1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть f : [0, ∞) → R — непрерывная ограниченная функция,K — компакт в [0, ∞). Доказать, что полиномы∞XixiiBn (x) =fCn+in+1(1 + x)n+i+1i=0стремятся к f (x) при n → ∞ равномерно по x ∈ K.76отдел v. закон больших чисел19.4. В условиях задач а) 19.1; б) 19.2; в) 19.3 доказать, что еслифункция f имеет непрерывную производную f 0 , то производные полиномов Bn (x) равномерно стремятся к f 0 (x) при n → ∞.19.5. Пусть f (x, y) — непрерывная в треугольнике x > 0, y > 0,x + y 6 1 функция. Доказать, что полиномы Бернштейна в R2nXi jn!Bn (x, y) =f,xi y j (1 − x − y)n−i−jnni!j!(n−i−j)!i,j=0стремятся к f (x, y) при n → ∞ равномерно по x, y.19.6. Пусть ξ1 имеет стандартное нормальное распределение.
ПоложимnXξn+1ξi2 и τn = pχ2n =.χ2n /ni=1Найти предельное при n → ∞ распределение величины τn .19.7. Пусть ξ1 имеет стандартное распределение Коши. Будет ливыполнен закон больших чисел для последовательности {ξn }?19.8. Пусть ξ1 имеет стандартное нормальное распределение. Найтипредельное при n → ∞ распределение величины ηn /ζn , гдеηn =n−1Xi=0ξ2i+1ξ2i+2иζn =nXξi2 .i=119.9. Пусть Eξ1 = a, Dξ1 = σ 2 . Доказать, что последовательностьслучайных величин ηn , определяемых равенствамиξ1 + · · · + ξnηn = 2,ξ1 + · · · + ξn2сходится по вероятности.
Найти предел.19.10. Пусть случайная величина ηn имеета) распределение Пуассона с параметром n;б) биномиальное распределение с параметрами n и p;в) нормальное распределение с параметрами 0 и n.Выяснить, существует ли предел при n → ∞ отношения ηn /n.§ 20. Независимые разнораспределённые слагаемыеВ настоящем параграфе всюду предполагается, что случайные величины ξ1 ,ξ2 , . . . независимы в совокупности.20.1. Пусть ξn принимает значения√√n, − n и 0 с вероятностями§ 20. независимые разнораспределённые слагаемые771/2n, 1/2n и 1 − 1/n соответственно. Будет ли выполнен ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.2.
Пусть ξn принимает значения n, −n и 0 с вероятностямиа) 1/2n2 , 1/2n2 и 1 − 1/n2 ;√√√б) 1/2 n, 1/2 n и 1 − 1/ n;в) 1/4, 1/4 и 1/2;г) 2−n , 2−n и 1 − 2−nсоответственно. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.3. Пусть ξn принимает значения 2n и −2n с вероятностью 1/2каждое. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.4. Пусть ξn принимает значения 2n , −2n и 0 с вероятностями−(2n+1)2, 2−(2n+1) и 1 − 2−2n соответственно. Выполнен ли ЗБЧ дляпоследовательности {ξn }?20.5.
Пусть ξn принимает значения 3n , −3n и 0 с вероятностями−(2n+2)3, 3−(2n+2) и 1 − 2 · 3−2n+2 соответственно. Выполнен ли ЗБЧ дляпоследовательности {ξn }?20.6. Пусть ξn принимает значения 1 и −1 с вероятностями (1 −2−n )/2 и значения 2n и −2n с вероятностями 2−n−1 . Доказать, что дляпоследовательности {ξn } выполнен ЗБЧ.20.7. Пусть ξn принимает значения nλ и −nλ с вероятностями 1/2.Выяснить, при каких значениях λ для последовательности {ξn } выполнен ЗБЧ.20.8.
Пусть ξn принимает 2n + 1 значений 0, ±Ln , ±2Ln , . . . , ±nLnс вероятностью 1/(2n + 1) каждое. Найти условия для констант Ln ,обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности {ξn }.20.9. Пусть ξn принимает значения an , −an , и 0 с вероятностямиpn , pn и 1 − 2pn соответственно. Найти условия на константы an и pn ,обеспечивающие выполнение ЗБЧ для последовательности {ξn }.20.10. Если n —√ точный√ квадрат, то случайная величина ξn принимает значения − n и n с вероятностью 1/2 каждое; в остальныхслучаях ξn принимает значения −1 и 1 с вероятностью 1/2 каждое.
Выполнен ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.11. Пусть ξn имеет распределение Пуассона с параметром αn ,причёмn1Xαi → α < ∞, n → ∞.n i=1Выполнен ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.12. Пусть {ξn } и {ηn } — две последовательности, в каждой из78отдел v. закон больших чиселкоторых случайные величины независимы. Предположим, что ряд∞XP{ξn 6= ηn }n=1сходится. Доказать, что если Eξn = Eηn при каждом n и ЗБЧ выполнендля последовательности {ξn }, то он выполнен и для последовательности{ηn }.20.13. Пусть {ξn } — последовательность независимых одинаковораспределённых случайных величин, {an } — ограниченная последовательность неотрицательных чисел.
Можно ли утверждать, что если ЗБЧвыполнен для последовательности {ξn }, то он выполнен и для последовательности {ηn }, где ηn = an ξn ?20.14. Пусть {ξn } — последовательность независимых случайныхвеличин, причём ξn равномерно распределена на отрезке [−n, n]. Выполнен ли ЗБЧ для последовательности {ξn }?20.15. Пусть {ξn } — последовательность независимых случайных величин, причём ξn равномерно распределена на отрезке [−nα , nα ], α ∈ R.Выяснить, при каких значениях α для последовательности {ξn } будетвыполнен ЗБЧ.20.16. Пусть {ξn } — последовательность независимых случайныхвеличин, причём ξn имеет биномиальное распределение с параметрамиn и 1/nα , где α > 0.
