1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда это называется деформационным тензором.Антисимметричная часть0−ω3 ω21 da0−ω1 − ∇ a =  ω32 dr−ω2 ω10ω=1rot a2daТензор— симметричен ⇐⇒ a — потенциальное векторное поле,dra = grad ϕ.Замечание Для симметричного тензора P справедливо равенствоaP = P aа через антисимметричного тензора BB · a = ω × a,a ·B = a × ω = −B · a .Пусть a(r) — вектор смещения частицы упругого тела, тогдаda= Φ + A = U.dr19da+ ∇ad r1 da− ∇aA — антисимметричная часть A =2 drΦ — симметричная часть Φ =da =12da· d r = Φd r +A · d rdr1rot a ×d r21d a = Φd r + rot a ×d r2Эта формула определяет относительные перемещения различных точек бесконечно малого объема, окружающих рассматриваемую точку,в виде суммы двух членов, последний из которых дает поворот объемакак целого, а первый определяет истинную деформацию.A · dr =1.8Кинематическое истолкование векторного поляПусть Ω — область, в которой задано векторное поле, заполнена некоторой подвижной деформирующейся средой, например жидкостью,a(M ) — скорость, с которой движется та или иная частица.

Какойсмысл имеет производный тензор векторного поля?Пусть движение стационарно, т.е. поле скоростей не зависит отвремени. Вырежем шарик с центром в точке M и с бесконечно малымрадиусом ρ и будем за ним следить. Он будет двигаться, вращаясь идеформируясь.Каждая точка описывает траекторию x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), x3 =x3 (t)dxi= ai (x1 , x2 , x3 )dtЗа бесконечно малый промежуток времени частица смещается наε a(M ). Производными высших порядков пренебрегаем.20aLL′MM′′Пусть M — точка в шарике.−−→M L ≈ ε a(M )−−−→M ′ L′ ≈ ε a(M ′ )−−−→′−−→M M −→ LL′−−→′−−−→ −−→−−→ −−−→ −−−→ −−−→LL = LM + M M ′ + M ′ L′ = M M ′ + (M ′ L′ − M L) ≈−−−→≈ M M ′ + ε (a(M ′ ) − a(M ))ε и ρ бесконечно малые и не зависят от друг от друга.−−−→a(M ′ ) − a(M ) = △ a(M ) = U z ,где z = M M ′−−→′LL = (E + εU ) z−−−→−−→Преобразование M M ′ −→ LL′ происходит (с указанной степенью точности) посредством действия тензора E + εU , где U — производныйтензор векторного поля скоростей, ε – протекший бесконечно малыйпромежуток времени.21Бесконечно малые векторы, исходящие из центра капли, переходят в векторы, исходящие из центра смещенной (и деформированной)капли, подвергаясь действию тензора (E + εU )U =A+Φдеформация посредством (E + εΦ); поворот посредством E + εAРассмотрим тензор мало отличающийся от единичногоE + εU = E + εA + εΦy = (E + εU ) x = x +εA x +εΦ xA — кососимметричный, Φ — симметричный.Рассмотрим частный случай, когда A отсутствует.Тензор симметричный и он дает чистую деформацию пространства.E + εΦ = δij + εfijНайдем собственные числа и собственные направления тензора E+εΦ.Пусть λ1 , λ2 , λ3 — собственные значения, а x — собственное направление тензора Φ, соответствующее одному собственному значению,например λ1 , тогда(E + εΦ) x = E x +εΦ x = x +ελ1 x = (1 + ελ1 ) xx — собственное направление, а 1 + ελ1 , 1 + ελ2 , 1 + ελ3 — собственныезначения E + εΦ.Собственные значения — это коэффициенты бесконечно малогорастяжения (сжатия), производимого E + εΦПусть теперь Φ = 0, т.е.

