1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

α(βx) = (αβ)x следовательно для любого вектора x выполнено:0 · x = 0.10. существуют n линейно независимых векторов но любые (n + 1)векторов — зависимы.В нашем пространстве существуют n линейно независимых векторов. Обозначим их e1 , . . . , en .Присоединим вектор x, получим систему (n + 1) зависимых векторов α x +α1 e1 +... + αn en = 0. α 6= 0, иначе бы e1 , . . .

, en былизависимыx = x1 e1 +x2 e2 +... + xn en .Индекс вверху показывает на характер преобразования. Любой вектор n-мерного аффинного пространства может быть разложен по nвыбранным линейно независимым векторам. Например, для n = 3x = x1 e1 +x2 e2 +x3 e3Аффиный репер — совокупность какой-либо точки 0 и занумерованных линейно независимых векторов e1 , . . .

, en , которые для наглядности будем представлять себе отложенными от точки 0.Эти координаты определяются единственным образом.Если существуют два различных разложенияx = x1 e1 +.... + xn en = y 1 e1 +... + y n en ,то(x1 − y 1 ) e1 + . . . + (xn − y n ) en = 0,29что невозможно по линейной независимости e1 , . . . , en .Аффинные координаты точки M это аффинные координаты век−−→тора OM .Как можно преобразовывать реперы?Пусть e1′ , .

. . , en′ — векторы другой координатной системы — нового репера. Каждый из векторов может быть представленe1′ = A11′ e1 +A21′ e2 + . . . + An1′ en ;e2′ = A12′ e1 +A22′ e2 + . . . + An2′ en ;.................................en′ = An1′ e1 +An2′ e2 + . . . + Ann′ enОбъединяя формулы можно написать ei′ = Aii′ ei (суммирование поповторяющемуся индексу)Условием преобразования является линейная независимость строкматрицы, состоящей из коэффициентов 1A1′ A21′ . . An1′ 1 A ′ A2′ . . An′ 22  2, .....A1n′ A2n′ . . Ann′6 0.det kAii′ k =′Тогда существует обратная матрица.

Будем обозначать ее Bii . Можнозаписать′ei = Bii ei′или′′ei = Bi1 e1′ +... + Bin en′Матрица B взаимно обратная 1′′B1 B12 ′ B 1 B 2′2 2 ..′Bn1′Bn2. .. .. .. .30′B1n′B2n . ′BnnЕдиничную матрицу будем обозначать1, i = j,iδj =0, i 6= jТогда можно записать′′Bkj Aki′ = δij′ ,′Ajk′ Bik = δjiили′ei = Bii Aji′ ejКак будут выражаться новые координаты через старые:′x = xi ei = xi ei′′′x = xi Bii ei′ ,| {z }′xi = xi Biixi′Итакei′ = Aii′ ei′′xi = xi Bii2.2Контравариантные тензорыВведем понятие о контравариантном тензоре.

Важнейший пример одновалентного контравариантного тензора — координаты фиксированного вектора. Будем говорить, что дан контравариантный одновалентный тензор, если при замене координат он меняется по закону′′ai = Bii ai .“Контравариантный” — противопреобразующийся, не так, как репер.Определим k-раз контравариантный тензор, как тензор, преобразующийся по закону′ ′′i′i′i′ai1 i2 ...ik = Bi11 Bi22 ...Bikk ai1 i2 ...ik ,31(k, 0)2.3Ковариантный тензор.Пусть каждому x соответствует число ϕ:ϕ = ϕ(x).И выполнены соотношения∀ x1 , x2 ,ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 )∀α,ϕ(α x) = αϕ(x)Т.е.

ϕ(x) — линейная функция от вектора xx = xi eiϕ(x) = ϕ(x1 e1 +... + xn en ) = x1 ϕ(e1 ) + ... + xn ϕ(en )ϕi = ϕ(ei )ϕ(x) = ϕi xiВ другой системе координат′ϕ(x) = ϕi′ xi ,ϕi′ = ϕ(ei′ ),ei′ = Aii′ ei ,ϕi′ = ϕ(A1i′ e1 +A2i′ e2 + . . . + Ani′ en )= A1i′ ϕ(e1 ) + A2i′ ϕ(e2 ) + . . . + Ani′ ϕ(en ).Таким образом получаем ϕi′ = Aii′ ϕiЗакон преобразования совпадает с законом преобразования репера.Будем говорить, что дан одновалентный ковариантный тензор, если при замене координат он преобразуется по законуai′ = Aii′ ai .“Ковариантный” — сопреобразующиеся.Будем говорить, что дан k раз ковариантный тензор, если призамене координат он преобразуется по законуai′1 i′2 ...i′k = Aii1′ Aii2′ ...Aiik′ ai1 i2 ...ik .1232kПримером ковариантного одновалентного тензора или ковектора может служить градиент функции.

В самом деле, рассмотрим grad f ,∂fего компонента равна ∂xi . В другой системе координат∂f ∂xi∂f i∂f=A′′ =i∂x∂xi xi′∂xi iпреобразование происходит по ковариантному закону,Ci′ = Aii′ Ci .Таким образом, градиент — ковектор Пусть теперьy=Uxпри этом выполнены следующие соотношенияU (x1 + x2 ) = U x1 +U x2 ,U (α x) = αU x .ТогдаU ei = u1i e1 +u2i e2 +... + uni en = uji ej .Учитывая, чтоx = xi eiи пользуясь свойством линейности отображения Uy = xi uji ej = y j ej ,получаемy j = uji xi .uji — компоненты тензора.В новой системе координат′U ei′ = uji′ ej ′′ej = Bji ei′ei′ = Aii′ ei ,Компоненты U преобразуются по закону′U ei′ = U (Aii′ ei ) = Aii′ U ei = Aii′ uji ej = Aii′ uji Bjj ej ′33Компонент преобразования′′uji′ = Aii′ Bjj ujj ,(1, 1)смешанный тензор 1-раз ковариантный, 1 раз контравариантный.Будем говорить, что дан (p + q) валентный тензор, p раз контравариантный и q раз ковариантный, (p, q)j ′ ...j ′j′j′j′ij ...jai′1...i′p = Bj11 Bj22 .

