1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют распределение Пуассона с параметром λ каждая. Найти:а) E{ξ 2 |ξ + η = k};б) условное распределение P{ξ = k|ξ + η = n}.26.18. Пусть случайные величины ξ и η независимы и имеют биномиальное распределение с параметрами m и p. Найти:а) E{ξ 2 |ξ + η = 6};б) условную функцию распределения P{ξ < x|ξ + η = 6}.26.19.

Пусть ξ1 , . . . , ξn — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение в отрезке [0, 1]. Найти:а) E{ξ1 | max(ξ1 , . . . , ξn )};б) E{ξ1 | min(ξ1 , . . . , ξn )}.26.20. Решить задачу 26.19, если случайные величины ξk имеютэкспоненциальное распределение с параметром 1.26.21. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, имеющиеравномерное распределение в отрезке [0, 1]. Найти:а) E{ξ|ξ + η};в) E{ξ 2 − η 2 |ξ + η};б) E{ξ − η|ξ + η};г) E{ξ|ξ + 2η}.26.22.

Пусть Eξ 2 < ∞. Доказать, что случайная величина ξ измерима относительно σ-алгебры A тогда и только тогда, когдаE{ξ − E{ξ|A }}2 = 0.26.23. Пусть Eξ 2 < ∞ и Eη 2 < ∞. Доказать, что если E{ξ|η} = η иE{η|ξ} = ξ, то ξ = η п. н.26.24. Найти E{ξ|η}, если совместная плотность случайного вектора(ξ, η) равна: 4xy при 0 6 x, y 6 1,а) p(x, y) =0 иначе;2ye−x + 2e−2x при x > 0, 0 6 y 6 1,б) p(x, y) =0иначе;100отдел viii. условное математическое ожидание 1 + 9x2 y 2при − 1 6 x, y 6 1,в) p(x, y) =0 8иначе;г) двумерной нормальной плотности с коэффициентом корреляции ρ.26.25. Пусть совместная плотность случайного вектора (ξ, η) равна −x(y+1)xeпри x, y > 0,p(x, y) =0иначе.Найти:а) одномерные (маргинальные) распределения ξ и η;б) условные плотности ξ относительно η и η относительно ξ.26.26.

Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона спараметром λ, а распределение случайной величины E{η|ξ} имеет нормальную плотность с нулевым средним значением и дисперсией ξ.а) Найти характеристическую функцию случайной величины η.б) Доказать, что распределение случайной величины η не имеетплотности.√в) Доказать, что η/ λ слабо сходится при λ → ∞ к стандартномунормальному закону.26.27. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром 1, а случайная величина E{η|ξ} имеет распределениеПуассона с параметром ξ. Найти распределение случайной величины η.26.28.

Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины с конечным математическим ожиданием, а Sn =ξ1 +· · ·+ξn . Пусть An — σ-алгебра, порождённая суммами Sn , Sn+1 , . . . .Доказать, что E{ξ1 |An } = Sn /n.§ 27. МартингалыПусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство, T ⊆ R. Пусть {At } — поток σалгебр, т.

е. At ⊆ F и At ⊆ As для любых t, s ∈ T , t < s. Случайный процесс ξ(t),t ∈ T , называется мартингалом относительно потока σ-алгебр {At }, если случайнаявеличина ξ(t) измерима относительно {At }, E|ξ(t)| < ∞ и E{ξ(s)|At } = ξ(t) п. н. длялюбых t < s. Если σ-алгебра At при каждом t порождена семейством {ξ(s), s 6 t} ипроцесс ξ(t) является мартингалом относительно потока {At }, то говорят, что ξ(t)— мартингал.Случайный процесс ξ(t), t ∈ T , называется субмартингалом (супермартингалом) относительно потока σ-алгебр {At }, если выполнены два первых свойства изопределения мартингала и E{ξ(s)|At } > ξ(t) п. н.

(E{ξ(s)|At } 6 ξ(t) п. н.) для любыхt < s.§ 27. мартингалы10127.1. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, причём P{ξi = 0} = P{ξi = 2} = 1/2. Доказать, что последовательностьnQпроизведений ηn =ξi образует мартингал.i=127.2. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, причёмP{ξi = 1} = 1 − P{ξi = −1} = p, p 6= 1/2. Положим Sn = ξ1 + · · · +ξn и An = σ(S1 , . . .

