1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиАЮПОВА Н.Б.ЛЕКЦИИ ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ(Курс лекций)Новосибирск2012Аюпова Н.Б. Лекции по векторному и тензорному анализу/Новосиб.гос.ун-т, Новосибирск,2012. 94 с.Учебное пособие соответствует программе курса "Векторный и тензорный анализ" ипредставляет собой изложение курса лекций.
Пособие содержит основные сведения. по следующимразделам: ортогональные тензоры, тензорная алгебра, тензорные поля и понятие ковариантнойпроизводной. В заключение приведены основные сведения теории поверхностей.Предназначено для студентов физического и геолого-геофизического факультетов НГУ.Рецензент к.ф-м.н., доцент каф. высшей математики ФФ А.И.ЧерныхКурс лекций подготовлен в рамках реализации Программы развитияНИУ-НГУ на 2009–2018 г.г. Новосибирский государственныйуниверситет, 2012Аюпова Н.Б., 201211.1Ортогональные тензоры в геометрии имеханикеВекторы.Рассматрим прямоугольную декартову систему координат. Пусть e1 ,e2 , e3 — орты, положенные в основу нашей координатной системы.Составим скалярные произведения ортов:0, i 6= jei ej = δij =1, i = jПусть x — произвольный вектор, отложенный для определенности изначала координат O.
Координаты вектора x можем определить каккоэффициенты разложенияx = x1 e1 +x2 e2 +x3 e3 ,xi — проекции вектора x на оси, x1 = x e1 , x2 = x e2 , x3 = x e3 .Здесь проекции записаны в виде скалярных произведений вектора xна соответствующие орты.Вектор x выражает какой-либо физический объект, например, параллельный сдвиг твердого тела, силу, скорость в данной точке и т.п.Этот объект существует независимо от координатной системы но нашспособ задания зависит от координатной системы.Между тем, координатные оси можно выбирать с большим произволом, их можно подвергать различным преобразованиям: произвольным параллельным сдвигам и поворотам вокруг начала O.Таким образом, способ задания векторов x координатами x1 , x2 ,x3 зависит от координатной системы.
Т.е. на картину изучаемых нами векторов накладывается, вообще говоря, случайный выбор координатной системы и изучаемая картина усложняется излишними подробностями. Основная задача тензорного исчисления - разобратьсяв создавшемся положении, научиться выделять то существенное, чтоотносится к самим изучаемым объектам, и отбрасывать то случайное,что привнесено произвольным выбором координатной системы.Для этого надо выяснить, как меняются координаты неизменного вектора x вследствие перехода от одной координатной системы кдругим.В дальнейшем будем рассматривать лишь поворот осей (включаязеркальное отображение) вокруг неподвижного начала O.3Пусть при неподвижном начале координат из старого базиса{e1 , e2 , e3 } переходим в новый {e′1 , e′2 , e′3 }.
Выразим новые орты вразложении по старымe′1 = A11 e1 +A12 e2 +A13 e3 ,e′2 = A21 e1 +A22 e2 +A23 e3 ,e′3 = A31 e1 +A32 e2 +A33 e3 .(1)Из этих соотношений видно, что коэффициентAij = e′i ej ,i, j = 1, 2, 3(2)совпадает со скалярным произведением e′i ej .Замечание.Матрица поворота Aij представляет собой это матрицуа косинусовcos(x′i , xj )Aij = cos(x′i , xj )Теперь выразим старые орты через новыеe1 = A′11 e′1 +A′12 e′2 +A′13 e′3 ,e2 = A′21 e′1 +A′22 e′2 +A′23 e′3 ,e3 = A′31 e′1 +A′32 e′2 +A′33 e′3 .(3)Аналогично предыдущему получимA′ij = ei e′j ,i, j = 1, 2, 3.(4)Сравнивая (2) и (4), получим, чтоAij = A′ji .(5)т.е.
kAij k и kA′ij k взаимно транспонированные. Но, кроме того, они ивзаимно обратные, так как определяют взаимно обратные преобразования (1) и (3).Итак, чтобы получить матрицу, обратную kAij k, достаточно еетранспонировать. Матрицы с этим свойством называются ортогональными. То, что матрицы kAij k и kA′ij k взаимно обратные, можно записать в виде равенства их произведения единичной матрицеX0, j 6= k,′Ajs Ask = δjk =1, j = ks4или, согласно (5),XAjs Aks = δjk .sОртогональная матрица имеет определитель ±1.det kAij k = ±1Положительный знак означает, что новый ортогональный репер имеетту же ориентацию, что и старый, а отрицательный — что ориентациярепера меняется на обратную.Теперь посмотрим, как будут меняться координаты при поворотеосей Найдем координаты вектора в старой координатной системеxi = x ei ,и, аналогично, в новой.x′i = x e′iУмножая скалярно на x равенства (3) и пользуясь последними формулами получаемx′1= A11 x1 + A12 x2 + A13 x3x′2x′3= A21 x1 + A22 x2 + A23 x3= A31 x1 + A32 x2 + A33 x3Другими словами, при повороте осей координаты каждого данноговектора подвергаются тому же ортогональному преобразованию, чтои орты.Xe′k =Aki ei(6)ix′k=XAki xi(7)iПреобразования, обратные (6) и (7) запишутся следующим образом:XXei =A′ik e′k =Aki e′k(8)XX(9)Aki x′kxi =A′ik x′k =Будем говорить, что нам дан вектор или тензор валентности 1или ранга 1, если для каждой из координатных систем нам даны тризанумерованных числа, преобразующихся по закону (7).51.2Двухвалентные тензоры.Возьмем два вектора x = (x1 , x2 , x3 ) и y = (y1 , y2 , y3 ).