рассмотрим E + εAAx = ω × xE + εA = x +εω × xповорот около оси, проходящей через O и направленной по ω на бесконечно малый угол ε|ω|. Если рассмотреть вращение пространствакак твердого тела вокруг O с постоянным вектором угловой скоростиω, это означает, что вращение совершается вокруг оси, направленнойпо ω, причем за единицу времени совершается поворот на угол |ω|.Линейная скорость движения каждой точки M выражается векторомv =ω×r22−−→r = OMЗа бесконечно малый промежуток времени ε точка сместится на векторε v = εω × r−−−→′OM = r +ε v = r +εω × rт.е.

это поворот пространства за бесконечно малый промежуток времени ε при векторе угловой скорости ω.Общий случай: (E + εΦ)(E + εA) x = x +εΦ x +εA x +ε2 ΦA x последний член отбросим, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка.Результата действия произвольного тензора E + εU представляетсобой наложение бесконечно малой чистой деформации и бесконечномалого поворота.Коэффициент объемного расширения в данном случае1 + εu11εu12εu13 Ve1 + εu22εu23 ≈= det |δij + |εuij | ≈ εu21V εu31εu321 + εu33 ≈ 1 + ε(u11 + u22 + u33 ).При раскрытии определителя бесконечно малыми высших порядковмы пренебрегли.Вращение любой бесконечно малой капли жидкости в процессе еедвижения происходит с переменным вектором угловой скорости, рав1ным в каждой точке rot a . Симметричная часть называется тензо2ром скоростей деформаций.Коэффициент объемного расширенияVe= 1 + ε aii ,VVe= 1 + ε div a .VОтносительное объемное расширение равно ε div a.Если div a = 0, то движение происходит без изменения объемаВекторное поле называется соленоидальным, если div a(M ) = 0Векторное поле потенциально, если a(M ) = grad f (M ), т.е.

ai =∂f. В этом случае rot a = 0.∂xi23Дифференцирование тензора.Рассмотрим тензорное поле aij = aij (M ) = aij (x1 , x2 , x3 ) Нас интересует вопрос: как меняется тензор от точки к точке в бесконечномалой окрестности точки M . Для этой цели смещаемся из точки M вбесконечно близкую точку M ′ . мы движемся по некоторой параметрически заданной кривойx1 (t),x2 (t),x3 (t),причем при заданном значении t мы находимся в точке M , а при−−→значении t+∆t в точке M ′ . Радиус-вектор OM выражается формулой−−→OM = xi (t) ei ,а его дифференциал−−−→dM = dxi (t) ei ≈ M M ′ .∂aijdaij =dxl — абсолютный дифференциал тензорного поля aij .

Он∂xlзависит от точки и смещения.Проверим, что это тензорe′q = Aqi eia′ij = Ais Ajp asp , A — постояннаяda′ij = Ais Ajp∂aspAlk dxk∂xlтензор. Будем обозначать∂aij= ∇l aij .∂xlПо какому закону будет преобразовываться?В старых координатахxl = Asl x′s .В новых координатах∇s a′pq =∂a′pq ∂xl∂a′pq=,′∂xs∂xl ∂x′s24∂xl= Asl ,∂x′s∂a′pq∂aij= Api Aqj,∂xl∂xl∇s a′pq = Api Aqj Asl ∇l aij .Таким образом, при замене координат ∇l aij преобразуется как трехвалентный тензор.Совокупность всех частных производных 1-го порядка образуюттензор тензор валентности на единицу больше.Тензор напряженийs = n dSF — сила, действующая на плошадку S, F = Φ(s). Для любого αΦ(α s) = αΦ(s)F = Φ(n)dS,где Φ(n) — сила напряжения на данной площадке, отнесенная к единице площади, т.е. напряжение на данной площадке.F = P dSP = Φ(n) выражается через направляющие косинусы положительнойнормали n.Pi = fij njFi = fij sjКоординаты вектора силы выражаются через координаты вектораплощадки, сила F получается из вектора площадки s действием нанего тензора f — тензора напряжений.В теории упругости считается, что для однородных и изотропныхтелfij = λθδij + 2µb̃ij ,25где b̃ij — тензор деформаций.

