1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , ejk ).В новой системе координатhi′1 ,...,i′k = h{i′ } = H(ei′1 , . . . , ei′k )Пусть ui = us es . В силу линейности H(u1 , . . . , uk ), получаемiH(u1 , . . . , uk ) = H(us1 es1 , us2 es2 , . . . , usk esk )12k= ui1 . . . uik H(ei1 , . . . , eik ) = hi1 ,...,ik ui1 . . . uik .1kТаким образом, при преобразованип координатhi′1 ...i′k = H(ei′1 . . . ei′k ) == H(Aii1′ ei1 , Aii2′ ei2 , . . . , Aiik′ eik )1=2Aii1′ , Aii2′ , .
. . , Aiik′ H(ei1 , ei2 , . . . , eik )12kk=Aii1′ , Aii2′ , . . . , Aiik′ hi1 ,...,ik12kпо ковариантному закону.Форма может быть задана на ковекторах, тогда она задает контравариантный тензор.Каноническое отображениеt : L1 × . . . × Lp −→ L1 ⊗ . . . ⊗ Lp(l1 , . . . , lp ) −→ l1 ⊗ . . . ⊗ lp является полилинейным.Обозначения тензора и обозначение основных операций.Бескоординатная запись.Элемент тензорного произведенияTpq (L) = L∗ ⊗ ... ⊗ L∗ ⊗ L ⊗ ... ⊗ L{z} | {z }|pqназывается тензором на L типа (p, q) и валентности p + q55Базис.Сопряженный базис.T = Tpq ei1 ⊗ ei2 .
. . eiq ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejp′m+m= Tnm ⊗ Tnm′σ ⊗ τ ∈ Tn+n′′...inei1 ⊗ . . . ⊗ ein ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejmT = Tji11...jmДля бескоординатной записиL1 . . . Lp — линейные пространства.L∗1 . . . L∗q — сопряженные пространства (пространство линейныхфункций на линейном пространстве L)(f1 + f2 )(l1 + l2 ) = f1 (l1 + l2 ) + f2 (l1 + l2 )Tpq (L) = L∗ ⊗ .
. . ⊗ L∗ ⊗ L ⊗ . . . ⊗ L|{z} |{z}pqfσ :1n11nnΦ(x, . . . , x) = Φ(xi1 ei1 , . . . , xin ein ) = xi1 . . . xin Φ(ei1 , . . . , ein )A ∧ B = Alt(A ⊗ B)1 XAltA(x1 , . . . , xn ) =δi1 ...ik A(xi1 , ..., xik )k!33.1Тензорные поляКриволинейные координаты.Пусть есть n непрерывных дифференцируемыхfk (x1 , . . .
, xn ), где k = 1, . . . , n. Введем новые переменные′xi = fi′ (x1 , . . . , xn )Пусть преобразование обратимо.′′xi = gi (x1 , . . . , xn ),56функций′переменные x1 — криволинейные координаты.′xi — криволинейные координаты, если они связаны с аффинными координатами обратимым и взаимно однозначным и непрерывнымдифференцируемым отображением.′′x1 , . . . , xn — координаты.Далее область — точка и окрестность, связная.Якобианы обоих преобразований не равны нулю: i ∂xi′ ∂x Det i 6= 0,Det i′ 6= 0. ∂x ∂xМатрицы взаимно обратные и неособенные.′∂xi ∂xk∂xi=j∂x∂xk′ ∂xjсуммирование по k ′′∂xi∂xi ∂xki=δ= δji=⇒j∂xj∂xk′ ∂xjНапример, цилиндрические и сферические координаты. Однако,для взаимной обратимости надо рассматривать не все пространство,а удалить из него полуплоскость, краем которой является ось z итакже ось z.−−→Радиус-вектор точки OM′′′′−−→OM = g1 (x1 , .
