1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

эта функция при ε = 0 должна иметь минимум. Производнаядолжна быть равна 0.dl(ε)=0dε ε=069Можно дифференцировать под знаком интеграла, это сложная функция. Zl0dl(ε)1r =×dεdξdx00 2 Φ x0 + εξ,ds + ε dsi∂Φ∂ξ∂Φ×ξ i (s) + idsdx0dξ i ∂(xi0 + εξ i )ds +ε∂dsdsПри ε = 0dl(ε)=dεZl00по i суммированиеZl00i1∂Φ dξ  ∂Φ iq ∂xi ξ (s) + dxi0 ds dsdx00∂ ds2 Φ x0 , dsdx0Φ x0 ,=1ds∂Φ iξ (s)ds +∂xi0Zl00∂Φ ∂ξ i ids = 0dx0∂s∂dsВторой интеграл вычисляем по частямZl00s=l0Zl0d∂Φ∂Φ∂Φ i dξ i =  i ξ i − ξ i  i  ds =dx0dx0dxds∂ ds∂ ds∂ ds00s=0Zl0∂Φd= − ξ i  i  dsds ∂ dx00т.к.ξ i (0) = ξ i (l0 )Zl00ξi"∂Φd−ids∂x070∂Φ∂dxi0ds!#=0dsПо произвольности ξ i необходимо, чтобы было выполнено!∂Φ∂Φd−=0i∂xids ∂ dxds(21)Таким образом, можно дать такое определение геодезической —это линия, удовлетворяющая уравнению (21).Воспользуемся уравнениемdxdxi dxkΦ x,= gik.dsds dsУравнение геодезическойd  ∂Φ dΦ =0−dxids ∂ dxidsdxk∂Φ = 2gikids∂ dxdsdxk dxi)(2-ка потому, что есть gkids dsdg dxkd  ∂Φ d2 xk = 2gik 2 + 2 ikids ∂ dxdsds dsdsdgik dxkdgiα dxα∂giα dxβ dxα==ds dsds ds∂xβ ds dsdgik dxkdgiβ dxβ∂giβ dxα dxβ==ds dsds ds∂xα ds dsd  ∂Φ d2 xk∂giα∂giβ dxα dxβ = 2gik 2 ++ds ∂ dxids∂xβ∂xαds dsdsdxα dxβdx= gαβΦ x,dsds ds71∂gαβ dxα dxβ∂Φ=i∂x∂xi ds dsαβd2 xλλ dx dx+Γ= 0,αβds2ds dsλ = 1, nΓλαβ — символы Кристоффеля, n3 функций.Символы Кристоффеля не тензоры, в самом деле, в прямоугольной системе координат геодезическая имеет видxλ = aλ s + bλ(22)aλ = const, bλ = const.

Тогдаd2 xλ= 0,ds2Γλαβ = 0.Если выбрать сферические координаты, то геодезическая не можетбыть выражена (22), тогда Γλαβ 6= 0Но для тензора выполнено свойство: если он равен нулю в однойсистеме координат, то он равен нулю и в любой другой. Т.е. символыКристоффеля не тензор.3.4Свойства символов КристоффеляСимволы Кристоффеля первого и второго рода связаны соотношениямиΓλαβ = g iλ Γi,αβ , Γk,αβ = gkλ Γλαβ .gkλ Γλαβ = gkλ g iλ Γi,αβ = δki Γi,αβ = Γk,αβСимметрия по индексамΓi,αβ = Γi,βα ,Γiαβ = Γiβα∂gαβ= Γα,βγ + Γβ,αγ∂xγНайдем∂g, где g — определитель∂xα72Дифференцируем определитель g11 g12 .

