична и найти её инвариантное распределение.25.15. Рассмотрим процесс случайного блуждания на целочисленном отрезке [0, N ], где pi,i+1 = 1 − pi,i−1 = p при i = 1, .
. . , N − 1 иp0,0 = pN,N = 1. Найти вероятность поглощения состояниями 0 или N ,если начальным состоянием является k.25.16. Пусть P = ||pij || — матрица переходных вероятностей неприводимой цепи Маркова. Доказать, что если матрица P идемпотентна (т.е.
P = P 2 ), то pij = pjj для всех i и j и цепь непериодична.25.17. Доказать, что если число N состояний цепи Маркова конечнои состояние j достижимо из состояния i, то оно достижимо не более чемза N − 1 шаг.25.18. Доказать, что неприводимая цепь Маркова, у которой положителен хотя бы один диагональный элемент матрицы переходов, неможет быть периодической.25.19. Могут ли все состояния цепи Маркова с конечным числомсостояний быть несущественными?25.20. Могут ли все состояния цепи Маркова со счётным числомсостояний быть несущественными?25.21.
Показать, что у неэргодичной цепи Маркова может существовать инвариантное распределение, причём единственное.25.22. Рассмотрим неразложимую цепь Маркова со множеством состояний {0, 1, 2, . . .}. Доказать, что для невозвратности цепи необходимои достаточно, чтобы система уравнений∞Xui =pij uj , i > 1,j=0имела ограниченное решение, не равное тождественно постоянной.25.23.
Рассмотрим неразложимую цепь Маркова со множеством состояний {0, 1, 2, . . .}. Доказать, что для возвратности цепи достаточносуществования последовательности u1 , u2 , . . . такой, что ui → ∞ при§ 25. классификация состоянийi → ∞ и для всех i 6= 0ui >∞X95pij uj .j=025.24. Рассмотрим неразложимую цепь Маркова со множеством состояний {0, 1, 2, .
. .}. Доказать, что для положительной возвратностицепи необходимо и достаточно, чтобы система уравнений∞Xui pij , j = 0, 1, . . . ,uj =i=0имела не равное тождественно постоянной решение, для которого∞X|ui | < ∞.i=025.25. Рассмотрим цепь Маркова ξn со значениями 0, 1, 2, . . . , m − 1и с матрицей вероятностей перехода за один шагp0 p1 . . . pm−1 pm−1 p0 .
. . pm−2 , .. .. .... p 1 p 2 . . . p0Pгде 0 6 pi < 1, pi = 1. Доказать, что при любом i вероятность P{ξn =i} сходится к 1/m при n → ∞.25.26. Рассмотрим цепь Маркова ξn со значениями 0, 1, 2, . . . и сматрицей вероятностей перехода за один шагp 0 p1 p2 . . . 1 0 0 ... 0 1 0 .... 0 0 1 ......
... ... ...Выяснить условия возвратности и положительной возвратности состояния 0.25.27. Рассмотрим цепь Маркова ξn со значениями 0, 1, 2, . . . и сматрицей вероятностей перехода за один шагp0 1 − p0000 ... p10 1 − p100 .... p200 1 − p2 0 . .
. ... ......... ... ...Выяснить условия возвратности и положительной возвратности состояния 0.96отдел vii. цепи маркова25.28. В условиях задачи 25.26 выяснить условия на вероятности{pi } и функцию f : {0, 1, 2, . . .} → R, при которых для последовательности f (ξn )а) выполнен закон больших чисел;б) выполнена центральная предельная теорема.25.29. В условиях задачи 25.27 выяснить условия на вероятности{pi } и функцию f : {0, 1, 2, .
. .} → R, при которых для последовательности f (ξn )а) выполнен закон больших чисел;б) выполнена центральная предельная теорема.25.30. Доказать, что если собственное значениеλ конечной стоха√стической матрицы по модулю равно 1, то λ = n 1, где n — натуральноечисло.25.31. Доказать, что если конечная стохастическая матрица имеетдва различных собственных значения, по модулю равных единице, тосоответствующая цепь Маркова неэргодична.25.32. Пусть ξn — эргодическая цепь Маркова со значениями 0, 1,2, . .
. и с финальными вероятностями {πi }∞i=0 . Положимζn =nXI{ξi = k}.i=1Доказать, что ζn /n → πk по вероятности.25.33. Пусть ξn — эргодическая цепь Маркова со значениями 0, 1, 2,. . . . Доказать, что для любых множеств A и B при |n − m| → ∞ имеетместо сходимость|P{ξn ∈ A, ξm ∈ B} − P{ξn ∈ A}P{ξm ∈ B}| → 0.25.34. Цепь Маркова ξn принимает значения на отрезке [0, 1], причём если ξn = x, то ξn+1 равномерно распределена на отрезке [1 − x, 1].Является ли эта цепь эргодической? Если «да», найти инвариантноераспределение цепи.О Т Д Е Л VIIIУСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ.МАРТИНГАЛЫ§ 26.
