1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 21
Текст из файла (страница 21)
, η−1 , η0 , η1 , . . . — независимые случайные величи-§ 32. ветвящиеся процессы111ны, имеющие стандартное нормальное распределение. Положим ξn =ηn−2 + ηn−1 + ηn для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да», найти разложение этойпоследовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейныйпрогноз ξ1 по наблюдениям {ξn , n 6 0}.31.8. Пусть . . .
, η−1 , η0 , η1 , . . . — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [−1, 1]. Положимξn = ηn−1 ηn для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да», найти разложение этой последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейныйпрогноз ξ1 по наблюдениям {ξn , n 6 0}.31.9. Пусть w(u) — стандартный винеровский процесс. Найти распределения следующих случайных последовательностей:ZπZπа) ξ(n) =einu dw(π + u);б) ξ(n) =e2inu dw(π + u).−π−π§ 32. Ветвящиеся процессы с дискретным временем32.1. Пусть ξ0 , ξ1 , . . .
— ветвящийся процесс, ξ0 = 1, Eξ1 = m. НайтиE{ξn+k |ξn }.32.2. Найти производящую функцию числа частиц в n-м поколении,если производящая функция потомков одной частицы равна:а) pz + 1 − p;в) (1 − p)/(1 − pz).б) 1 − p(1 − z)α , 0 < α < 1;32.3. Найти вероятность вырождения ветвящегося процесса, еслипроизводящая функция числа потомков одной частицы равна:а) pz + 1 − p;г) 1 − p + pz 2 ;αб) 1 − p(1 − z) , 0 < α < 1;д) (1 + z + z 2 + z 3 )/4.в) (1 − p)/(1 − pz);32.4. В задаче 32.3 а) — в) найти распределение времени вырождения ветвящегося процесса.32.5.
Пусть ξn — ветвящийся процесс с начальным размером популяции N и производящей функцией ϕ(z) = 1−p+pz. Найти распределениевремени вырождения процесса.32.6. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . — ветвящийся процесс, ξ0 = 1. Доказать, чтоP{ξn > N при некотором 1 6 n 6 m − 1|ξm = 0} 6 PN {ξm = 0}.112отдел ix. случайные процессы32.7. Найти производящую функцию общего числа частиц в первыхn поколениях, если производящая функция непосредственных потомководной частицы равна pz + 1 − p.32.8. Пусть частица имеет k прямых потомков с вероятностью pk =bck−1 , k = 1, 2, .
. . , и p0 = 1 − p1 − p2 − · · ·, где b, c > 0 и b + c < 1. Найтипроизводящую функцию непосредственных потомков одной частицы.32.9. Рассмотрим ветвящийся процесс ξ0 , ξ1 , . . . с производящейфункцией1−b−cbzϕ(z) =+,1−c1 − czгде 0 < c < b + c < 1 и 1 − b − c > c(1 − c). Найтиlim P{ξn = k|ξn > 0}.n→∞32.10.
Пусть в ветвящемся процессе ξ0 , ξ1 , . . . из задачи 32.9 выполняется 1 − b − c = c(1 − c). Найтиlim P{ξn 6 nx|ξn > 0}.n→∞ПРИЛОЖЕНИЯ1. Важнейшие дискретные распределенияТипраспределенияи обозначениеПараметрыВозможныезначения kВероятностьP{ξ = k}Бернулли, Bpp ∈ [0, 1]k = 0, 1P{ξ = 0} = 1 − pP{ξ = 1} = pБиномиальное,Bm,pm ∈ {1, 2, . . .},p ∈ [0, 1]k = 0, . . . , mk pk (1 − p)m−kCmОтрицательноебиномиальное,B m,pm ∈ {1, 2, . . .},p ∈ (0, 1]k = 0, 1, 2, . .
.kCm+k−1(1 − p)k pmГеометрическое,Gpp ∈ (0, 1]k = 0, 1, 2, . . .p(1 − p)kПуассона, Πλλ ∈ (0, ∞)k = 0, 1, 2, . . .λk −λek!114приложения2. Таблица распределения ПуассонаВ таблице приведены значения функции Πλ (x) =x=λ = 0, 2λ = 0, 4λ = 0, 6λ = 0, 8λ=1λ = 1, 5λ=2λ = 2, 5λ=3λ = 3, 5λ=4λ=5λ=6λ=7λ=8λ=9λ = 101,181,330,451,551,632,777,865,918,950,970,982,993,998,999,9997,9999,99992,018,062,122,191,264,442,594,713,801,864,908,960,983,993,997,999,9995x=λ=6λ=7λ=8λ=9λ = 10λ = 11λ = 1211,043,099,184,294,417,540,65312,020,053,112,197,303,421,5383,001,008,023,047,080,191,323,456,577,679,762,875,938,970,986,994,99713,009,027,064,124,208,311,424∞Xλi −λe , x = 1, 2, . .
.i!i=x45678910,001,003,009,019,066,143,242,353,463,567,735,849,918,958,979,990,001,004,019,053,109,185,275,371,560,715,827,900,945,971,001,004,017,042,084,142,215,384,554,699,809,884,933,001,005,014,034,065,111,238,394,550,687,793,870,001,004,012,027,051,133,256,401,547,676,780,001,004,010,021,068,153,271,407,544,667,001,003,008,032,084,170,283,413,54214,004,013,034,074,136,219,31815,001,006,017,041,083,146,22816,001,002,008,022,049,093,15617181920,001,004,011,027,056,101,002,005,014,032,063,001,002,007,018,037,001,003,009,021Замечание 1.