. . , xn ) e1 + . . . + gn (x1 , . . . , xn ) en′′x = x(x1 , . . . , xn )∂x∂xбудут линейно независимы′ ,...,1∂x∂xn′∂x∂x1∂xneen=+...+1′′∂xi∂xi∂xi′ i ∂x ∂x ∂xi′ неособенная =⇒ ∂xi линейно независимы.Координатные линии — кривые, вдоль которых меняется толькоодна координата. Через любую точку области проходит единственнаякоординатная линия xi .∂rr — радиус-вектор,— касательная к координатной линии. Бу∂xiдем обозначать касательные к координатной линии xi .′′xi = xi (x1 , ..., xn )57′′xi = xi (x1 , ..., xn )∂r∂ r ∂xi′ =i∂x∂xi ∂xi′∂r∂xi′ = xii∂x∂xi′iРассмотрим произвольное тензорное поле VjkiiVjk(M ) = Vjk(x1 , ..., xn )′∂xj∂xk i∂xi(M ) j ′ (M ) k′ Vjk(M )i∂x∂x∂xПреобразование происходит по тензорному закону.Эллиптические координаты.′Vji′ k′ (M ) =x = a ch µ cos ν,y = a sh µ sin ν,µ ≥ 0,a2ν ∈ [0, 2π).y2x2+ 2 2 = cos2 ν + sin2 ν = 12ch µ a sh µКоординатные линии для µ — эллипсы.x2y2= ch2 µ − sh2 µ = 1−a2 cos2 νa2 sin2 νКоординатные линии для ν — гиперболы.Коэффициенты ЛамэqHµ = Hν = a sh2 µ + sin2 νЦилиндрическая система координатx = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ,z = z,цилиндркоординатныеполуплоскость поверхностиплоскость ⊥Oz∂r= H1 e1∂q158∂rH1 — длина∂q2 1∂rHi2 =— коэффициенты Ламэ∂qi∂r∂x∂z∂y=j+i+k∂qi∂qi∂qi∂qi(Hi )2 = (∂x 2∂y 2∂z 2∂r 2) =() +() +()∂qi∂qi∂qi∂qiКоэффициенты Ламэ.Полярная системакоординатСферическая системакоординатHr = 1Hϕ = rHr = 1Hθ = rHϕ = r sin θГрадиент, дивергенция, ротор в криволинейной системе координатБудем рассматривать криволинейные ортогональные координаты.Условие ортогональности криволинейных координат∂r ∂r= Hi2 δki∂qi ∂qkПусть e1 , e2 , e3 — единичные векторы по касательным к координатным линиям∂r= Hi e i∂qiНайдём grad qi , перпендикулярный к qi = const.Единичный вектор e∗i — нормаль к этой поверхности по возрастанию qigrad qi = hi e∗i - не суммируется!h2i = (grad qi )2 =∂qi∂x2+∂qi∂y2+∂qi∂z2hi — дифференциальные параметры первого порядка.59Покажем, что векторы grad q1 , grad q2 , grad q3 образуют систему∂r ∂r ∂rвекторов, взаимных с,,.∂q1 ∂q2 ∂q3Для этого надо показать, что∂r= 1,∂qi∂rgrad qi ·= 0,∂qkgrad qi ·i 6= k.Умножая обе части равенства∂r∂r∂rdq1 +dq2 +dq3∂q1∂q2∂q3∂qi ∂qi ∂qiскалярно на grad qi =,,∂x ∂y ∂z∂r∂rdq1 + grad qi ·dq2dqi = grad qi · d r = grad qi ·∂q1∂q2∂rdq3+ grad qi ·∂q3d r(q1 , q2 , q3 ) =откуда в силу произвольности dq1 , dq2 , dq3 следуют искомые равенства.ei = e∗iНеобходимые и достаточные условия ортогональности криволинейных координат можно записать какgrad qi grad qk = 0,i 6= k/Для ортогональных криволинейных координат выполненоhi =1,Hiв частностиgrad qi =ei.Hi∂r∂r∂rdq1 +dq2 +dq3∂q1∂q2∂q3= H1 q1 e1 + H2 q2 e2 + H3 q3 e3dr =60суммирования нетdsi = Hi dqi2H12 dq12ds =+ H22 dq22 + H32 dq32dV = H1 H2 H3 dq1 dq2 dq3∂ϕ∂ϕ∂ϕgrad q1 +grad q2 +grad q3∂q1∂q2∂q3e2 ∂ϕe3 ∂ϕe1 ∂ϕ++=H1 ∂q1H2 ∂q2H3 ∂q3grad ϕ =Для вычисления div a удобно применять формулуH(a · n)dSSadiv = limV →0Vвзяв за V объем бесконечно малого параллелепипеда, одной из вершинкоторого является точка M , в которой ищем дивергенцию.N1M3N2MNM2M1N3Грань M M2 N1 M3 имеет величинуdσ1 = H2 H3 dq2 dq3нормальная составляющая вектора a к этой грани равна (−a1 ), поэтому поток через эту грань будет равен (−a1 H2 H3 dq2 dq3 )Для противоположной грани координата q1 имеет значение q1 +dq1 ,значения других координат остаются теми же, поток будет равен∂(a1 H2 H3 )a1 H2 H3 +dq1 dq2 dq3∂q1Через две грани поток равен∂(a1 H2 H3 )dq1 dq2 dq3∂q161Аналогично для потока через грани M M1 N2 M3 и M2 N3 N N1∂(a2 H3 H1 )dq1 dq2 dq3∂q2и через грани M M1 N3 M2 и M3 N2 N N1∂(a3 H1 H2 )dq1 dq2 dq3∂q3Складывая все три выражения, получим полный потокIan dS.SДеля его на объем параллелепипеда V = H1 H2 H3 dq1 dq2 dq3 , получимокончательно1∂(a1 H2 H3 ) ∂(a2 H3 H1 ) ∂(a3 H1 H2 )div a =++.H1 H2 H3∂q1∂q2∂q3В частности получаем формулы∂(a1 H2 H3 )1H1 H2 H3∂q1∂(a2 H3 H1 )1div e2 =H1 H2 H3∂q21∂(a3 H1 H2 )div e3 =H1 H2 H3∂q3div e1 =Рассмотрим rot a.