Выяснить, при каких значениях α для последовательности {ξn } будет выполнен ЗБЧ.§ 21. Зависимые слагаемые21.1. Пусть ξ — случайная величина и случайная последовательность ξn определяется равенствами ξn = ξ. Удовлетворяет ли последовательность {ξn } ЗБЧ?21.2. Игральная кость А имеет четыре красных и две белых грани,а кость В — две красных и четыре белых грани. Один раз бросаетсямонета. Если выпал герб, то далее все время бросается кость А, еслирешка — только кость В.
Положим ξn = 1, если при n-ом бросаниикости выпала красная грань, и ξn = 0 — в противном случае. Показать,что ЗБЧ для последовательности {ξn } не выполнен.21.3. Проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p. Положим ξn = 1, если n-е и (n + 1)-е испытания закончились успехом, иξn = 0 иначе. Выполнен ли для последовательности {ξn } ЗБЧ?21.4. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин такая,§ 21. зависимые слагаемые79что Dξn 6 c < ∞, и ξn не зависит от ξm , если |n − m| > 1.
Доказать,что для последовательности {ξn } выполнен ЗБЧ.21.5. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин такая,что Dξn 6 c < ∞, а ковариации отрицательны. Доказать, что для последовательности {ξn } выполнен ЗБЧ.21.6. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин такая,что Dξn 6 c < ∞, а ковариации rij = cov(ξi , ξj ) удовлетворяют условиюrij → 0 равномерно при |i − j| → ∞. Доказать, что для последовательности {ξn } выполнен ЗБЧ.21.7.
Доказать, что если |Sn | < cn, а DSn > αn2 , то ЗБЧ для последовательности {ξn } не выполнен.21.8. Пусть {ξn } — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной ненулевой дисперсией. Доказать, что для последовательности {Sn } ЗБЧ не выполнен.21.9. Пусть {ξn } — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией. √Доказать выполнение ЗБЧ для последовательности {an Sn }, если an n → 0 приn → ∞.21.10.
Урна содержит b черных и r красных шаров. Случайно извлекается шар. Он возвращается обратно, и, кроме того, добавляется cшаров одного с ним цвета. Производится новое случайное извлечениеиз урны (теперь содержащей b + r + c) шаров, и описанная процедураповторяется. Положим случайную величину ξn равной 1 или 0 в зависимости от того, был ли n-й извлеченный шар черным или красным.Доказать, что ЗБЧ для последовательности {ξn } не выполнен.21.11. Пусть {ξn } — последовательность случайных величин, длякоторой выполнен закон больших чисел. Обязан ли выполняться ЗБЧдля последовательности {|ξn |}?21.12.
Пусть {ξn } — последовательность случайных величин с нулеpвыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости ξn →0 выполнение ЗБЧ для последовательности {ξn }?21.13. Пусть случайная величина ξ1 равномерно распределена намножестве S = {1, 2, . . . , s} и f : S → S — взаимно-однозначная функция. Доказать, что случайная последовательность, определяемая равенствами ξn = f (ξn−1 ), стационарна.
Выяснить, при каких условиях на fпоследовательность {ξn } удовлетворяет ЗБЧ?21.14. Пусть случайная величина ξ равномерно распределена наотрезке [0, 1] и α — иррациональное число. Доказать, что случайнаяпоследовательность, определяемая равенствами ξn = ξ + nα (mod 1),стационарна. Удовлетворяет ли последовательность {ξn } ЗБЧ?80отдел v. закон больших чисел21.15. Пусть случайный вектор (ξ1 , η1 ) имеет равномерное распределение в единичном квадрате.
Определим функцию f равенствами(2x, 1/2),если 0 6 x < 1/2,f (x, y) =(2x, (y + 1)/2), если 1/2 6 x < 1.Положим (ξn , ηn ) = f (ξn−1 , ηn−1 ). Доказать, что случайная последовательность (ξn , ηn ) стационарна. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?О Т Д Е Л VIПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ§ 22. Центральная предельная теоремаВсюду в настоящем параграфе через Sn = ξ1 + · · · + ξn обозначается частичнаясумма первых n элементов последовательности случайных величин ξ1 , ξ2 , . . .
. Пусть2 существует при любом n. Говорят, что для последовательности ξ , ξ , . . . выEξn12полнена центральная предельная теорема (ЦПТ), если распределения случайныхвеличинSn − ESn√DSnслабо сходятся при n → ∞ к стандартному нормальному закону.Во всех задачах настоящего параграфа ξ1 , ξ2 , . . . — взаимно независимые случайные величины.22.1. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . имеют одинаковое невырожденное распределение с конечной дисперсией. Доказать, что для любых a и blim P{a 6 Sn 6 b} = 0.n→∞22.2. Пусть ξ1 , ξ2 , .
. . имеют одинаковое невырожденное распределение с конечной дисперсией. Доказать, что для любого b пределlim P{Sn < b}n→∞равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Указать условия, при которых имеетместо каждая из указанных ситуаций.22.3. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . имеют одинаковое невырожденное распределение с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Доказать,что для любого b предел Sn lim P α < bn→∞nравен 0 при α < 1/2 и 1 при α > 1/2.22.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
