1625915142-97bb3f3d30bce70c3d3cfb4c3c5f69a2 (843870), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть ξ — случайная величина, Eehξ < ∞, h > 0. Доказать,что для любого x > 0P{ξ > x} 6 Eehξ /ehx .11.89. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассонас параметром λ. Доказать, что для любого x > 0а) P{ξ > x} 6 λ/x;в) P{ξ > 2λ} 6 1/ max(2, λ).λ xб) P{ξ > x} 6 e /2 ;Доказать, что P{ξ > x} 6 4λ/x2 при x > 2λ.11.90. Пусть случайная величина ξ имеет:а) распределение Пуассона с параметром λ;б) показательное распределение с параметром α;в) стандартное нормальное распределение.Определить значение параметра h, при котором выражение в правойчасти неравенства в задаче 11.88 достигает своего наименьшего значения и найти значение этого минимума.§ 12.
характеристические функции5911.91. Доказать неравенство Кантелли: если существует Dξ, то длялюбого x > 02DξP{|ξ − Eξ| > x} 6 2.x + Dξ11.92. Пусть ξ — случайная величина и a > 1 — действительноечисло. Доказать, что если P{|ξ| > ax}/P{|ξ| > x} → 0 при x → ∞, тоE|ξ|k существует при любом k > 0.11.93. В одной западной стране мальчик подрабатывает тем, чтоторгует газетами; он закупает газету по 4 цента за штуку и продаетпо 7 центов.
При этом он не может возвращать обратно непроданныегазеты и несет на них убыток. Предположим, что число возможных продаж в один день случайно и имеет распределение Пуассона со среднимзначением 50. Сколько газет должен закупать бедняга для того, чтобымаксимизировать свою среднюю прибыль?11.94. Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до работы1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 км/час, следовательно, в среднемна дорогу у меня уходит 12 мин»?11.95. Доказать, что для любой неотрицательной случайной величины ξ с конечной дисперсией выполняется неравенствоDξP{ξ = 0} 6.Dξ + (Eξ)2§ 12.
Характеристические функцииХарактеристической функцией случайной величины ξ называется функция ϕ(t)действительного аргумента t, определяемая равенством ϕ(t) = Eeitξ .Для любой комплекснозначной функции ϕ через Re ϕ обозначается вещественная часть этой функции.12.1. Вычислить характеристическую функциюа) распределения Бернулли с параметром p;б) биномиального распределения с параметрами p и n;в) распределения Пуассона с параметром λ;г) геометрического распределения с параметром p;д) равномерного распределения на отрезке [−a, a];е) равномерного распределения на отрезке [a, b];ж) распределения Коши с параметром сдвига a;з) показательного распределения с параметром α;и) распределения Лапласа с параметром α;к) нормального распределения с параметрами a и σ 2 .60отдел iii.
случайные величины и их распределения12.2. Найти закон распределения со следующей характеристическойфункцией:а) cos t;∞∞XXб)ak cos(kt), где ak > 0 иak = 1;k=0k=0в) cos2 t;ж) 1/(1 + t2 );1 cos t i sin tг) ++;з) 1/(1 − it);2 2 26д) e−t ;и) (sin t)/t;−|t|е) e ;к) e−|t| cos t.12.3. Пусть в качестве вероятностного пространства (Ω, F, P) взятотрезок [0, 1] с борелевской σ-алгеброй подмножеств и мерой Лебега.Найти характеристическую функцию случайной величины ξ, если:а) ξ(ω) = ln ω, ξ(0) = 0;2ωпри 0 6 ω 6 1/2,б) ξ(ω) =2ω − 1 при 1/2 < ω 6 1; 1 при 0 6 ω 6 1/3,в) ξ(ω) = 0 при 1/3 < ω 6 2/3,1 при 2/3 < ω 6 1.Пусть ξ — случайная величина с характеристической функцией ϕ.Найти характеристические функции случайных величин12.4. −ξ.12.5.
aξ + b, где a, b ∈ R.12.6. Доказать, что характеристическая функция чётна тогда и только тогда, когда соответствующая функция распределения F удовлетворяет соотношению F (x) = 1 − F (−x − 0).12.7. Доказать, что характеристическая функция вещественна тогдаи только тогда, когда она чётна.12.8. Пусть ξ и η — независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией ϕ.
Найти характеристическую функцию случайной величины ξ − η.В задачах 12.9–12.19 выяснить, являются ли следующие функциихарактеристическими:12.9. sin t.12.14. cos(t2 ).12.10. sin t + 1.12.15. cos5 t.−t412.11. e .12.16. e−i|t| . √11 − t2 , |t| < 1,.12.17. ϕ(t) =12.12.0,|t| > 1.1 − |t|i1 − |t|, |t| < 1,1 − t2 , |t| < 1,12.13. ϕ(t) =12.18. ϕ(t) =0,|t| > 1.0,|t| > 1.§ 12. характеристические функции6112.19. Вещественная функция, не являющаяся чётной.12.20.
