1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

не существует векторов x 6= 0 ортогональных всем векторам пространства.Если условие не выполнено, то существует x 6= 0, такой что x y = 0для всех y, т.е. gij xi y j = 0, векторы y 1 , . . . , y n — произвольны, поэтомуgij xi = 0.37вектор x 6= 0, т.е. xi одновременно не равны 0, отсюда получаемdet kgij k = 0.Обратно, если det kgij k = 0 выполнено, то существуют ненулевыеx1 ...xn , для которых x y = 0.Для вырождения матрицы необходимо и достаточно, чтобыdet kgij k = 0.Внесение в n-мерное аффинное пространство операции скалярногоумножения эквивалентно заданию в нем метрического тензора gij ,удовлетворяющего условию симметрии gij = gji и невырожденностиdet kgij k =6 0.Этого достаточно потребовать в одной координатной системеgi′ j ′ = Aii′ Ajj ′ gijЕсли считать номером строки в матрицах gij , gi′ j ′ первый индекс, вAii′ — нижний индекс, а в Ajj ′ gij — верхний, то можно сказать, чтоgi′ j ′ получается умножением Aii′ kgij kAjj ′ в порядке записи.Т.е.

определители умножаютсяdet |gi′ j ′ | = det |Aii′ |2 det |gij |det |gij | — относительный инвариант (веса 2). Если он обращается в 0в одной координатной системе, то и в другой он равен нулю.2.6Связь ковариантных и контравариантных компонент.Составим из величин gij матрицу g ij по законуkg ij k = kgij k−1g ij — дважды контравариантный тензор, т.е. преобразуется следующим образом′′ ′′g i j = Bii Bjj g ijПостроив в одной координатной системе g ij обратный к gij , перейдем к другой системе координат и докажем, что эта матрица будет′ ′обратной к g i j , т.е. чтоg ij gjk = δki .38В самом деле′ ′′′g i j = Bii Bjj g ij ,gj ′ k′ = Ajj ′ Akk′ gjk .Тогда′ ′′′g i j gj ′ k′ = Bii Brj g ir Ajj ′ Akk′ gjk =′= Bii δrj g ir Akk′ gjk =′′′= Bii g ij Akk′ gjk = Bii Akk′ δki = δki ′′ ′Таким образом, g i j — обратный к gi′ j ′ .g ij — будем называть контравариантным метрическим тензором.Как в евклидовом пространстве можно каждый ковариантный индекс переделать в контравариантный?xi = gij xjЭта операция опускания индекса определена однозначноxi = g ij xjКоординаты контравариантного тензора xi — координаты вектораx = xi eiОпускание индекса: xi = gij xj = (ei ej )xj = (ei , xj ej )xi = x eiОпускание индекса — скалярное произведение этого вектора на векторы репера.

Их будем называть ковариантными координатами вектораx.По этой же схеме можно поднять или опустить другие индексы.Чтобы не путать, будем ставить точки:a..kij.l — поднять первый индексip ..k.ai.k..j.l = g apj.lgi..j = g jp gip = δij ,g jp = g pj ,g..ij = g ip δpj = g ij39Длина элемента дуги определяется равенствомds2 = gik dxi dxk .Скалярное произведение определено соотношением(x, y) = gij xi y j ,т.е.(x, x) = gij xi y j = xj xj g ij xi xj .Угол между векторами. Так как(x, y) = |x||y| cos ϕ,тоОртогональностьgij xi y jpcos ϕ = √.xi xi yj y j(x, y) = 0Сопряженный базис.Введем сопряженный базис (ei ).