, Sn ). Доказать, что следующие последовательностибудут мартингалами относительно потока {An }:S1−p nа) ηn = Sn − n(2p − 1);б) ηn =.p27.3. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины, причём P{ξi = 1} = P{ξi = −1} = 1/2. Положим Sn = ξ1 + · · · + ξn иAn = σ(S1 , . . . , Sn ). Доказать, что для любых чисел A ∈ (−∞, ∞) иλ ∈ (0, π/2) последовательностьeiλ(Sn +A)cosn λбудет мартингалом относительно потока {An }.27.4. Пусть ξ1 , ξ2 , .

. . — независимые одинаково распределённыеслучайные величины, причём Eξ1 = 0. Положим Sn = ξ1 + · · · + ξn иAn = σ(S1 , . . . , Sn ). Доказать, что следующие последовательности будут мартингалами относительно потока {An }:а) ηn = (Sn )2 − nEξ12 , если Eξ12 < ∞;eλSnλξ1б) ηn =< ∞.n , если Ee(Eeλξ1 )27.5. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, Sn = ξ1 + . . . + ξn . Доказать, чтопоследовательность сумм {Sn } образует мартингал.27.6. Пусть ξ1 , ξ2 , .

. . — неотрицательные случайные величины сконечными средними значениями, Sn = ξ1 + . . . + ξn . Доказать, чтопоследовательность сумм {Sn } образует субмартингал.27.7. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями. Обозначим Bn = Dξ1 + · · · + Dξn и Sn = ξ1 + · · · + ξn . Доказать, что последовательность {Sn2 − Bn } образует мартингал.27.8. Пусть ξ1 , ξ2 , . .

. — независимые случайные величины, причёмEξn = 1 для любого n. Доказать, что последовательность произведенийnQηn =ξi образует мартингал.ηn =i=127.9. Пусть ξ — случайная величина с конечным математическим102отдел viii. условное математическое ожиданиеожиданием, {An }n>0 — неубывающая последовательность σ-алгебр. Доказать, что последовательность ξn = E{ξ|An } образует мартингал.27.10. Пусть ξ1 , ξ2 , . . .

— независимые одинаково распределённыеслучайные величины с конечным математическим ожиданием, а Sn =ξ1 + · · · + ξn . Доказать, что последовательностьS3 S2Sn...,, ...,,, S1n32образует мартингал.27.11. Пусть ξ(t) — мартингал относительно потока {At }. Доказать,что процесс ξ(t) имеет некоррелированные приращения, т. е.

Cov(ξ(s)−ξ(t), ξ(v) − ξ(u)) = 0 при t < s < u < v.27.12. Пусть ξ(t) — однородный процесс Пуассона с параметром λ.Доказать, что ζ(t) = exp{ξ(t) − at} представляет собой субмартингалпри a 6 λ(e − 1) и супермартингал при a > λ(e − 1).27.13. Доказать, что винеровский процесс, выходящий из нуля, является мартингалом с непрерывным временем.27.14. Пусть {ξn } — мартингал, причём E(ξn − ξn−1 )2 6 c для некоторого c < ∞.

Доказать, что ξn /n → Eξ1 по вероятности.27.15. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . — ветвящийся процесс, ξ0 = 1, Eξ1 = m,ηn = ξn /mn . Доказать, что {ηn } образует мартингал.О Т Д Е Л IXСЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ§ 28. Общие свойстваПусть T — некоторое множество. Функция ξ(t) = ξ(t, ω) : T × Ω → R называетсяслучайным процессом, если для любого фиксированного t функция ξ(t, ω) аргументаω — случайная величина.Конечномерными распределениями процесса ξ(t), t ∈ T , называются распределения случайных векторов (ξ(t1 ), .

. . , ξ(tn )), t1 , . . . , tn ∈ T .Случайный процесс ξ(t), t ∈ [a, b], называется стохастически непрерывным,если ξ(t) → ξ(t0 ) по вероятности при t → t0 , для любого t0 ∈ [a, b].Математическим ожиданием случайного процесса ξ(t), t ∈ T , называется неслучайная функция m(t) = Eξ(t).Ковариационной функцией случайного процесса ξ(t), t ∈ T , называется неслучайная функция двух аргументов B(t, s) = Cov(ξ(t), ξ(s)). Случайный процесс ξ(t),t ∈ [a, b], называется стационарным (в широком смысле), если ковариационнаяфункция B(t, s) зависит лишь от разности s − t своих аргументов.Пусть ξ(t) — стационарный процесс с ковариационной функцией b(t). Тогда существует неубывающая функция F (u) такая, что F (−∞) = 0, F (∞) = b(0) и длялюбого t выполняется равенствоZ∞b(t) =eitu dF (u).−∞Функция F (u) называется спектральной функцией процесса ξ(t).

