1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Найти ковариационную функцию и спектральнуюtплотность производной этого процесса.28.17. Пусть ξ(t) — стационарный дифференцируемый в среднеквадратичном случайный процесс. Доказать, что при любом фиксироdξ(t)ванном t значения процесса ξ(t) и его производнойне коррелироdtваны.28.18. Пусть ξ(t) и η(t) — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве. Является ли сумма ξ(t) + η(t) стационарным процессом?28.19. Пусть ξ(t) и η(t) — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве, причём {ξ(t)} не зависит от {η(t)}.Является ли сумма ξ(t) + η(t) стационарным процессом?106отдел ix. случайные процессы28.20. Пусть ξ(t) — стационарный процесс.
Выяснить условия, прикоторых процесс ξ(t) сходится по вероятности при t → ∞.28.21. Пусть ξ(t) — случайный процесс такой, что все ξ(t) независимы друг от друга и имеют одинаковую плотность распределения p.Докажите, что этот процесс не является стохастически непрерывнымни в какой точке.28.22. Пусть ξ и η — случайные величины, причём η имеет симметричное распределение и P{η = 0} = 0.
Найти вероятность того, чтореализации случайного процесса ξ(t) = ξ + t(η + t) возрастают.28.23. Рассмотрим на вероятностном пространстве (Ω, F, P), представляющим собой отрезок [0, 1] с σ-алгеброй борелевских подмножестви мерой Лебега, случайный процесс ξ(t, ω), определенный следующимобразом:1, если прямая, проходящая через точку (t, ω)параллельно прямой t = ω, пересекаетξ(t, ω) =ось t в рациональной точке,0 в остальных случаях.Показать, что процесс ξ(t, ω) стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке.28.24.
Привести пример случайного процесса такого, что множествоэлементарных исходов, на которых процесс непрерывен, не являетсясобытием.§ 29. Винеровский процессСтохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями ξ(t) называется винеровским, если ξ(0) = 0 и ξ(1) имеет нормальное распределение. Винеровский процесс ξ(t) называется стандартным, если ξ(1) имеет стандартноенормальное распределение. В настоящем параграфе всюду рассматриваются непрерывные модификации винеровского процесса.Пусть w(t) — винеровский процесс. В задачах 29.1–29.3 выяснить,является ли процесс η(t) марковским и найти его распределение.29.1.(w(t), если max w(s) < a,06s6tη(t) =aиначе.29.2.w(t),если w(t) 6 a,η(t) =2a − w(t) иначе.§ 30. пуассоновский процесс10729.3.
η(t) = w(t) − [w(t)], где [x] — целая часть числа x.29.4. Найти ковариационную функцию винеровского процесса.29.5. Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем по вероятности.29.6. Пусть w(t) — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию случайного процесса w(0) (t) = w(t) − tw(1),рассматриваемого на отрезке времени t ∈ [0, 1].29.7. Пусть w(t) — винеровский процесс.
Найти ковариационнуюфункцию случайного процесса e−bt w(ae2bt ), где a и b — действительныечисла (этот процесс называется процессом Орнштейна — Уленбека).29.8. Пусть w(t) — стандартный винеровский процесс. Найдите совZ tместное распределение w(t) иw(s)ds, t > 0.029.9. Пусть w(t) — стандартный винеровский процесс. Доказать, чтослучайный процесс w(1) (t) = tw(1/t) тоже стандартный винеровский.29.10.
Пусть w(t) — винеровский процесс с нулевым сносом. Доказать, что процессw(t),t 6 T,η(t) =2wT − w(t), t > T,тоже винеровский.29.11. Пусть w(t) — трехмерный винеровский процесс, выходящийиз нуля. Доказать, что с вероятностью 1lim |w(t)| = ∞.t→∞29.12. Пусть w(t) — винеровский процесс. Найти распределения следующих стохастических интегралов:ZtZtб) es dw(s).а) s2 dw(s);00§ 30. Пуассоновский процессСтохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями ξ(t) называется пуассоновским, если ξ(0) = 0 и ξ(1) имеет распределение Пуассона.
В настоящем параграфе всюду рассматриваются модификации процесса Пуассона, имеющие ступенчатые траектории с единичными скачками.30.1. Пусть (ξ(t), η(t)) — вероятностный процесс в двумерном пространстве, где ξ(t) — пуассоновский процесс с параметром λ, а η(t)— пуассоновский процесс с параметром µ, не зависящий от ξ(t).
При108отдел ix. случайные процессыусловии что процесс находится в состоянии (x0 , y0 ) в момент t = 0,x0 +y0 < z, найти вероятность пересечения процессом прямой x0 +y 0 = zв точке (x, y) этой прямой.30.2. Пусть ξ(t) — пуассоновский процесс с параметром λ. Предположим, что каждое событие «регистрируется» с вероятностью p независимо от остальных событий.