и обозначимчерез aij всевозможные произведенияaij = xi yj .При повороте осей получим, согласно (7),Xx′p =Api xiiи аналогичноyq′ =XAqi xjjПеремножая эти два равенства почленно, получимXXx′p yq′ =Api Aqj xi yjiа значитa′pq =jXApi Aqj aij .(10)iБудем говорить, что нам дан тензор валентности два, если в каждойиз координатных систем нам заданы девять чисел, занумерованныхдвумя индексами aij , i, j = 1, 2, 3, и преобразующиеся при поворотекоординатных осей по закону (10).В дальнейшем будем опускать знак суммы, предполагая, что суммирование производится по повторяющимся индексам.Определим операции умножения вектора на тензор и тензора навектор.Пусть дан тензор P с элементами Pij и вектор a = (a1 , a2 , a3 )Под скалярным произведением тензора P на вектор a справа будемпонимать новый вектор b = P a, полученный по формулеbi = Pij ajПод скалярным произведением P на вектор a справа будем пониматьновый вектор c = a P , полученный по формулеcj = ai Pij6Пусть даны два тензора P и Q с элементами Pij и Qij соответственно.Скалярным произведением тензоров P и Q будем называть тензор Sс элементами SijSij = Pik QkjТензор δij можно рассматривать как тензор подстановки индекса:xi = δij xj .1.3Многовалентные тензоры.
Тензорная алгебра.По аналогии с двухвалентным тензором можно ввести понятие о тензоре любой валентности.Дан тензор валентности m, если для любой координатной системы даны 3m чисел ai1 i2 ...im занумерованных m индексов i1 i2 . . . im =1, 2, 3, которые в записи отличаются друг от друга 1-м, 2-м,..., m-мместом записи при букве a, и которые при повороте координатнойсистемы преобразуются по законуa′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...im(11)Операции над тензорами1) сложение тензоров одинаковой валентности: пусть ai1 ...im иbi1 ...im — два тензора одинаковой валентности.Составим в каждой координатной системе числа ci1 ...im путем сложения соответствующих координат наших тензоровci1 ...im = ai1 ...im + bi1 ...im(12)Эти числа тоже являются компонентами тензоров.
В самом деле, длятензоров ai1 ...im и bi1 ...im по (11) имеет местоa′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...imb′p1 ...pm = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im bi1 ...imСкладываем эти равенства почленноc′i1 ...im = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ai1 ...im + Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im bi1 ...imи пользуемся формулой (12),c′i1 ...im = Ap1 i1 Ap2 i2 . . . Apm im ci1 ...im .7ci1 ...im Таким образом доказан тензорный закон преобразования компонент2) тензорное умножение ⊗C =A⊗BКаждая компонента тензора A умножается на каждую компонентутензора B. Ранг получившегося тензора равен сумме рангов исходных.Рассмотрим пример. Пусть размерность пространства равна 2.Тензор A — тензор второго ранга, тензор B — первого ранга. Вычислим компоненты тензора C = A ⊗ B;C111 = A11 B1 ,C112 = A11 B2 ,C121 = A12 B1 ,C122 = A12 B2 ,C211 = A21 B1 ,C212 = A21 B2 ,C221 = A22 B1 ,C222 = A22 B2 .3) Свертывания тензоровak = akiia′pqr = Api Aqj Ark aijka′p = a′pss = Api Asj Ask aijkAsj Ask = δjka′p = Api δjk aijka′p = Api aijj = Api aiРанг тензора понижается на 2Можно рассматривать скалярное произведение тензора на вектори вектора на тензор как свертку.4) Подстановка индексаbjki = aijkВернемся к случаю двухвалентных тензоров.Главные оси тензора.Пустьb=PaЕсли b коллинеарен a, то a —главное направление тензора.
Если приэтом b = λ a, то λ — главное значение, величина λ показывет во8сколько раз тензор увеличивает векторы, направленные по главнымосям тензора.Рассмотрим уравнениеP a = λaи составим характеристический многочленλ3 − λ2 (p11 + p22 + p33 )+ pp32 p11++λ 22p23 p33 p13 p31 p11+p33 p12 p11p21 − p21p22p31, его корни не зависят от координатной системы,pI2 = 22p23p12p22p32p13 p23 = 0p33 I1 = p11 + p22 + p33 = λ1 + λ2 + λ3 , p32 p11 p31 p11 p21 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ,++p33 p13 p33 p12 p22 p11 p12 p13 I3 = p21 p22 p23 = λ1 λ2 λ3 .p31 p32 p33 I1 , I2 , I3 — инварианты тензора1.4Симметричные и кососимметрические тензорыТензор называется симметричным, если значение компонент этоготензора не меняется при перестановке двух любых индексов этого тензора.Тензор называется кососимметрическим, если при транспозиции(перестановке) любых двух индексов у любой координаты, он меняетзнак.Для двухвалентного кососимметрического тензора:cij = −cjicii = −cii =⇒ cii = 0Докажем теорему о свойствах симметричного тензораКритерий симметричности.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