Пусть выполнены соотношения(ei , ej ) = δji .Тогдаx = ai eiи(x, ej ) = (ai ei , ej ) = ai δji = xiт.о. можно рассмотреть ковариантную компоненту как элемент разложения по базису ei .Векторное произведение.Пусть x, y, z — векторы. Образуем два определителя 1x x2 x3 1y 2 y 3 ,V = yz 1 z 2 z 3 x1′V = y1 z1x2y2z240x3 y3 .z3 Так какxi = gij xj ,получаемg1k xk′V = g1k y k g1k z kg2k xkg2k y kg2k z k g3k xk g11g3k y k = g21g3k z k g31g12g22g32В другой системе координат g13 x1g23 · y 1g33 z 1xi′ = Aii′ xi .Обозначим det kAk. Тогда iA1 xi′fV = Ai1 yi Ai1 ziAi2 xi Ai3 xi Ai2 yi Ai3 yi = V ′ det kAkAi2 zi Ai3 zi ix xi xi yi xi zi V · V ′ = y i xi y i yi y i zi z i xi z i yi z i zi Выражаем инвариантf′ = V · V ′ V ′ = gVVe · Vef′ = V ′ det A = geVeV det A = V , VПусть ge иpge > 0gei′ j ′ = gij detA2pge = det A ·√gf′VVe det AV===V′VeVesf′geVeV=′VgVf′VV′p =√ ,ggeVe41pge = Vgeg√gx2y2z2x3 y 3 = gV.z3 V′g и √ — инварианты.gВведем величины:V√δ123 = δ231 = δ312 = 10 в остальных случаях.Тогдаδ321 = δ213 = δ132 = −1V = x1 y 1 z 1 + x2 y 3 z 1 + x3 y 1 z 2− x1 y 3 z 2 − x2 y 1 z 3 − x3 y 2 z 1 = δijk xi y j z kV ′ = δijk xi yj zk√√gV =gδijk xi y j xk 11инварианты.√ V ′ = √ δijk xi yj zk gg√Из теоремы сокращения тензоров получаем, что gδijk — ковариант1ный тензор, обозначим его eijk , а √ δijk = eijkgПолучаемg1α g2α g3α 11eijk giα gjβ gkγ = √ δαβγ giα gjβ gkγ = √ g1β g2β g3β =ggg1γ g2γ g3γ 1√= √ gδαβγ = gδαβγ = eαβγ .gИнвариант записывается следующим образом1√gV = √ V ′ = eijk xi y j z k = eijk xi yj zk .gПусть даны два вектора xi и yj , определимuk = eijk xi y j ,uk = eijk xi yj .Компоненты uk и uk — ковариантные и контравариантные компоненты векторного произведения.Тензор eijk — дискриминантный тензор Леви-Чивиты.422.7Тензоры в псевдоэвклидовом пространствеРассмотрим базис e1 , .

. . , en , для векторов которого выполнены соотношения(ei , ej ) = 0, i 6= j,(ei , ei ) = ±1,т.е. векторы в базисе единичные и мнимоединичные.Перенумеруем его векторы так, чтобы мнимоединичные были вначале.e21 = e22 = . . . = e2k = −1,e2k+1 = e2k+2 = .

. . = e2n = 1.Тогда фундаментальный тензор gij будет иметь компонентыgij = 0,i 6= j,g11 = g22 = . . . = gkk = −1,gk+1,k+1 = . . . = gnn = 1.связь между ковариантными и контравариантными компонентамивектора xi = gij xj теперь перепишется в видеxi = −xi ,i = 1, . . . , kxi = xi ,i = k + 1, . .

. , n.Скалярное произведение имеет видx y = gij xi y i = −x11 y11 − . . . − xk y k + xk+1 y k+1 + . . . + xn y n .Инвариантную квадратичную форму gij xi xj , выражающую скалярный квадрат вектора, будем называть метрической квадратичнойформой.При любом выборе базиса число мнимых ортов одно ито же. Пусть мы построили два ортонормированных репера(0, e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) и (0′ , e′1 , . . .

, e′l , e′l+1 , . . . , e′n ). Предположим,l > k.Рассмотрим в совокупности единичные векторы ek+1 , . . . , en имнимоединичные e′1 , . . . , e′l . Их число больше n, поэтому они должны быть линейно зависимыα1 e′1 + . . . + αl e′l = βk+1 ek+1 + . . . + βn en43Возведем обе части равенства в квадрат и получим2−α12 − . . . − αl2 = βk+1+ . .