Условное математическое ожиданиеПусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство, ξ — случайная величина с конечным математическим ожиданием и A ⊆ F — некоторая σ-алгебра. Условнымматематическим ожиданием (условным средним значением) E{ξ|A } случайнойвеличины ξ относительно σ-алгебры A называется A-измеримая случайная величина ζ такая, что E{ζ; A} = E{ξ; A} для любого A ∈ A.Условным математическим ожиданием E{ξ|η} случайной величины ξ относительно случайной величины η называется E{ξ|σ(η)}, где σ(η) — σ-алгебра, порождённая случайной величиной η.26.1.
Пусть A — алгебра, состоящая из двух элементов: ∅ и всегопространства Ω. Найти E{ξ|A }.26.2. Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=1ξ = −11/85/24ξ=01/121/6ξ=17/24 ,1/8где в пересечении столбца ξ = i и строки η = j находится вероятностьP{ξ = i, η = j}. Найти:а) E{ξ|η};г) E{ξ|η 3 };б) E{η|ξ};д) E{η|ξ 2 };2в) E{ξ|η };е) E{η|ξ 3 }.26.3. Решить задачу 26.2, если двумерное распределение случайныхвеличин ξ и η задается с помощью таблицыη = −1η=2ξ = −21/61/6ξ=01/61/6ξ=11/6 .1/698отдел viii.
условное математическое ожидание26.4. Решить задачу 26.2, если двумерное распределение случайныхвеличин ξ и η задается с помощью таблицыη = −2η=0η=1ξ = −11/81/121/8ξ=01/121/121/12ξ=17/24.1/161/1626.5. На вероятностном пространстве (Ω, F, P), где Ω = [0, 1], F — σалгебра борелевских подиножеств и P — мера Лебега, задана случайнаявеличина ξ.
Пусть A — σ-алгебра, порождённая множествами [0, 1/3),{1/3} и (1/3, 1/2). Найти E{ξ|A }, если:а) ξ = ω;г) ξ = 1 − ω;б) ξ = sin πω;д) ξ = ω2 ;1, ω ∈ [0, 1/3],0, ω ∈ [0, 2/3],в) ξ =е) ξ =2, ω ∈ (1/3, 1];1, ω ∈ (2/3, 1].26.6. На вероятностном пространстве (Ω, F, P), где Ω = [0, 1], F — σалгебра борелевских подмножеств и P — мера Лебега, задана случайнаявеличина ξ = ω. Найти E{ξ|A }, если A —а) σ-алгебра всех борелевских подмножеств отрезка [0, 1], симметричных относительно точки 1/2;б) σ-алгебра, порождённая множествами [0, 1/3] и [1/3, 2/3];в) σ-алгебра, порождённая случайной величиной η = min{2ω, 1).26.7. На вероятностном пространстве (Ω, F, P), где Ω = [0, 1], F —σ-алгебра борелевских подмножеств и P — мера Лебега, заданы случайные величины ξ = ω 2 и−1, ω < 1/2,η=1, ω > 1/2.Построить графики E{ξ|η} и E{ξ|η 2 }.26.8.
Пусть случайная величина ξ принимает не более n значений.Верно ли, что E{ξ|A } также принимает не более n значений?26.9. Обязана ли случайная величина E{ξ|A } быть измеримой относительно σ(ξ)?26.10. Пусть ξ и η — две независимые одинаково распределённыеслучайные величины с конечным математическим ожиданием. НайтиE{ξ|ξ + η}.26.11. Верно ли следующее утверждение: если ξn → ξ почти наверpное, то E{η|ξn } → E{η|ξ} для любой случайной величины η?26.12. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром 1, а t > 0.
Найти:§ 26. условное математическое ожидание99а) E{ξ| min(ξ, t)};б) E{ξ| max(ξ, t)}.26.13. Решить задачу 26.12, если случайная величина ξ имеет равномерное распределение в отрезке [0, 2].26.14. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальноераспределение. Найти E{ξ|ξ 2 }.26.15. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Найти E{ξ 2 + η 2 |ξ + η}.26.16. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют геометрическое распределение с параметром p каждая. Найти условноераспределение P{ξ = k|ξ + η = n}.26.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