Применим формулуHa ·d rrotn a = lim CS→0SЧтобы получить проекцию rot a на координатную линию q1 , нужновзять за C контур M M2 N1 M3 , его площадь равнаσ = H2 H3 dq2 dq3Далее вычисляем интеграл по замкнутому контуру M M2 N1 M3 .Прежде всегоZa ·d r = a2 ds2 = a2 H2 dq2M M262ДалееZa ·d r =M3 N1∂(a2 H2 )a2 H2 +dq3 dq2 ,∂q3т.к. в этом интеграле координата q2 имеет значение q2 + dq2 , значениядругих координат остаются прежними.Точно также вычисляютсяZa ·d r = a3 H3 dq3M M3иZa ·d r =Z−M2 N1ПоэтомуIZ=M M2+Z−M3 N1M2 N1∂(a3 H3 )a3 H3 +dqdq3 .3∂ϕ2Z=M M3∂(a3 H3 ) ∂(a2 H2 )−∂q2∂q3dq2 dq3 .Деля это выражение на dσ1 , получим требуемое выражение1∂(a3 H3 ) ∂(a2 H2 )−(rot a)1 =H2 H3∂q2∂q3∂(a1 H1 ) ∂(a3 H3 )1−(rot a)2 =H3 H1∂q3∂q11∂(a2 H2 ) ∂(a1 H1 )−(rot a)3 =H1 H2∂q1∂q2Рассмотрим оператор Лапласа.
Так как∆ψ = div grad ψ,получаем выражение∆ψ =1H1 H2 H3∂∂q1H2 H3 ∂ψH1 ∂q163+∂∂q2H3 H1 ∂ψH2 ∂q2∂H1 H2 ∂ψ+∂q3H3 ∂q33.2Метрический (фундаментальный)тензор вкриволинейной системе координат.ds2 = gik (x1 , . . . , xn )dxi dxkЗначение этой формы должно быть одно для всех систем координат.Введем метрику. В аффинной системе координатgij = ei ej .Рассматривая тензор gij в криволинейных координатах xi , мы относим его в каждой точке M к соответствующему локальному реперу{M, x1 , . . . , xn }. Его координаты будут выражаться скалярными произведениямиgij (M ) = xi (M ) xj (M )xi =∂r∂xigij (M ) = gij (x1 , .
. . , xn )переход к новым криволинейным координатамgi′ j ′ =∂xi ∂xjgij∂xi′ xj ′Рассмотрим параметрически заданную кривуюxi = xi (t)r = r(x1 , . . . , xn )Касательный вектор∂ r dxidxidrxi==dt∂xi dtdtdxi— координаты, контравариантный тензор. Переход в другую сиdtстему координат′′dxi∂xi dxi=.dt∂xi dtd r = xi dxi64dxi — один раз ковариантный тензор. В другой системе координат′′dxi =∂xidxi∂xiВсе дифференциалы берутся при бесконечно малом смещении, ониберутся как дифференциалы от параметра t при его бесконечно маломприращении dt.