g21 g22 . ...gn1 gn2 .Можно разложить по строкеg=nXg1n . g2n .. . gnn .gjk Gjkk=1Gik — алгебраическое дополнение к gik со знаком, j — фиксировано.g lj g = δkl Gjk ⇒ Gik = gg ki ,nnX X ∂gik∂g=Gik ,α∂x∂xαi=1k=1∂gik∂g= gg ki α ,α∂x∂xПодставляя выражение для символов Кристоффеля, имеем∂g= gg ki (Γi,kα + Γk,iα ) = gΓkkα + gΓiiα = 2gΓiiα .∂xαОкончательно получаем формулуΓiiα =√1 ∂ g1 ∂ ln g=√2 ∂xαg ∂xαПреобразование символов Кристофффеля при замене координат.Рассмотрим уравнение геодезическойd2 xλdxα dxβ+ Γλαβ=02dsds dsТогда при замене координат′∂xλ dxidxλ=,ds∂xi′ ds73′′∂xλ d2 xidxi d dxλd2 xλ=+,ds2∂xi′ ds2ds ds dxi′′d dxλ∂ 2 xλ dxk=,ds dxi′∂xi′ ∂xk′ ds′′dxα∂xα dxi=,ds∂xi′ dsdxβ∂xβ dxi=.ds∂xi′ ds′′∂xλ d2 xi∂ 2 xλ dxi dxkd2 xλ=+′2i2ds∂x ds∂xi′ ∂xk′ ds dsОбъединяя эти формулы, получим′′′′′′∂ 2 xλ dxi dxk∂xα dxi ∂xβ dxi∂xλ d2 xi++ Γλαβ i′=0′′′i2ik∂x ds∂x ∂x ds ds∂x ds ∂xi′ dsС другой стороны:′′′ikd2 xrr ′ dx dx+Γ=0′ k′ids2ds dsУмножим на∂xλ:∂xi′∂xα ∂xβ λ∂ 2 xλ∂xλ r′′ Γi′ k ′ =′′ Γαβ +iik∂x∂x ∂x∂xi′ ∂xk′′Умножим на∂xi:∂xλ′∂xi ∂xλi′′ = δr ′λr∂x ∂x′′′Γli′ k′ = Γλαβ∂ 2 xλ ∂xl∂xl ∂xα ∂xβ′′ +λik∂x ∂x ∂x∂xi′ ∂xk′ ∂xλОбратно аналогично:′′Γλαβ = Γli′ k′′′∂ 2 xl ∂xλ∂xλ ∂xi ∂xk+∂xl′ ∂xα ∂xβ∂xα ∂xβ ∂xl′Получили закон преобразования символов Кристоффеля при заменекоординат.∂ 2 xλ∂xλ r′∂xα ∂xβ λ=ΓΓ′ k′ −′′′i∂xi ∂xk∂xr∂xi′ ∂xk′ αβ743.5Ковариантная производнаяНадо дать понятие тензорной производной вектора и тензора.∂ϕЕсли есть поле скалярной функции ϕ(x1 , ..., xn ), то— ковек∂xi∂ϕ=тор.

При переходе из одной системы координат в другую∂xi′∂ϕ ∂xiменяется по ковекторному закону.∂xi ∂xi′Пусть есть ковариантный вектор Ai , при замене координат он изменяется по закону∂xiAi′ =Ai .(23)∂xi′Составим дифференциалdAi′ =′∂ 2 xi∂xidA+Adxk .ii′∂xi∂xi′ ∂xk′Если бы величины dAi были составляющими тензора, формулы ихпреобразования имели бы видdAi′ =∂xidAi .∂xi′Это будет только в случае, если∂ 2 xi= 0.∂xi′ ∂xk′′Продифференцируем (23) по xk :∂Ai′∂Aα ∂xβ ∂xα∂ 2 xi′ =′′ + Aikβki∂x∂x ∂x ∂x∂xi′ ∂xk′∂ 2 xi∂xi r′∂xj ∂xk iΓ′′ =′ Γi′ k ′ −ikr∂x ∂x∂x∂xi′ ∂xk′ jk∂Ai′∂Aα ∂xβ ∂xα∂xα ∂xβ i∂xi r′Γ′ =′′ + Ai′ Γi′ k ′ − Aikβkir∂x∂x ∂x ∂x∂x∂xi′ ∂xk′ αβСгруппируем слагаемые α∂Aα∂xi r′∂x ∂xβ∂Ai′i=−AΓ−AΓ′′ii αβ′′ikkrβ∂x∂x∂x∂xi ∂xk′75Выражение∂Aα− Ai Γiαβ∂xβназывается ковариантной производной ковариантного вектора, этотензор второго ранга.Определим ковариантную производную контравариантного вектора Aα .