Доказать, что из равенства ϕξ+η (t) = ϕξ (t)ϕη (t) не следует,вообще говоря, независимость случайных величин ξ и η.12.21. Пусть ϕ(t) — чётная непрерывная функция выпуклая приt > 0 и такая, что 0 6 ϕ(t) 6 1 и ϕ(0) = 1. Доказать, что ϕ(t) являетсяхарактеристической функцией.12.22. Существуют ли две различные характеристические функции,совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало координат?12.23.
Пусть случайная величина ξ не зависит от η и ζ, причёмсуммы ξ + η и ξ + ζ имеют одинаковое распределение. Верно ли, чтослучайные величины η и ζ имеют одинаковое распределение?12.24. Пусть ϕ1 , ϕ2 , . . . — характеристические функции и a1 , a2 , . . .— неотрицательные числа такие, что a1 + a2 + · · · = 1.
Доказать, что∞Xфункцияai ϕi также является характеристической.i=1В задачах 12.25–12.30 доказать, что если ϕ является характеристической функцией, то характеристическими являются также и функции:12.25. eϕ−1 .12.28. Re ϕ.Zt2112.26.− 1.12.29.ϕ(z)dz.2−ϕt012.27. ϕ2 .12.30. |ϕ|2 .12.31. Пусть ξ и η — независимые случайные величины с функциямираспределения F и G и характеристическими функциями ϕ и ψ соответственно. Доказать, что произведение ξη имеет характеристическуюфункциюZ∞Z∞ϕ(tz)dG(z) =ψ(tz)dF (z).−∞−∞12.32. Пусть ϕ — характеристическаяфункция. Доказать, что:pа) |ϕ(t + h) − ϕ(t)| 6 2[1 − Re ϕ(h)];б) 1 − Re ϕ(2t) 6 4(1 − Re ϕ(t)).12.33.
Доказать, что для любой случайной величины ξ, соответствующей характеристической функции ϕ и любого x > 0Zx1P{|ξ| > 2/x} 6(1 − ϕ(u))du.x−x12.34. Рассмотрим распределение, симметричное относительно 0.62отдел iii. случайные величины и их распределенияПусть F (x) — соответствующая функция распределения, а ϕ(t) — характеристическая функция. Доказать, что если x(1 − F (x)) → c > 0 приx → ∞, то ϕ(t) = 1 − cπ|t| + o(t) при t → 0.12.35.
Доказать, что если величины ξ и η независимы, одинаковораспределены и их сумма нормально распределена, то ξ и η также нормально распределены.§ 13. Производящие функцииПроизводящей функцией абсолютно суммируемой числовой последовательности{an }∞n=0 называется функция ϕ(z) комплексного аргумента z, |z| 6 1, определяемаяравенством∞Xϕ(z) =z n an .n=0Производящей функцией неотрицательной целочисленной случайной величины ξ называется производящая функция последовательности {P{ξ = n}}∞n=0 .13.1. Пусть случайная величина ξ принимает лишь целые неотрицательные значения и пусть g(z), |z| 6 1, — ее производящая функция.Определяет ли производящая функция g(z) однозначным образом распределение случайной величины ξ?13.2. Пусть ξ — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией ϕ. Найти производящие функции величинξ + 1 и 2ξ.13.3.
Пусть ξ — неотрицательная целочисленная случайная величина. Найти производящие функции следующих последовательностей:а) P{ξ 6 n};г) P{ξ < n};б) P{ξ > n};д) P{ξ > n}.в) P{ξ = 2n};13.4. Найти законы распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:(1 + z)21а);в);42(1 − z/2)б) eλ(z−1) , λ > 0;г) (1/3 + 2z/3)n , n ∈ N.13.5. Пусть случайная величина ξ имеет производящую функциюϕ. Найти распределение ξ, если ϕ(1/2n ) = 1/2n для любого n.13.6. Доказать, что функция ϕ(z) = |z| не может быть производящей функцией вероятностного распределения.13.7. Пусть случайная величина ξ принимает значения 0, 1, .
. . , n−1с вероятностью 1/n каждое. Показать, что если число n — составное, то§ 14. безгранично делимые распределения63ξ можно представить в виде суммы независимых целочисленных случайных величин.13.8. Пусть pn — вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли делится на 3. Найти рекуррентное соотношение для pn ,а из него — производящую функцию.13.9. Пусть случайная величина ξ принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое, а η — 0, 1, 2 и 3 с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и1/8 соответственно. Доказать, что не существует случайной величиныζ, не зависящей от ξ и такой, что ξ + ζ = η.13.10. Решить задачу 10.80, используя производящие функции.13.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