2drdxi dxj= gijdtdt dtОтсюдаи длина кривой s 2 rd rdrdxi dxj =g=ij dt dtdt dtZt1 rZM1Zt1 d rdxi dxjgijdtL = (d r) = dt =dtdt dtM0t0t0ds =qgij dxi dxjds2 = gij dxi dxj— квадрат длины дуги выражается квадратичной формой, это метрическая формаНайдем углы, которые составляют направления касательных инормалей с осями прямоугольной системы координат.y1 , y2 , y3 — прямоугольная система координат;s1 , s2 , s3 — касательные к координатным линиям;n1 , n2 , n3 — нормали к координатным поверхностям.Возьмем направление s1 , вдоль нее меняется только x1 .d r = (dy1 , dy2 , dy3 )∂y1 idx ,∂xiне суммируется по i.dy1 =dy2 =∂y2 idx ,∂xi65dy3 =∂y3 idx ,∂xiВеличина вектора d r равнаqdsi = dy12 + dy22 + dy32 =s2 2 2∂y1∂y2∂y3√=++dxi = gii dxi∂xi∂xi∂xiпо i не суммируется.1 ∂ygcos(si , yj ) = √gii ∂xiт.к.cos α =Знаем, чтоabgik Ai B kp=p|a||b|gik Ai Ak gik B i B kAi = gik Ak ,Ai = g ik AkРассмотрим касательные к координатным линиям и нормали к координатным плоскостямпо касательным s1 , s2 , s3 — единичные векторы e1 , e2 , e3по нормали n1 , n2 , n3 — единичные векторы e1 , e2 , e3Пусть a1 , a2 , a3 — составляющие этого вектора в прямоугольнойсистеме координат;Asi — косоугольные составляющие по направлениям si ;Ani — косоугольные составляющие по направлениям ni ;ani проекции на нормали к координатным плоскостям;asi проекции на касательные к координатным линиямюa = As1 e1 +As2 e2 +As3 e3 ;a = An1 e1 +An2 e2 +An3 e3Ортогональная проекция на направление касательнойasi = aj cos(si , yj ),1 ∂xi,cos(ni , yj ) = pg ii ∂yj66по основной формулеAi = aj∂yj∂xi∂yj1asi = aj cos(si , yj ) = √ aj igii ∂xAiasi = √gii∂xi1ani = aj cos(ni , yj ) = p ajg ii ∂yjAi = aj∂xi∂yjAiani = pg iiasi , ani — ортогональные проекции на касательные к координатнымлиниям и нормали к координатным плоскостям.Составляющие ei по y1 , y2 , y3 .1 ∂yjcos(si , yj ) = √gii ∂xiСоставляющие ei по y1 , y2 , y31 ∂xicos(ni , yj ) = pg ii ∂yjТаким образомaj =XX ∂yj1 ∂yjAsi √Ai i=igii ∂x∂xiXX ∂xi1 ∂xi=AiAni p∂yjg ii ∂yjiiaj =iОтсюда получаемAsi =√gii AiAni =pg ii Aiasi = ani = Asi = Ans — физические составляющие вектора.67В случае криволинейных ортогональных координатAi =Ai = Hi axi ,1axHi igii = Hi2Рассмотрим дифференцирование компонент вектора:∂Ai kdx∂xkdAi =∂xiAi′ = Ai i′∂x ii′∂x∂ 2 xi∂xi∂xdA+AddA+Adxk=dAi′ =iiii′′′∂xi∂xi∂xi∂xi′ ∂xk′Для того, чтобы дифференциал был тензором, надо было быdAi′ =∂xidAi∂xi′Введем вспомогательное понятие геодезической.3.3ГеодезическаяРассмотрим параметрически заданную кривуюx1 = x1 (t),.
. . . .xn = xn (t).Длина отрезка кривой L между M0 и M1ds2 = gik dxi dxk .Обозначим∂xi= ẋi .∂tds =l=Zt1t0pds =gik ẋi ẋk dt,Zt1 pt068gik ẋi ẋk dt.Определение: Линия, длина отрезка которой, расположенногомежду произвольными достаточно близкими ее точками, меньше длины любой другой соседней кривой называется геодезической.Уравнение: L0 — геодезическая, параметр — длина дуги s, отсчетот M0 . s для M1 равно l0 .xα = xα0 (s)α = 1, nПустьξ α : ξ α (0) = ξ α (l0 ) = 0αxα = xα0 (s) + εξ (s)ε — малый параметр, который может быть либо больше, либо меньшенуля.Пусть уравнение геодезической имеет вид:dxdxi dxkΦ x,= gikdsds dsdx0Φ x0 ,dsт.к.= gikdxi0 dxk0=1ds dsds2 = gik dxi dxk .Вместо t берем sZl0 s Φ x0 + εξ,l(ε) =0dξdx0+εdsdsdsпри ε = 0 получим l0 меньше, чем длина всех других дуг.Т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