Пусть η(t) — процесс, скачки которогопроисходят лишь в моменты наступления «зарегистрированных» событий. Доказать, что η(t) — пуассоновский процесс с параметром pλ.30.3. Рассмотрим пуассоновский процесс с переменной интенсивностью, т. е. вероятность скачка в интервале времени (t, t + h) не зависитот предыстории и равна λ(t)h + o(h) при h → 0 (заметим, что λ можетзависеть от t).(а) Доказать, что вероятность отсутствия скачков на отрезке времени [0, t] равна Ztexp − λ(s)ds .0(б) Доказать, что вероятность наличия ровно k скачков на отрезкевремени [0, t] равна tkZ Zt1 λ(s)ds exp − λ(s)ds .k!0030.4.
Найти ковариационную функциюа) пуассоновского процесса с постоянной интенсивностью λ;б) пуассоновского процесса с переменной интенсивностью λ(t).30.5. Пусть {τk }∞k=1 — последовательные моменты скачков пуассоновского процесса с интенсивностью λ. Доказать, что для любого T > 0∞XP{τk 6 T } = λT.k=130.6. Доказать, что пуассоновский процесс:а) дифференцируем по вероятности;б) дифференцируем в смысле сходимости в среднем любого порядкаp ∈ (0, 1);в) не дифференцируем в смысле сходимости в среднем любого порядка p > 1.30.7. Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью λ.Пусть процесс ξ(t) принимает значения −1 и 1, причём с течением вре-§ 31.
линейная теория109мени ξ(t) меняет свое значение с −1 на 1 и наоборот при наступлении каждого скачка в пуассоновском процессе. Пусть P{ξ(0) = −1} =P{ξ(0) = 1} = 1/2. Найти ковариационную функцию процесса ξ(t). Будет ли процесс ξ(t) стационарным?30.8. Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью λ и последовательность независимых одинаково распределённых случайныхвеличин {ηn }, при этом процесс и {ηn } независимы между собой. Определим процесс ξ(t) следующим образом: ξ(t) = ηn , если момент времениt лежит в промежутке между n-м и n + 1-м скачками пуассоновского процесса.
Найти ковариационную функцию процесса ξ(t). Будет липроцесс ξ(t) стационарным?30.9. Случайно расположенные на плоскости точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью λ, т. е. число точек в любой области Sплощади mesS имеет пуассоновское распределение с параметром λmesS,причём числа точек в непересекающихся областях независимы. Пустьρ1 6 ρ2 6 . . . — упорядоченные по возрастанию расстояния от началакоординат до точек этого поля.а) Как можно описать последовательность ρn , n = 1, 2, . . .?б) Найти плотность распределения ρn , среднее значение ρn и асимптотику этого среднего значения при n → ∞.30.10. В условиях задачи 30.9 доказать, что координаты (ξ, η) ближайшей к началу координат точки распределены по нормальному закону с параметрами mξ = mη = 0 и σξ2 = ση2 = 1/2πλ.30.11.
Случайно расположенные в трехмерном пространстве точкиобразуют пуассоновское поле с интенсивностью λ. Ответить на вопросызадачи 30.9.30.12. Пусть π(t) — пуассоновский процесс с параметром 1. НайтиZtраспределение стохастического интеграла s2 d(π(s) − s).0§ 31. Линейная теорияслучайных последовательностейПусть {ξn }∞n=−∞ — стационарная последовательность с ковариационной функцией b(n). Тогда существует неубывающая функция F (t) такая, что F (−π) = 0,F (π − 0) < ∞ и для любого n выполняется равенствоZb(n) =eint dF (t).[−π,π)110отдел ix. случайные процессыФункция F (x) называется спектральной функцией последовательности {ξn }.
ЕслиF (x) абсолютно непрерывна, ее производная называется спектральной плотностьюпоследовательности {ξn }.Кроме того, существует процесс µ(t) с нулевым средним значением, ортогональными приращениями и со структурной функцией F (t) такой, что для любого n справедливо спектральное представлениеZξn =eint dµ(t).[−π,π)31.1.
Построить стационарную последовательность, ковариационная функция b(n) которой равна 1 при чётном n и 0 при нечётном n.31.2. Пусть ξ — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Положим ξn = ξ для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да»,найти её спектральную меру и спектральное представление.31.3. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, каждая изкоторых принимает значения −1 и 1 с вероятностями 1/2. Положимξ2n+1 = ξ и ξ2n = η для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да», найти её спектральнуюмеру и спектральное представление.31.4. Пусть ξ и η — некоррелированные случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение.
Положим ξ2n+1 = ξ и ξ2n = η для любого целого n. Является ли случайнаяпоследовательность {ξn } стационарной? Если «да», найти её спектральную меру и спектральное представление.31.5. Пусть . . . , η−1 , η0 , η1 , . . . — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [−2, 2]. Положимξn = ηn−1 ηn для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да», найти разложение этой последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейныйпрогноз ξ1 по наблюдениям {ξn , n 6 0}.31.6.
Пусть . . . , η−1 , η0 , η1 , . . . — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями.Положим ξn = ηn−3 + ηn−2 + ηn−1 + ηn для любого целого n. Является ли случайная последовательность {ξn } стационарной? Если «да»,найти разложение этой последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построитьнаилучший линейный прогноз ξ2 по наблюдениям {ξ(n), n 6 0}.31.7. Пусть . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