. + βn2 .Это равенство может иметь место только при α1 = . . . = αl = βk+1 =. . . = βn .k — число мнимоединичных ортов, будем называть индексом евклидова пространства.Вектор x 6= 0, для которого | x | = 0 и который, следовательно,ортогонален самому себе, называется изотропным.Частный случай.Пусть n = 2.e20 = −1, e21 = 1gij =−1001,gij=−10x0 = −x0 , x1 = x1 .01Скалярное произведение(x, y) = −x0 y 0 + x1 y 1 ,следовательно, квадрат длины вектора равенx2 = −(x0 )2 + (x1 )2 .Найдем изотропные векторы x2 = 0.−(x0 )2 + (x1 )2 = 0,следовательно, для изотропного вектора.x1 = ±x0 .При |x1 | > |x0 | имеем векторы вещественной длины, при |x1 | < |x0 | —векторы мнимой длины.Ортогональные векторы. Пусть−−→ −−→OM · ON = 0,т.е.−x0 y 0 + x1 y 1 = 0.44Эти векторы симметричны относительно биссектрис координатныхуглов. Изотропная прямая, как направленная по изотропному вектору, ортогональна сама себе.Отложим от 0 отрезки одинаковой длины.

Пусть x2 = ρ2 , тогда−(x0 )2 + (x1 )2 = ρ2 Изображением окружности на плоскости служатветви равнобочной гиперболы. В случае, когда ρ = 0, это пара изотропных кривых.Рассмотрим преобразование ортогонального базиса, сохраняющееортогональность. e0′ = A00′ e0 +A10′ e1e1′= A01′ e0 +A11′ e1A00′ 6= 0 — иначе мнимоединичный вектор переходит в единичный ибудет противоречие. A11′ 6= 0 — из этих же соображений.По ортогональности e0 , e1 выполнено соотношениеA01′A10′== β.A00′A11′Обозначим A00′ = a, A11′ = b. Тогда можно записатьA10′ = aβ,A01′ = bβe0′ = a(e0 +β e1 )e1′ = b(β e0 + e1 )Орт e0′ — мнимоединичный, откудаe20′ = −1 = −(A00′ )2 + (A10′ )2 = −a2 + a2 β 2 = −1,Аналогично, орт e1′e21′ = 1 = −(A01′ )2 + (A11′ )2 = −b2 β 2 + b2 = 1,Окончательно закон преобразования имеет видe0′ =e0 +β e1p,± 1 − β2e1′ =β e0 + e1p,± 1 − β2a = ±pb = ±p451 − β211 − β2−1 < β < 1.Знаки могут быть любые независимо друг от друга.1.2.8Пространство МинковскогоС классической точки зрения существует лишь одна система отсчета неподвижная в абсолютном смысле слова, относительно которойформулируются законы физики.

Для классической механики → формулировка законов не меняется, если покоящуюся систему отсчетазаменить системой, движущейся равномерно и прямолинейно — инерциальные системы отсчета. Это принцип относительности Галилея.Пусть S — покоящаяся система отсчета (X, Y, Z), S ′ — движущаяся система отсчета (X ′ , Y ′ , Z ′ ). Ось X по направлению движения S ′ ,скорость (постоянная) = v, через t координатные оси X ′ , Y ′ , Z ′ сдвинутся относительно X, Y, Z на vt в направлении X. Если в момент tсобытия в точке x, y, z относительно S, то относительно S ′x′ = x − vt,y ′ = y,z′ = z(16)время носит абсолютный характер.Промежуток времени между двумя событиями один и тот же,независимо от того, в такой системе отсчета измеряетсяt′ = t.(17)Если прослеживать движение материальной точкиd2 x′d2 y ′d2 z ′d2 xd2 yd2 z2 = dt2 ,2 = dt2 ,2 = dt2 ,′′′dtdtdtпроекции ускорения будут одни для обеих систем отсчета.В классической динамике рассматриваются системы материальных точек.

Характеристики

Список файлов книги