Если F (u) абсолютно непрерывна, её производная называется спектральной плотностью процессаξ(t). Кроме того, существует процесс µ(u) с нулевым средним значением, ортогональными приращениями и со структурной функцией F (u) такой, что для любого tсправедливо спектральное представлениеZ∞ξ(t) =eitu dµ(u).−∞28.1. Пусть η — случайная величина с функцией распределенияF (x). Найти все конечномерные распределения случайного процессаξ(t) = η+t, его математическое ожидание m(t) и ковариационную функцию B(t, s).104отдел ix. случайные процессы28.2.

Пусть η — случайная величина с равномерным на отрезке [0, 1]распределением. Найти все конечномерные распределения случайногопроцесса ξ(t) = I{t < η}, t ∈ [0, 1], его математическое ожидание m(t) иковариационную функцию B(t, s).28.3. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределениес математическим ожиданием a и дисперсией σ 2 ; b ∈ R. Найти всеконечномерные распределения случайного процесса ξ(t) = ξt + b, егоматематическое ожидание m(t) и ковариационную функцию B(t, s).28.4. Пусть ϕ — случайная величина с плотностью cos x при x ∈[0, π/2]; a и ω — положительные постоянные.

Является ли случайныйпроцесс ξ(t) = a sin(ωt + ϕ) стационарным?28.5. Пусть ξ и η — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и конечными дисперсиями, а α, β > 0 —некоторые постоянные. Найти все конечномерные распределения случайного процесса ξ(t) = ξe−αt + ηe−βt , его математическое ожиданиеm(t) и ковариационную функцию B(t, s).28.6. Пусть ξ и η — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Найти математическое ожидание m(t) и ковариационную функцию B(t, s) случайногопроцесса ξ(t) = t + ξ cos γt + η sin γt.28.7. Пусть ξ(t) — дифференцируемый случайный процесс с математическим ожиданием m(t) и ковариационной функцией B(t, s).

Найтиматематическое ожидание и ковариационную функцию его производнойdξ(t).dt28.8. Пусть случайный процесс ξ(t) имеет математическое ожидание2m(t) = t2 − 1 и ковариационную функцию B(t, s) = 2e−α(s−t) . Найтиматематическое ожидание и ковариационную функцию случайного процессаdξ(t)d2 ξ(t)а) 2t+ (1 − t)2 ;в)+ 1.dtdt2б) tξ(t) + t2 + 1;28.9. Пусть ξ(t) — случайный процесс с математическим ожиданиемm(t) и ковариационной функцией B(t, s); траектории процесса непрерывны с вероятностью 1. НайтиZ математическое ожидание и ковариаtционную функцию интегралаξ(s)ds.028.10.

Пусть случайный процесс ξ(t) равен η cos(γt − θ), где η —случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией σ 2 ; θ —случайная величина с равномерным на отрезке [0, 2π] распределением;§ 28. общие свойства105γ — неслучайный параметр. Случайные величины η и θ независимы.Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процессаξ(t). При каких условиях ξ(t) — стационарный процесс?28.11.

Пусть случайный процесс ξ(t) равен σ cos 2π(ξt + η), где σ —положительная постоянная, ξ — случайная величина с плотностью f (x),причём 0 6 ξ 6 1/2, а η — случайная величина с равномерным на отрезке [−1/2, 1/2] распределением. Случайные величины ξ и η независимы.Доказать, что ξ(t) — стационарный процесс. Найти его ковариационнуюфункцию и спектральную плотность.28.12. Пусть случайный процесс ξ(t) равен η1 f1 (t) + · · · + ηn fn (t),где η1 , .

. . , ηn — некоррелированные случайные величины с нулевымисредними значениями и дисперсиями σ12 , . . . , σ12 , а f1 , . . . , fn — неслучайные функции. Найти математическое ожидание и ковариационнуюфункцию процесса ξ(t).28.13. Показать, что не существует никакого стационарного процесса, ковариационная функция b(s − t) = B(t, s) которого постоянна иотлична от нуля в каком-то интервале (−t1 , t1 ) и равна нулю вне его.28.14. Найти спектральную плотность стационарного процесса, еслиего ковариационная функция равна:2а) b(t) = ce−α|t| ;в) b(t) = ce−(α|t|) ;2б) b(t) = ce−α|t| cos βt;г) b(t) = ce−(α|t|) cos βt.28.15. Пусть спектральная плотность стационарного процесса равнаa при |u| 6 u1 ,F (u) =0 при |u| > u1 .Найти ковариационную функцию процесса.28.16. Пусть ξ(t) — стационарный процесс с ковариационной функsin tцией b(t) =.

Характеристики

Список файлов книги