Пусть∇β Aα =ϕ = Aα Bα ,Bα — прозвольный ковариантный вектор∂ϕ∂xβ∇β ϕ = (∇β Aα )Bα + Aα ∇β Bα∇β ϕ =Aα ∇β Bα — ковариантный вектор;Bα ∇β Aα — ковариантный вектор;Bα ∇β Aα = ∇β (Aα Bα ) − Aα ∇β Bα .∂Bα∂(Aα Bα )αλ=−A−BΓλ αβ∂xβ∂xβ∂Aα= Bα β + Aα Bλ Γλαβ =∂x∂Aα= Bα β + Aλ Bα Γαλβ .∂xBα ∇β Aα =Отсюда получаем по произвольности Bα∂Aαα+ Aλ Γαλβ = ∇β A .∂xβТакже определяется производная любого тензора.Например, рассмотрим тензорA..γαβ.Возьмем три произвольных вектора uα , v β и wγ и составимα βA..γαβ. u v wγ76α β∇λ (A..γαβ.

u v wγ ) =..γ βα βα= uα v β wγ ∇λ A..γαβ. u v wγ + Aαβ. v wγ ∇λ u +..γ α βαβ+ A..γαβ. u wγ ∇λ v + +Aαβ. u v ∇λ wγuα v β wγ ∇λ A..γαβ. =..γ βα βα= ∇λ (A..γαβ. u v wγ ) − Aαβ. v wγ ∇λ u −..γ α βαβ− A..γαβ. u wγ ∇λ v − −Aαβ. u v ∇λ wγЭто один раз ковариантный вектор. ∇λ A..γαβ. должен быть тензором4-го ранга 3 раза ковариантным, один раз контрвариантнымПодставим в формулуα β∇λ (A..γαβ. u v wγ ) ==∂(A..γ uα v β wγ ) =∂xλ αβ.α∂..γ..γ ∂uα β(Av β wγ +)uvw+Aγαβ.αβ.∂xλ∂xλβα ∂vα β ∂wγ+ A..γwγ + A..γαβ.

uαβ. u v∂xλ∂xλuα v β ∇λ wγ A..γαβ. ==∂A..γαβ.∂xλ..γ αβµ αµ αuα v β wγ − A..γαβ. v wγ u Γλµ − Aαβ. u wγ v Γλµ +µα β+ A..γαβ. u v wµ ΓλγПереобозначим: µ и α во втором слагаемом, µ и β в третьем слагаемом, µ и γ в четвертом слагаемом.По произвольности uα , v β и wγ получаем∇λ A..γαβ. =∂A..γαβ.∂xλµ..µ γ..γ µ− A..γµβ. Γγλ − Aαµ. Γβλ + Aαβ. ΓµλПравила действийРанее было установлено, что ∇α ϕ =77∂ϕ— ковариантный вектор∂xαУстановим правила дифференцирования в общем виде.Дифференцирование произведения тензоров совершается по томуже закону, что и в обыкновенном анализе.·γ·γ·γ∇λ (Aα Bβ·) = Bβ·∇λ Aα + Aα ∇λ Bβ··γ∂(Aα Bβ·)·γ·γ µ·γ γ·γ µ∇λ (Aα Bβ·)=− Aµ Bβ·Γλα − Aα Bµ·Γλβ + Aα Bβ·Γλµ =λ∂x!·γBβ·∂Aαµ·γ·γ µ·µ γ=−AΓB− Bβ·+AΓβλ + Bβ·Γµλ =µ αλαβ·∂xλ∂xλ·γ·λ= Bβ·∇λ Aα + Aα ∇λ Bµ·Производная тензора, сокращенного по нескольким индексам, может быть получена сокращением по этим индексам производной исходного тензора.··γBαβ·λ= ∇λ A··γαβ·γ=β··βBαβ.λ=∂A··βαβ·∂xλµ··β− A··βµβ· Γαλ = ∇λ Aαβ·и можно обобщить это правило для произвольных тензоров··γ··γβ·β·β·∇λ (A··γαβ· B·γ ) = B·γ ∇λ Aαβ· + Aαβ· ∇λ B·γКовариантная производная фундаментального тензора равна нулю.