Значения вероятностей в пустых клетках таблиц меньше0,0005.Замечание 2. В учебниках и задачниках по теории вероятностей используются и другие варианты таблиц распределения Пуассона. Например, приводятся таблицы значений функций (x = 0, 1, 2, . . .)xXλi −λλx −λeи πλ (x) =e .Πλ (x) =i!x!i=0Эти функции связаны с Πλ (x) при любом x = 0, 1, 2, .
. . следующими равенствами: Πλ (x) = 1 − Πλ (x + 1) и πλ (x) = Πλ (x) − Πλ (x + 1).115приложения3. Важнейшие плотности распределенияТипраспределенияи обозначениеПараметрыСтандартноенормальное, N0,1Областьизменения yПлотностьв точке yy∈R21√ e−y /22π1e−(y−a)Невырожденноенормальное, Na,σ2a ∈ R,σ2 > 0y∈R√Равномерное наотрезке [a, b], Ua,ba, b ∈ R,a<by ∈ [a, b]y 6∈ [a, b](b − a)−10Бета-распределение,α, β > 0y ∈ [0, 1]Bα,β2πσ 2y 6∈ [0, 1]α>0y>0y<0αe−αy0Лапласа, Lαα>0y∈R(α/2)e−α|y|Гамма, Γα,βα > 0, β > 0y>0y<0a ∈ R,/2σ 2Γ(α+β) α−1y(1−y)β−1Γ(α)Γ(β)0Показательное (экспоненциальное), EαКоши, Ca,σ22y∈Rαβ β−1 −αyyeΓ(β)0σπ(σ 2 + (y − a)2 )σ>0Хи-квадрат с n сте-n ∈ {1, 2, ...}пенями свободы, χ2ny>0y<0(1/2)n/2 n/2−1 −y/2yeΓ(n/2)0n ∈ {1, 2, ...}y∈Rcn (1 + y 2 /n)−(n+1)/2 ,Γ((n+1)/2)cn = √nπΓ(n/2)Вейбулла, Wα,θα > 0, θ > 0y>0y<0θαy α−1 e−θy0Парето, Pβ,θβ > 0, θ > 0y>θy<θβθβ y −(β+1)0Стьюдента с n степенями свободы, tnα116приложения4.
Таблица нормального распределенияZ∞1В таблице приведены значения функции Φ(y) = √2πe−z2/2dz.yy0,00,10,20,30,40,500,460,421,382,3451,496,456,417,378,3412,492,452,413,374,3373,488,448,409,371,3344,484,444,405,370,3305,480,440,401,363,3266,476,436,397,359,3237,472,433,394,356,3198,468,429,340,352,3169,464,425,386,348,3120,50,60,70,80,9,309,274,242,212,184,305,271,239,209,181,302,268,236,206,179,298,264,233,203,176,295,261,230,200,174,291,258,227,198,171,288,255,224,195,169,284,251,221,192,166,281,248,218,189,164,278,245,215,187,1611,01,11,21,31,4,159,136,115,097,081,156,134,113,095,079,154,131,111,093,078,152,129,109,092,076,149,127,107,090,075,147,125,106,089,074,145,123,104,087,072,142,121,102,085,071,140,119,100,084,069,138,117,099,082,0681,51,61,71,81,9,067,055,045,036,029,066,054,044,035,028,064,053,043,034,027,063,052,042,034,027,062,051,041,033,026,061,049,040,032,026,059,048,039,031,025,058,047,038,031,024,057,046,038,030,024,056,046,037,029,0232,02,12,22,32,4,023,018,014,011,008,022,017,014,010,008,022,017,013,010,008,021,017,013,010,008,021,016,013,010,007,020,016,012,009,007,020,015,012,009,007,019,015,012,009,007,019,015,011,009,007,018,014,011,008,0062,52,62,72,82,9,006,005,003,003,002,006,005,003,002,002,006,004,003,002,002,006,004,003,002,002,006,004,003,002,002,005,004,003,002,002,005,004,003,002,002,005,004,003,002,001,005,004,003,002,001,005,004,003,002,001Φ(3) = 0, 00135; Φ(4) = 0, 00003167; Φ(5) = 0, 0000002867; Φ(6) = 0, 00000000099Замечание.
В учебниках и задачниках по теории вероятностей используются и другие варианты таблиц нормального распределения. Например,приводятся таблицы значений функций (y > 0)Z−yZy211−z 2 /2Φ(−y) = √edz и Φ1 (y) = √e−z /2 dz.2π2π−∞0Эти функции связаны с Φ(y) при любом y > 0 следующими равенствами:Φ(−y) = Φ(y) и Φ1 (y) = 1/2 − Φ(y).СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫПри подготовке сборника задач были использованы, в частности, следующие источники:1. Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. М.: Высшая школа,1986.2. Боровков А.
А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.3. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1969.5. Гиленко Н. Д. Задачник по теории вероятностей. М.: Учпедгиз, 1943.6. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Вища школа, 1979.7. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.8.
Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей иматематической статистике. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1967.9. Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1989.10. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