Коэффициенты λ, µ — коэффициентыЛаме, постоянные для данного тела.Xθ=b̃iiiотносительное объемное расширение, инвариант.Поток векторного поля через поверхность. Потоктензорного поля через поверхность.Пусть S — поверхность, a — векторное поле. Потоком векторногополя a через поверхность S называетсяZZa n dS,p=Sгде n — единичный вектор нормали к поверхности. Поток выражает, например, объем жидкости, протекающей через поверхность S внаправлении от отрицательной стороны к положительной.Пусть S — поверхность, A — тензорное поле. Потоком тензораназываетсяZZp=A n dS.Sp — вектор. Интегрирование A n — интегрирование каждой компоненты.ZZpi =aij nj dSЕсли в сплошной среде имеются силы напряжения, характеризуемыеполем тензора напряжения F с координатами fij , то поток тензора —равнодействующая всех сил напряжения, приложенных к S.Теорема Остроградского.Для векторного поля.ZZSa n dS =ZZZV26div a dVРассмотрим поток тензорного поля A через SZZZZZ ∂ai1∂ai2∂ai3pi =(ai1 n1 + ai2 n2 + ai3 n3 )dS =++dV∂x1∂x2∂x3SVДивергенция тензора поля — векторное поле.−−−→ ∂aij= ∇j aijdiv A =∂xjт.е.

производится свертка по первому и третьему индексам.ZZZ−−−→pi =(div A)i dVVp=ZZZ−−−→div AdVVТеорема Остроградского для потока тензорного поля через замкнутую поверхность имеет вид:ZZZZZ−−−→A n dS =div AdVSVУравнения гидродинамики.Пусть S — поверхность, ограничивающая жидкую среду. Внутрижидкости действуют объемные силы, т.е. дано векторное поле Q(M, t),выражающее в каждой точке и в каждый момент силу, действующуюна элемент жидкости и отнесенную к единице массы.Равнодействующая сил напряжения, действующих на замкнутуюповерхность S, где n направлена по внешней нормали, равнаZZZZZp=Φ n dS =div ΦdV.SVРавнодействующая объемных силZZZQρdV,27где ρdV — элемент массы, QρdV — объемная сила, действующая наэтот элемент массы.Выразим равнодействующую сил инерции для жидкости, заключенной внутри S.

Скорость каждой частицы выражается векторомv(M, t), ускорениеdv+ A v,dtгде A — производный тензор векторного поля v(M, t).dxi= vidtd2 xi∂vi∂ai dxj∂ai=+=+ aij vjdt2∂t∂xj dt∂tТогда равнодействующая сил инерции равнаZZZ ∂vv−ρdV.+A∂tСумма всех сил, действующих на рассматриваемую часть жидкости, включая силы инерции, должна равняться нулю. ПоэтомуZZZ 1∂vdiv Φ + Q −− A v ρdV = 0ρ∂tВвиду произвольности области, имеем1∂v+ A v = Q + div Φ.∂tρ2Тензорная алгебра2.1Аффинное пространство n измерений. Аффинная координатная система.Будем говорить, что дано аффинное пространство n измерений, есливыполнены следующие аксиомы1. существует по крайней мере одна точка;2.

каждой паре точек А и В, заданных в определенном порядке−−→поставлен в соответствие в соответствие один вектор AB;283. для каждой точки A и для каждого вектора x существует одна−−→и только одна точка B такая, что AB = x;−−→ −−→−→ −−→4. если AB = CD, то AC = BD — аксиома параллелограмма;5. каждому вектору x и каждому числу α поставлен в соответствиеопределенный вектор, который будем обозначать α x;6. 1 x = x;7. (α + β) x = α x +β x;8. α(x + y) = α x +β y;9.

Характеристики

Список файлов книги