Пусть дан фундаментальный тензор gik∇λ gik =∂gik∂gik− gµk Γµiλ − giµ Γµkλ =− Γk,iλ − Γi,kλ ,∂xλ∂xλбыла доказана формула∂gαβ= Γα,βγ + Γβ,αγ ,∂xγотсюда получаем∇λ gik =∂gik∂xλ∇λ gik = 0,− gµk Γµiλ + giµ Γkµλ = −Γkiλ + Γkµλ = 0,78gil = gik g kl ,∇λ gil = g kl ∇λ gik + gik ∇λ g kl ,умножая на g ik , получаемgik ∇λ g kl = 0,gkr ∇λ g kl = ∇λ g rl = 0.Введем контравариантные производные, определив их формуламивида∇µ Ai = g µλ ∇λ Ai··γµλ∇µ A··γαβ· = g ∇λ Aαβ·Принимая во внимание доказанное свойство фундаментальных тензоров и данное определение контравариантной производной, можембез труда написать составляющие различного рода производной откакого-либо тензора.

Например, у ∇λ A·βα·∇λ Aαβ ,∇λ Aαβ ,∇λ A·βα· ,∇λ Aβ··α ,∇λ A·βα· ,∇λ Aα··β ,∇λ Aαβ ,∇λ AαβДанное определение тензорной производной годится для любой системы координат и имеет тензорный характер. Поэтому, взяв какуюнибудь векторную операцию и выразив ее через тензорные производные, мы получаем выражение, имеющее тензорный характер и потомупригодное для вычисления в любой системе координат.Пусть имеется прямоугольная система координат y1 , y2 , y3 , введемкриволинейную систему координат x1 , x2 , x3 . Тогда y1 , y2 , y3 будутфункциями от x1 , x2 , x3 и обратноyα = yα (x1 , x2 , x3 )xi = xi (y1 , y2 , y3 ).Расстояние между двумя бесконечно близкими точками будет выражаться в y1 , y2 , y3ds2 = dy12 + dy22 + dy32 ,в координатах x1 , x2 , x3ds2 = gij dxi dxj ,79гдеgij (x1 , x2 , x3 ) =3X∂yα ∂yα.∂xi ∂xjα=1В случае ортогональных криволинейных координат, обозначая,как обычно2 2 2∂y2∂y3∂y12++Hi =∂xi∂xi∂xiбудем иметьgii = Hi2 ,g = H12 H22 H32 ,g ii =1,Hi2gij = g ij = 0,i 6= jПусть ортогональная проекция вектора, приложенного в точке Mна оси криволинейной системы координат имеет физические компоненты axi тогда:axi = Hi ai =1aiHiсуммирования нет.Рассмотрим различные векторные операции.1) Градиент скалярной функции fВ декартовой системе координат этот вектор имеет составляющие∂f,∂y1∂f,∂y2∂f.∂y3∂fВектор с составляющими— ковариантный вектор, в системе∂xiкоординат yi совпадает с составляющими grad f .

Ковариантные составляющие градиента в любой системе координат являются∇α f =∂f.∂xαКонтравариантными составляющими будут служить величины∇α f = g αλ ∇λ f = g αλ∂f.∂xλФизические компоненты проекции grad f на оси координат(grad f )xi =801 ∂f.Hi ∂xi2) Дивергенция вектора aВ координатах y1 , y2 , y3div a =∂axi,∂yiпереходя к xi и, заменяя обыкновенные производные на тензорные,приходим к выражению ∇i ai = ∇i ai , которое имеет инвариантныйхарактер и в случае прямоугольной системы координат совпадает сdiv a, т.к.

Характеристики

Список файлов книги