. . Bjpp Aii1′ Aii2′ . . . Aiq′q ai11...iqp12.4q12Операции над тензорами.1. Сложение — можно складывать тензоры одинаковой валентности.В результате получаем тензор той же валентности, что и слагаемые.Инвариантный характер операции сложения и остальных тензорных операций следует понимать в том смысле, что они дают в результате вполне определенный тензор, не зависящий от того, в какойкоординатной системе происходит выкладка.z i = xi + y iz i — координата вполне определенного тензора.2. Умножение тензоров.Рассмотрим пример: пусть uij = bi cj — мультипликативный, т.е.получен умножением, тогда если y = U x, тоy i = uij xjили y i = bi cj xj , cj xj можно истолковать как линейную скалярнуюфункцию от x, U — диада, ее действие — постоянный вектор умножается на скалярную функцию.3.

Свертывание.Пусть дан тензор типа aijpq . Рассмотрим следующее выражение2jnjja1jp1 + ap2 + ... + apn = bpЭто тоже тензор.Проверим, что закон его преобразования — тензорный:′ ′′′aip′jq′ = Bii Bjj App′ Aqq′ aijpq34′′′′′′q iq isq p ijiiibiq′ = aisqs′ = Bii Bjs Aps Aqq′ aijpq = Bi Aq ′ δj apq = Bi Aq ′ asq = Bi Aq ′ bq| {z }δjp4.

Подстановка индекса. Альтернирование и симметрирование.ijПусть дан aijpqr . Можно составить новый по другому нумеруя bpqrijbijpqr = arpqbijpqr получен круговой подстановкой индекса. Получаем тензор тогоже строения.Подстановка индекса — по месту написания. Верхние и нижниеиндексы менять нельзя.Симметрирование.При перестановке индексов имеем N ! подстановок.Если N = 1 — ничего не меняется.Если N = 2 — симметрирование, a(ij) = 12 (aij + aji )1Если N = 3 — a(ijk) = (aijk + ajki + akij + ajik + aikj + akji )6Тензор называется симметричным по нескольким индексам, еслион не меняется при транспозиции этих индексов.Альтернирование.Четные и нечетные подстановки.N = 1 — ничегоN = 2 — a[ij] = 12 (aij − aji )1N = 3 — a[ijk] = (aijk + ajki + akij − ajik − aikj − akji )6Кососимметрический, если он умножается на -1 при любой нечетной подстановке и на +1 при четной.При альтернации — кососимметрический.Отметим важное свойство тензоров.Теорема сокращения.Пусть дан Tijk , в соответствие каждому ковариантному индексуприводим контравариантный вектор u, v, а контравариантному ковектор w, тогдаTijk ui v j wk = f.И наоборот, если для любой системы координат имеется совокупностьn3 величин Tijk и для любых компонентов векторов ui , v j , wk выражение является инвариантом, то Tijk — тензор 2 раза ковариантный,1 раз контравариантный.35Т.к.

система координат произвольная, то можно в качестве векто′′′′′ров взять ui = δpi , v j = δqj , wk = δkr ′ .Тогда в новой системе координатrfe = TpqВ старой системе координат′′′′ui = Aii′ ui = Aii′ δpi = Aipv i = Ajj ′ v j = Ajj ′ δqj = Ajq′′wk = Bkk wk′ = Bkk δkr ′ = BkrПреобразование происходит по тензорному закону2.5f = Tijk Aip Ajq Bkr = feМетрический тензорВведем скалярное произведение.

Зададим в n-мерном пространствебилинейную функциюϕ(x, y) = ϕ(y, x)Условие невырожденности: ∀ x 6= 0 ∃ y:ϕ(x, y) 6= 0В остальном все произвольно.Евклидовым пространством будем называть n-мерное аффинноепространство, в котором задана фиксированная билинейная скалярная функция двух векторных аргументов x, y, удовлетворяющая свойству симметрии и невырожденности. Эту функцию будем называтьскалярным произведением и обозначать x y или (x, y).Два вектора называются ортогональными, еслиxy = 0pДлиной вектора x будем называть (x, x) и обозначать | x |.p| x | = (x, x)36−−→Расстояние между точками A и B называется длина вектора ABp−−→|AB| = (x, x), x = ABСкалярное произведение как билинейная функция обладает следующими свойствами:(x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y)(α x, y) = α(x, y).Такие же свойства можем записать и по второму аргументу.Задание билинейной функции эквивалентно заданию дважды ковариантного тензора ϕij , его коэффициенты определяются следующими соотношениямиϕij = ϕ(ei , ej ),ϕ(x, y) = ϕij xi y j .В случае скалярного произведения x y тензор коэффициентов будем называть метрическим (фундаментальным) тензором и обозначать gijgij = ei ej ,x y = gij xi y j .В случае y = x получаем скалярный квадрат вектора x, которыйвыражается квадратичной формулой(x, x) = gij xi xjУсловие симметрии (x y = y x) эквивалентно симметричности тензораgij = gji .Условие невырожденности для любого x 6= 0 существует неортогональный ему вектор y, т.е.

Характеристики

Список файлов книги